Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Часть 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§1.1. Основные понятия и определения

п.1 Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1. Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время координата точки будет , т. е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть

.

Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость.

Задача 2. Пусть g(t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время количество прореагировавшего вещества будет , т. е. за время количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени надо устремить к нулю, то есть

.

Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет мгновенную скорость химической реакции.

Пусть функция определена на промежутке X, точка ÎX, дадим ей приращение , величина называется приращением аргумента. В каждой из этих точек посчитаем значение функции и . Тогда можно говорить о приращении функции .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при стремлении аргумента к нулю, то он называется производной функции по аргументу в точке

.

Обозначения:

===.

Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

п.2. Физический и геометрический смысл производной

Физический смысл производной.

Значение производной функции в точке - есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке (скорость процесса в любой момент времени).

Геометрический смысл производной.

Пусть кривая задана уравнением . Соединим две ее точки М0 (, ) и М(, ) секущей.

Тогда дробь = , где есть угол наклона секущей к оси OX (в треугольнике М0МТ отношение катетов)

При точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M0. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что

,

где - угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX, k - угловой коэффициент касательной.

С геометрической точки зрения дифференцируемость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.

Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0. Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью.

Уравнение касательной к графику функции в точке М0 (x0, y0): .

Уравнение нормали к графику функции в точке М0(x0, y0): .

п.3.Односторонние производные

Определение. Если функция определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x0 и существует

,

то он называется производной от функции в точке x0 слева, а

производной в той же точке справа.

Теорема 1. ( Необходимое и достаточное условие существования производной в точке)

Функция имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем

.

Теорема 2. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке)

Если функция имеет производную в точке x0 , то она в этой точке непрерывна.

Следствие. Если существует производная = , то , где - б. м. при .

Замечание. Теорема 2 утверждает, что непрерывность функции в точке является необходимым условием существования в этой точке производной. Обратное утверждение неверно.

Примеры.

1) Пусть и существуют, но не равны друг другу.

В этом случае не существует и . График функции имеет в точке x0 в этом случае «излом», и в этой точке к графику можно провести две касательные.

2) Рассмотрим функцию . Докажем, что в точке x0=0 функция не имеет производной.

,

.

Следовательно, ¹ и не существует и функция не дифференцируема.

3) Бесконечная производная.

Рассмотрим функцию , определенную для значения и найдем . Имеем

Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

4)  Не существование производной

Наконец, может быть ситуация, когда предел, фигурирующий в определении производной, не существует.

Рассмотрим функцию .

так как . Поэтому, полагая , получим

,

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому определенному положению.

п.3. Правила дифференцирования

Теорема 3. Пусть и - дифференцируемые функции и с - константа, тогда справедливы соотношения

1. .

2. .

3. .

4. =.

5. Теорема 4. Пусть функция имеет производную в точке x0, функция имеет производную в точке . Тогда функция будет иметь производную в точке x0 и справедливо соотношение

.

6. Теорема 5. Пусть - обратная функция к функции , имеющей производную в точке y0, причем ¹0. Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем

или

Таблица 1.

Функция	Производная

п.4. Таблица производных

Таблица 2

функция	производная	функция	производная
1.	0	7.  tg x
2.		8.  ctg x
		9.
		10.
3.		11. arctg x
		12. arcctg x
4.		13. sh x	ch x
		14. ch x	sh x
5.		15. th x
6.		16. cth x