Муниципальное общеобразовательное учреждение вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №8 городского округа Самара
ЗАЧЕТЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА. 10 КЛАСС.
(Дифференцированный подход)
Автор: -
учитель математики
МОУ ВСШ №8 г. о. Самара
Самара 2010
Содержание.
Введение________________________________________________________
1.Зачет № 3 по теме «Производная»_________________________________
1.1.Карточки - информаторы к зачету №3. __________________
2. Зачет № 4 по теме «Применение производной»______________________
2.1. Карточки-информаторы к зачету №4. __________________
3. Литература____________________________________________________
Введение.
Зачет имеет большое обучающее и воспитывающее значение для учащихся.
В вечерней школе зачеты проводятся после каждой большой темы или раздела программы. Подготовка к зачетам должна начинаться с первого урока нового зачетного периода.
Во время зачетов учащимся предлагается выполнить следующую работу:
1. Ответить на вопросы устно или письменно (вопросы заранее предлагаются учащимся)
2. Решить примеры и задачи.
Карточки с заданиями предлагаются дифференцированно, с учетом индивидуальных особенностей каждого ученика. Ответы на задания из карточек группы «А» оцениваются в три балла. К ним дополнительно предлагаются карточки- информаторы, с аналогичными задачами. Ответы на задания группы «В» оцениваются в четыре балла, группы «С» - в пять баллов.
Получив задание, учащийся выполняет его письменно, а затем сдает учителю, который тут же проверяет и объявляет оценку.
1. Зачет №3 по теме: « Производная»
Карточка 1. (Уровень А)
І. Приращение функции и аргумента.
ІІ. Производная степенной функции.
ІІІ. Решите примеры:
1). Найдите приращение функции в точке х0, если f(x)=
; х0=3; Δх =0,1.
2). Вычислите значение производной функции f(x) = 4x7+6x4+10x при х=1.
3). Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=-6x2-15x.
Карточка 2. (Уровень А)
І. Правила вычисления производных.
ІІ. Производные элементарных функций.
ІІІ. Решите примеры:
1). Вычислите производную функции f(x)=
2). Найдите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)=2 tgx; x0=0.
3). Решите уравнение: f'(x)=0, если f(x)=-
x3+4х2-9x..
Карточка 3. (Уровень А)
І. Понятие о производной.
ІІ. Основные правила нахождения производных.
ІІІ. Решите примеры:
1). Вычислите 
в точке х0, если f(x)=15x2-7, х0=2, Δх =0,5.
2). Вычислите значение производной функции f в данной точке, если f(x)=2х ∙ cosx; x0=0.
3). Найдите значения х, при которых производная функции f равна нулю, если f(x)=2 x4-16х3.
Карточка 4. (Уровень В)
І. Мгновенная скорость движения. Производная.
ІІ. Таблица производных.
ІІІ. Решите примеры:
1). Найдите мгновенную скорость точки, движущейся по закону х (t)=t2-4
, в момент времени t0=4.
2). Найдите f'(x), f'(-2), если f(x) = (2+
)(x-2).
3). Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=sin2x.
Карточка 5. (Уровень В)
І. Производная частного двух функций.
ІІ. Производная сложной функции.
ІІІ. Решите примеры:
1). Найдите производную данной функции f(x)=
. Вычислите
2f'(-2)+3f (1).
2). Вычислите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)= (
)∙ ctgx; x0=
.
3). Составьте и решите уравнение: f'(x)= f(x) – 3х, если f(x)=3х+ 
.
Карточка 6. (Уровень В)
І. Производная произведения двух функций.
ІІ. Формулы дифференцирования синуса и тангенса сложных функций.
ІІІ. Решите примеры:
1). Найдите производную функции f(x)=(2-
)∙tg2x.
2). Решите уравнение f'(x)=0, если f(x)=1,5sin2x-5sinx-x.
3). Докажите, что при всех допустимых значениях х производная функции g(x) не может принимать отрицательных значений, если: g(x)=tg
.
Карточка 7. (Уровень C)
І. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе.
ІІ. Основные правила дифференцирования функций.
ІІІ. Решите примеры:
1). Найдите корни уравнения f '(x)=0, принадлежащие отрезку [
], если f(х) = cos (
.
2). Найдите производную функции f(x) = 
, в точке х0=
.
3). Укажите, какой формулой можно задать функцию у= f(x), если
f '(x)=х)3.
Карточка 8. (Уровень C)
І. Производная сложной функции.
ІІ. Основные правила дифференцирования.
ІІІ. Решите примеры:
1). Найдите точки, в которых f '(х)=0, f '(x)>0, если f (x)=4x+cos (4x-
).
2). Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f '(х)=g' (x), если f(x)= 
, g (x) =
.
3). Найдите производную функции у=tg(3x-), в точке х0=
.
Карточка 9. (Уровень C)
І. Понятие производной. Мгновенная скорость движения.
ІІ. Формула производной сложной функции.
ІІІ. Решите примеры:
1). Дано: f(x) = csin2x+ d cosx, f '(
)= 4; f '(
)=-8. Чему равны c и d?
2). Вычислите скорость изменения функции у= cos (
) в точке х0=
.
3). При каких значениях х выполняется равенство f '(х)=2, если известно, что f (х)=2-5
?
1.1 Карточки-информаторы к зачету №3.
1). Найдите приращение функции в точке х0, если f(x)=
; х0=1; Δх =0,1.
Решение:
1. Находим значение х0+Δх: х0+Δх=1+0,1=1,1
2. Вычисляем значение f(x0): f(1)=
3.Вычисляем значение f(x0+Δх): f(1,1)=
4. Находим приращение функции Δf(x): Δf(x)= f(1,1)- f(1)=0,605- 0,5=0,105
Ответ: Δf(x)=0,105
2). Вычислите значение производной функции f(x) = 8x6+5x3+12x при х=1.
Решение:
1. f '(x) = (8x6)' +(5x3)' +(12x)'=8∙6х5+5∙3х2+12∙1=48х5+15х2+12
2. f '(1)= 48∙15+15∙12+12=75
Ответ: 75
3). Решите неравенство f '(x)>0, если f(x)= -10x2-17x.
Решение:
1. f '(x)=(-10x2)'- (17x)'= -10∙2х-17∙1= -20х-17
2. f '(x)>0, -20х-17>0, -20х >17, х< -
Ответ: f '(x)>0, при х<-.
4). Вычислите производную функции f(x)=
Решение:
f '(x)=
=
5). Найдите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)=5 tgx, x0=.
Решение:
1. f '(x)=( 5 tgx)'=5∙
2. f '()=5∙
Ответ: f '()=20
6). Решите уравнение: f '(x)=0, если f(x)=
x3+
х2-3x.
Решение:
1. f '(x)=(x3)'+(х2)'-(3x)'=∙3x2+∙2х-3∙1=2х2+х-3
2. f '(x)=0, 2х2+х-3=0, D= в2-4ас=12-4∙2∙ (-3)=25,
х1=
х2=
Ответ: f '(x)=0, при х = -1,5; 1
7). Вычислите значение производной функции в данной точке, если
f (x)=3х∙sin x, x0=0
Решение:
1. (u∙v)'=u'∙v + u∙v'
f '(x)=(3x)' sin x + 3x ∙(sin x)' = 3 ∙sin x + 3x ∙ cos x
2. f '(0)= 3∙ sin 0 + 3∙ 0 ∙cos 0 = 3 ∙0 + 0 ∙1 = 0
Ответ: f '(0)= 0
2. Зачёт №4 по теме «Применение производной»
Карточка 1. (Уровень А)
I. Непрерывность функции. Метод интервалов.
II. Производная в физике.
III. Решите примеры:
1). Решите неравенство (3х-6)(2х+4) ≥ 0.
2). Найдите область определения функции f(х) = 
.
3). Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 6t3+2t-3. Найдите скорость в момент времени t= 2 с.
Карточка 2. (Уровень А)
І. Признак возрастания функции.
ІІ. Точки максимума и минимума функции.
III. Решите примеры:
1). Найдите промежутки возрастания функции f(х) = 7х2-8х+3
2). Найдите критические точки функции f(х) = 8х3-5х2-4.
Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.
3). Докажите, что функция f(х) = 6х5+4х не имеет критических точек.
Карточка 3. (Уровень А)
І. Признак убывания функции.
ІІ. Касательная к графику функции.
III. Решите примеры:
1). Найдите промежутки убывания функции f(х) = 4+16х-х2
2). Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х3-6 в точке с абсциссой х0 = -1
3). Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку А (1;2) графика функции f(х) = х2+4х
Карточка 4. (Уровень В)
І. Приближенные вычисления.
ІІ. Уравнение касательной.
III. Решите примеры:
1). Вычислите приближенное значение 1,005100.
2). На графике функции g(х) =
найдите точку, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.
3). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
f(х) = (х2+2)(х3-3), в точке х0 = 2.
Карточка 5. (Уровень В)
І. Необходимое условие существования экстремума. Признаки максимума и минимума функции.
ІІ. Производная в технике.
III. Решите примеры:
1). Найдите точки экстремума функции f(х) = (х+1)2(х+5)2.
2). Найдите критические точки функции f(х) = sin
.
3). Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 6 с. Найдите угловую скорость через 40с после начала вращения.
Карточка 6. (Уровень В)
І. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
ІІ. Исследование квадратичной функции с помощью производной.
III. Решите примеры:
1). Найдите наибольшее значение функции f(х) = (х+1)2(х+4) на данном промежутке [-5;0]
2). Исследуйте функцию у= 2х2+3х-5 и постройте её график.
3). При каких значениях n функция f(х) =
непрерывна на всей числовой прямой.
Карточка 7. (Уровень С)
І. Исследование функции с помощью производной.
ІІ. Практические задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
III. Решите примеры:
1). Исследуйте функцию и постройте её график:
у = 
.
2). Среди всех равнобедренных треугольников с боковой стороной 5 см найдите треугольник наибольшей площади.
Карточка 8. (Уровень С)
1. Исследование функции с помощью производной.
2. Точки экстремума функции.
3. Решите примеры.
1). Исследуйте функцию у=х2
и постройте её график.
2. Найдите точки экстремума функции f(х) = cos 2х+2sin х.
Карточка 9. (Уровень С)
1. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке
2. Уравнение касательной к графику функции.
3. Решите примеры.
1. Известно, что наименьшее значение функции f(х) = 3х2-х3 на промежутке
[-2; в] равно нулю. При каком максимальном значении в выполняется это условие?
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х) = 
, если её угловой коэффициент равен к= 
.
2.1 Карточки-информаторы к зачету №4.
1). Решите неравенство (4х-6)(5х+10) ≥ 0.
Решение:
1. Рассмотрим функцию у= (4х-8)(5х+10)
2. Найдем нули функции: у=0, (4х-8)(5х+10) = 0, 4х-8=0 или 5х+10=0
4х=8 5х=-10
+ - + х=2 х= -2
3. """"∙ ∙""""" х
-2 2
Ответ: (
], 
2). Найдите область определения функции f(х) = 
.
Решение:
1. Решим неравенство: 2х2+х-3≥ 0
2. Рассмотрим функцию у=2х2+х-3 и найдем ее нули:
2х2+х-3=0, D= в2-4ас=12-4∙2∙ (-3)=25,
х1=
х2=
+ - +
3. """"∙ ∙""""" х
-1,5 1
Ответ: (
], 
3). Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 5t3+30t-7 (м). Найдите скорость в момент времени t= 1 с.
Решение:
1. v(t)= х '(t) =(5t3+30t-7)'=5∙3t2+30∙1-0=15 t2+30
2. v(1)= 15 ∙12+30= 45 (м/с)
Ответ: v(1)= 45 м/с.
4). Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(х) = 10х2-2х+1
Решение:
1. Область определения функции: D(f)=R
2. Найдем производную функции: f '(х) = (10х2-2х+1)'=10∙2х-2∙1+0=20х-2
3. Решим неравенства: а) f '(х)>0, б) f '(х)<0.
20х-2>0 20х-2<0
20х>2 20х<2
х >
х <
Ответ: функция f(х) = 10х2-2х+1 возрастает при х >, убывает при х < .
5). Найдите критические точки функции f(х) = 5х3+3х2-1
Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.
Решение:
1. Найдем производную данной функции: f (х) = (5х3+3х2-1)'=
=5∙3х2+3∙2х-0=15х2+6х
2. Найдем критические точки: f '(х)=0, 15х2+6х=0, 3х (5х+2)=0, х=0 или 5х+2=0, 5х = -2, х = -0,4
+ - +
3. """"∙ ∙""""" х
-0,4 0
max min
Ответ: хmax= -0,4, xmin=0.
6). Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = 3х3+4 в точке с абсциссой х0 = 2.
Решение:
1. Найдем у0= f (х0): f(2)= 3∙23+4=28
2. Найдем f '(х): f '(х)= (3х3+4)'=3∙3х2+0=9х2
3.Найдем f '(х0): f '(2)=9∙22=36
4. Подставим полученные результаты в уравнение касательной:
у= у0 + f '(х0)∙ (х-х0):
у=28+36(х-2), у=28+36х-72, у=36х-44- искомое уравнение касательной.
7). Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку А (2;-3) графика функции f(х) =х3+2х.
Решение:
1. Найдем производную: f '(х) =(х3+2х)'=3х2+2
2. Найдем f '(х): f '(2)= 3∙22+2=14
3. tg
= f '(2)=14
Ответ: 14
3.Литература.
1.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений./[, , и др.]: под редакцией .-19-е изд.- М.: Просвещение, 2010.
2. , . Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.
3., , . Тесты по алгебре и началам анализа. 10 класс. Издательство «Экзамен». Москва,2010.
