Рабочая программа по Алгебре и началам анализа
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа по предмету Алгебра и начала анализа
составлена для учащихся 10 класса на основе примерной программы по математике федерального учебного плана, созданной на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования, и программы ,
2000 г., рекомендованной Министерством образования Российской Федерации; обеспечена учебно-методическим комплектом: учебник «Алгебра и начала анализа» (авторы: и др.), методические рекомендации для учителя, , ёва, Москва 2002 год, на изучение курса отводится 2 часа в неделю.
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Глава I. Действительные числа. Степень с действительным показателем
Рациональные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Действительные числа. Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным показателем. Степень с действительным показателем.
Основные цели — обобщение и систематизация знаний учащихся о действительных числах; ознакомление с понятием степени с действительным показателем; обучение применению свойств степени при выполнении вычислений и преобразовании выражений.
Методические рекомендации
Изучение главы начинается с повторения курса алгебры основной школы: систематизируются сведения о рациональных числах, учащиеся повторяют тему «Геометрическая прогрессия» и знакомятся с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Этот материал вспомогательного характера, так как с его помощью формируется представление о пределе последовательности, что в дальнейшем позволяет ввести определение степени с действительным показателем. Среди свойств степени с действительным показателем важными для дальнейшего изучения курса являются: теорема о сравнении степеней
с одинаковым основанием, большим единицы, и следствия из этой теоремы. Используя теорему, учащиеся сначала сравнивают степени, а в дальнейшем решают показательные неравенства и уравнения, исследуют функции.
При изучении главы важно научить детей применять свойства степени с рациональным показателем при вычислениях и преобразованиях выражений. Глава II. Показательная функция
Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства.
Основные цели — изучение свойств показательной функции; обучение решению показательных уравнений и неравенств.
Методические рекомендации
Прежде чем вводить понятие показательной функции, рекомендуется повторить известные учащимся из основной школы сведения о функции. Для этого можно использовать таблицу учебника.
Свойства показательной функции у — ах следуют из свойств степени с действительным показателем. Например, возрастание функции у = ах, если а > 1, следует из свойства степени: «Если х1 < х2,
то аX1 < аX2» (это свойство было доказано ранее). Таким образом, свойства функции сначала доказываются аналитически, а потом иллюстрируются на графике.
Решение простейших показательных уравнений основано на свойстве степени: «Если аХ1 = ах2 то х1, = х2». Тот факт, что решение уравнения закончено, следует из свойства монотонности показательной функции. Решение показательных неравенств основывается на свойствах показательной функции. В ходе решения предложенных в учебнике показательных уравнений равносильность не нарушается, поэтому проверка не делается.
Больше внимания рекомендуется уделить повторению курса алгебры основной школы и исследованию функций.
Глава III. Степенная функция.
Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.
Основные цели — обобщение и систематизация знаний учащихся о степенной функции; ознакомление с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени; ознакомление с понятием равносильности; обучение решению иррациональных уравнений.
Методические рекомендации
Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно в зависимости от того, каким числом является показатель:
1) четным натуральным числом;2) нечетным натуральным числом;
3) числом, противоположным четному;4)числом, противоположным нечетному;5) положительным нецелым числом;6) отрицательным нецелым числом.
Обоснование свойств степенной функции в этой главе не проводится, т. к. они вытекают из свойств степени с действительным показателем, рассмотренных в первой главе.
На примере степенной функции вводится понятие взаимно обратных функций. Этот материал является ознакомительным (для учащихся классов всех профилей, кроме физико-математического), служит для расширения функциональных представлений и в отработке не нуждается.
Потребность в рассмотрении равносильности уравнений возникает в связи с изучением иррациональных уравнений. Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению — следствию данного. С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также для нахождения приближенных значений корней, если аналитически решить уравнение трудно.
Желательно больше внимания уделить изучению понятия равносильности и решению иррациональных уравнений.
Глава IV. Логарифмическая функция.
Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.
Основные цели — ознакомление учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком; обучение решению логарифмических уравнений и неравенств.
Методические рекомендации
Знакомство с логарифмами чисел и их свойствами для многих учащихся достаточно сложно. Поэтому полезны подробные и наглядные пояснения. На практике рассматриваются логарифмы по разным основаниям, в частности, по основаниям 10 и е. Так как на микрокалькуляторе есть клавиши «lg» и «In», то для вычисления логарифмов по другим основаниям нужна формула перехода.
Изучение свойств логарифмической функции идет параллельно с решением простейших уравнений и неравенств, хотя основные упражнения с уравнениями и неравенствами выполняются непосредственно после изучения соответствующих свойств логарифмов.
При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются их различные преобразования. При этом часто нарушается равносильность, поэтому для логарифмических уравнений делается проверка найденных корней. При решении логарифмических неравенств нужно следить за тем, чтобы равносильность не нарушалась, так как проверку решений неравенства осуществить сложно, а в ряде случаев невозможно.
Основное внимание рекомендуется уделить формированию понятия логарифма и его свойств, исследованию логарифмической функции.
Глава V. Системы уравнений
Способы решения систем уравнений: подстановки, сложения. Решение систем уравнений различными способами. Решение задач с помощью систем уравнений.
Основные цели — ознакомление учащихся с различными способами решения систем уравнений; обучение применению при решении систем алгебраических, логарифмических, показательных, иррациональных уравнений способов подстановки и сложения.
Методические рекомендации
Знакомые учащимся способы подстановки и сложения применяются при решении более сложных, чем в основной школе, систем алгебраических уравнений. Обосновывается применение этих способов, вводится понятие равносильности систем уравнений. Впервые учащиеся знакомятся с решением систем показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Рассматриваются текстовые задачи, которые решаются с помощью систем.
Системы уравнений настолько разнообразны, что практически невозможно дать какие-либо общие рекомендации по способам их решения. В каждом конкретном случае нужно использовать свой подход к решению систем, желательно находить наиболее простой способ.
Для учащихся классов всех профилей основными являются первые два параграфа главы. Задачи 10—14 из третьего параграфа каждой главы могут рассматриваться только в классах физико-математического профиля.
Глава VI. Тригонометрические формулы
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса, тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла, Тригонометрические тождества. Синус, косинус, тангенс углов а и -а. Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла. Формулы приведения. Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов. Произведение синусов и косинусов.
Основные цели — формирование понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла (числа); знакомство учащихся с основными формулами тригонометрии; обучение применению формул для преобразования тригонометрических выражений.
Методические рекомендации
Учащиеся знакомятся с радианной мерой угла и устанавливают соответствие между действительными числами и точками числовой окружности.
Впервые учащиеся доказывают тригонометрические тождества, применяя соответствующие формулы. Желательно познакомить школьников со всеми формулами, представленными в данной главе.
Глава VII. Тригонометрические уравнения
Уравнения cosx = a, sinx - a, tgx = a, ctgx = а. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнения, однородные относительно sinx и cosx. Уравнения, линейные относительно sinx и cosx. Решение уравнений методом замены неизвестного. Решение уравнений методом разложения на множители. Различные приемы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, содержащие корни и модули. Системы тригонометрических уравнений. Появление посторонних корней и потеря корней.
Основные цели — формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения; ознакомление с различными приемами решения тригонометрических уравнений.
Методические рекомендации
Изучение главы начинается с решения простейших тригонометрических уравнений, что подготовлено предыдущим материалом.
Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа вводятся до изучения обратных тригонометрических функций и иллюстрируются также на единичной окружности.
Тригонометрические функции
Периодичность тригонометрических функций. Свойства и графики функций у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx. Тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции.
Основные цели — изучение свойств тригонометрических функций; обучение построению графиков тригонометрических функций.
Методические рекомендации
Материал главы перенесен из учебника 10-го класса с целью увеличения в 10-м классе времени на изучение остальных тем.
К свойствам функции, известным учащимся в связи с изучением тригонометрических функций, добавляется свойство периодичности. Это свойство позволяет строить графики тригонометрических функций в два этапа: сначала на отрезке (или интервале), равном по длине периоду функции, а затем — на всей числовой прямой. Свойства каждой конкретной тригонометрической функции формулируются с опорой на графическую иллюстрацию.
Обязательным для всех является навык построения графиков тригонометрических функций, полученных в результате сдвигов и сжатий (растяжений) вдоль координатных осей.
Решение тригонометрических неравенств и свойства обратных тригонометрических функций рассматриваются в ознакомительном плане.
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
10 КЛАСС
Учебная тема | Количество часов | |
Глава I. Действительные числя. Степень с действительным показателем | 7 | |
§ 1. § 3. Рациональные числа Действительные числа | 1 | |
§ 2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия | 1 | |
§ 4. Арифметический корень натуральной степени | 1 | |
§ 5. Степень с рациональным показателем | 1 | |
§ 6. Степень с действительным показателем | 1 | |
Урок обобщения | 1 | |
Контрольная работа № I | 1 | |
Глава II. Показательная функция | 9 | |
§ 7. Показательная функция, ее свойства и график | 3 | |
§ 8. Показательные уравнения и неравенства | 3 | |
Уроки обобщения | 2 | |
Контрольная работа № 2 | 1 | |
Глава III. Степенная функция | 10 | |
§ 9. Стеленная функция, ее свойства и график | 2 | |
§ 10. Взаимно обратные функции | 1 | |
§ 11. Равносильные уравнения и неравенства | 1 | |
§ 12. Иррациональные уравнения | 2 | |
§ 13. Иррациональные неравенства | 2 | |
Урок обобщения | 1 | |
Контрольная работа № 3 | 1 | |
Глава IV. Логарифмическая функция | 12 | |
§ 14. Логарифмы | 1 | |
§ 15. Свойства логарифмов | 2 | |
§ 16. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода | 1 | |
§ 17. Логарифмическая функция, ее свойства и график | 2 | |
§ 18. Логарифмические уравнения | 2 | |
§ 19. Логарифмические неравенства | 2 | |
Урок обобщения | 1 | |
Контрольная работа № 4 | 1 | |
Глава V. Системы уравнений | 8 | |
§ 20. Способ подстановки | 1 | |
§ 21. Способ сложения | 1 | |
§ 22. Решение систем уравнений различными способами | 2 | |
§ 23. Решение задач с помощью систем уравнений | 2 | |
Урок обобщения | 1 | |
Контрольная работа № 5 | 1 | |
Глава VI. Тригонометрические формулы | 10 | |
§ 24. Радианная мера угла § 25. Поворот точки вокруг начала координат | 1 | |
§ 26-27.. Определение синуса, косинуса и тангенса угла Знаки синуса, косинуса и тангенса угла § 28. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла | 1 | |
§ 29. Тригонометрические тождества § 30. Синус, косинус, тангенс углов й и - й | 1 | |
§ 31. Формулы сложения § 32. Синус, косинус и тангенс двойного угла | 1 | |
§ 33. Синус, косинус и тангенс половинного угла | 1 | |
§ 34. Формулы приведения | 1 | |
§ 35. Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов | 1 | |
§ 36. Произведение синусов и косинусов | 1 | |
Урок обобщения | 1 | |
Контрольная работа № в | 1 | |
Глава VII. Тригонометрические уравнения | 12 | |
§ 37. Уравнение cosx = a | 1 | |
§ 38. Уравнение sinх = a | 1 | |
§ 39. Уравнение tgc = a | 1 | |
§40. Уравнение ctgx = а. Проверочная работа | 1 | |
§41. Уравнения, сводящиеся к квадратным | 1 | |
§42. Уравнения, однородные относительно sinх и cosx | 1 | |
43 Уравнение, линейное относительно sinx и cosx | 1 1 | |
§ 44. Решение уравнений методом замены неизвестного | ||
§ 45 Решение уравнений методом разложения на множители | 1 | |
§ 46. Различные приемы решения тригонометрических Уравнений | 1 1 | |
§47 Уравнения, содержащие корни и модули | ||
§ 48. Системы тригонометрических уравнений | 1 | |
§ 49. Появление посторонних корней и потеря корней тригонометрического уравнения | ||
Урок обобщения Контрольная работа № 7 | 2 | |
1 | ||
Глава VIII. Тригонометрические функции | 13 | 18 |
§ 50. Периодичность тригонометрических функций | 1 | 2 |
§ 51. Функция у = sinx, ее свойства и график | 2 | 3 |
§ 52. Функция у = cosx, ее свойства и график. Проверочная работа | 3 | 4 |
§ 53. Функции у = tgx и у = ctgx, их свойства и графики | 2 | 2 |
§54. Тригонометрические неравенства | 2 | 3 |
§ 55. Обратные тригонометрические функции | 1 | 2 |
Урок обобщения | 1 | 1 |
Контрольная работа № 8 | 1 | 1 |
