МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Елецкий государственный университет им. |
|
“Утверждаю”
Зав. каф.______//
Зав. каф._____/СаввинаО. А./
“___”________________20__ г.
ПРОГРАММА
государственного итогового
междисциплинарного экзамена по математике
( уч. г.)
Специальность: | 050201 Математика с доп. спец. 050202 «Информатика» 050201 Математика с доп. спец. 050203 «Физика» |
Квалификация: | учитель математики и информатики учитель математики и физики |
Срок обучения: | 5 лет |
Форма обучения: | очная |
Факультет: | физико-математический |
Целью государственного экзамена по математике является определение уровня:
· усвоения студентами системы математических знаний,
· овладения определенными умениями и навыками,
· развития мыслительной деятельности и подготовленности к преподаванию математики в средней школе.
Программа государственного экзамена по математике включает в себя основные и наиболее важные вопросы, имеющие теоретическое и практическое значение в профессиональной деятельности будущего учителя математики.
Выпускники должны иметь ясное представление о межпредметных связях математического анализа, алгебры и теории чисел, геометрии и методики преподавания математики.
Экзаменующиеся должны:
- владеть основными понятиями теории множеств, предела, непрерывности, производной и дифференциала, первообразной функции, определенного интеграла, сходимости рядов, владеть техникой дифференцирования и интегрирования, решать дифференциальные уравнения, знать основные свойства элементарных аналитических функций;
- владеть основными понятиями алгебры и теории чисел; иметь представление об основных числовых системах и их построении; владеть навыками решения систем линейных уравнений;
- знать аксиоматический метод построения геометрии, различные группы преобразований плоскости, владеть векторными и координатными методами на плоскости и в пространстве; знать определение и примеры топологических многообразий; основные свойства линий и поверхностей в евклидовом пространстве;
- знать современные подходы к преподаванию математики в условиях модернизации отечественного образования.
РАЗДЕЛ «Математический анализ»
Кафедра математического анализа и элементарной математики
Числовые последовательности (основные понятия; предел, свойства). Число е. Критерий Коши. Теоремы Вейерштрасса и Теорема о вложенных отрезках.
Функции. Предел функции (определения и свойства). Степенная функция в R. Логарифмическая функция в С. Разложение функций sinx и cosx в степенной ряд.
Производная и дифференциал функции. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.
Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование иррациональных выражений и выражений, содержащих тригонометрические функции.
Определенный интеграл. Основные свойства. Интегрирование рациональных выражений.
Дифференцирование функций нескольких переменных. Полный дифференциал. Дифференциал высших порядков. Производные сложных функций. Производная по направлению, градиент.
Двойной интеграл (определение, вычисление, замена переменных). Тройной интеграл (цилиндрические и сферические координаты).
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (линейные уравнения, однородные уравнения).
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Несобственные интегралы (определение, свойства, вычисление, признаки сходимости).
Числовые ряды (основные понятия, признаки сходимости, теорема Лейбница.) Абсолютно сходящиеся ряды. Теорема Римана.
Степенные ряды (основные понятия). Разложение функций в степенной ряд (y=ln(1+x)).
Счетные множества и их свойства. Мощность континуума. Теорема о мощности промежуточного множества. Теорема Кантора-Бернштейна.
Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие аналитической функции.
Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Вычеты.
Понятие о вероятности. Случайные события: теорема сложения и умножения вероятностей. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины.
Предмет математической статистики. Понятие выборки; ее репрезентативность и характеристики. Представление выборочных данных.
РАЗДЕЛ «Алгебра»
Кафедра алгебры и геометрии
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество.
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел.
Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия.
Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена (полинома) с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел полиномы.
РАЗДЕЛ «Теория чисел»
Кафедра алгебры и геометрии
Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной.
Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби.
РАЗДЕЛ «Геометрия»
Кафедра: алгебры и геометрии
Трехмерное точечно-векторное евклидово пространство (в схеме Вейля). Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.
Группа движений плоскости. Подгруппы группы движений плоскости. Аналитическое выражение движения.
Преобразование подобия плоскости. Его аналитическое выражение. Гомотетия. Аналитическое выражение подобия и гомотетии. Группа подобия плоскости и ее подгруппы.
Аффинные преобразования плоскости. Аналитическое выражение. Группа аффинных преобразований.
Различные способы задания плоскости. Обще уравнение плоскости.
Геометрический смысл знака многочлена 
. Взаимное расположение 2-ух, 3-ех плоскостей.
Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Проективная плоскость и ее модели.
Изображение плоских фигур (многоугольников, окружностей, эллипсов) в параллельной проекции.
Изображение пространственных фигур (многогранников, цилиндров, конусов, шаров) в параллельной проекции.
Позиционные задачи аксонометрии на полном изображении. Примеры решения задач на построение изображения сечений многогранников.
Плоскость Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского в схеме Гильберта. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом Лобачевского.
Топологическое пространство. Окрестность точки, база топологии, внутренние, внешние, граничные точки. Замкнутые множества. Топологические подпространства. Отделимость, компактность, связность.
Понятие о клеточном разложении двумерных многообразий. Эйлерова характеристика многообразия. Терема Эйлера для многогранников.
Понятие линии в евклидовом пространстве. Гладкие линии.
Понятие поверхности в евклидовом пространстве. Гладкие поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля.
РАЗДЕЛ «Теория и методика обучения математике»
Кафедра математического анализа и элементарной математики
Кафедра педагогики
Цель обучения в современной школе. Цели обучения математике в средней школе. Анализ программ по математике для 1-4, 5-9, 10-11 классов средней школы.
Содержание образования: сущность, носители. Критерии и факторы отбора содержания образования.
Методы и средства обучения математике. Современные технологии обучения математике (, ).
Формы организации обучения. Урок как основная форма организации учебного процесса. Методика организации и проведения урока математики. Липецкий опыт рациональной организации урока ().
Диагностика обучения. Контроль в структуре диагностики. Формы, виды и методы контроля результатов обучения математике. Единый государственный экзамен.
Основные направления модернизации отечественного школьного образования. Профилизация старшей ступени обучения. Особенности модернизации математического образования. Ведущие идеи национального проекта «Образование» и их реализация.
Математические понятия и методика их введения в средней школе. Методика изучения теорем и аксиом. Логическая структура теоремы.
Задачи в обучении математике.
Методика изучения числовых систем (обыкновенные и десятичные дроби, арифметические действия над ними).
Методика изучения числовых систем (положительные и отрицательные числа, арифметические действия над ними). Методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики.
Методика изучения тождественных преобразований в средней школе (тождественные преобразования рациональных, целых, дробных и иррациональных алгебраических выражений).
Уравнения и неравенства в курсе математики 1-4, 5-6, 7-9, 10-11 классов средней школы и методика из изучения.
Методика введения понятия функции. Методика изучения линейной функции, квадратичной функции.
Методика изучения показательной, логарифмической и степенной функций.
Методика изучения тригонометрических функций в курсе математики средней школы.
Понятие последовательности в школьном курсе математики, арифметические и геометрические прогрессии.
Методика введения понятия производной. Производные основных элементарных функций. Приложения производной.
Методика введения понятия интеграла. Приложения интеграла.
Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии.
Методика изучения тем: «Равенство фигур», «Метод координат».
Методика изучения темы «Многоугольники».
Методика изучения темы «Векторы» (на плоскости и в пространстве).
Методика изучения геометрических преобразований (осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, преобразование подобия).
Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии.
Методика изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
Методика изучения длин, площадей и объемов в школьном курсе математики.
Л И Т Е Р А Т У Р А
К разделу «Математический анализ»
1. , , Лащенов математического анализа. Т.1., Т.2. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. ин.-тов. Под ред. проф. .- М.: Просвещение,1972.-511 с.
2. , , Мордкович анализ. Дифференциальное исчисление. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. ин.-тов.-М.: Просвещение, 1978.-160 с.
3. , Куницкая анализ. Введение в анализ. Учебное пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. ин.-тов.- М.:МГЗПИ,1973.-270 с.
4. , , Мордкович анализ. Интегральное исчисление. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. институтов. - М.: Просвещение, 19с.
5. Зорич анализ, ч.1.- М.: Наука, Главная редакция физико - математической литературы, 1981.-544с.
6. , Позняк математического анализа. Ч.1.,Ч.2 - М.: Наука, 1971, 1982.
7. Коровкин анализ. Ч.1.,Ч.2 - М.: Гос. учебно-метод. изд-во Мин. просвещения РСФСР, 1963.-399 с.
8. Кудрявцев анализ. Т.1., Т.2 - М: Высшая школа, 19с.
9. Никольский математического анализа. – М.: Наука 1973 г., т. 1-2.
10. Райков математический анализ. М.: Высшая школа,1982г.
11. Фихтенгольц математического анализа. Т.1., Т.2 - М.: Наука, 196с.
К разделам «Алгебра», «Теория чисел»
1. Куликов и теория чисел. М., Высшая школа, 1979.
2. Курош высшей алгебры. М., Наука, 1973.
3. Бухштаб чисел. М., Просвещение, 1966.
4. Виноградов теории чисел. М., Наука, 1974.
К разделу «Геометрия»
1. Александров геометрия выпуклых поверхностей.
2. Александров геометрии.
3. Атанасян задач по геометрии. ч.1 – М., Просвещение, 1973.
4. Атанасян . ч.1. - М.:Просвещение,1973.
5. Атанасян . ч.2.- М.:Просвещение,1973.
6. , Атанасян задач по геометрии. ч.2.- М.: Просвещение,1973.
7. ,Базылев , ч.1 - М.:Просвещение,1987.
8. ,Базылев , ч.2 - М.: Просвещение,1987.
9. Базылев задач по геометрии. - М.:Просвещение, 1980.
10. , Дуничев , ч.2 - М.:Просвещение,1975.
11. Болтянский масс.
12. Болтянский геометрия.
13. Математическое мышление.
14. Кон- Наглядная геометрия.
15. , , Фоменко геометрия. Части 1, 2. - М.: Наука, 1979; Часть 3. М.: Наука, 1984.
16. Неевклидовы геометрии.
17. Кокстер в геометрию.
18. , Манин алгебра и геометрия.
19. , , Геометрия, Ч.1
20. Погорелов геометрия выпуклых поверхностей.
21. Погорелов . - М.:Наука,1984.
22. Просолов по планиметрии, ч. 1,2.
23. Наука и гипотеза.
24. Наука и метод.
25. Рашевский геометрия и тензорный анализ.
26. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии.
27. , Яглом пространства.
28. , Яглом геометрии.
29. , Фукс курс топологии.
30. Фоменко методы в топологии.
31. Фоменко геометрия и топология.
32. , Фукс гомотопической топологии.
33. Шерватов функции.
34. Яглом относительности Галилея и неевклидова геометрия.
35. , Ашкинузе и методы аффинной и проективной геометрии.
К разделу «Теория и методика обучения математике»
1. Алгебра и начала анализа в 9-10 кл.: Пособие для учителей , , и др. - М.: Просвещение, 1982.
2. Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. / , и др.; Под ред. . - М.: Просвещение, 1990.
3. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред. шк. / , , и др.; Под. ред. . - М.: Просвещение, 1989.
4. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / , , и др.; Под ред. . - М.: Просвещение, 1989.
5. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / , , и др.; Под ред. . - М.: Просвещение, 1990.
6. Из опыта подготовки к ЕГЭ// Математика в школе. -2005. - №3. - с.34-39.
7. Болотов интервью: «Родители, чьи дети успешно сдали ЕГЭ, вздохнули с облегчением» // Математика в школе. -2005. - №2. - с.21-25.
8. , , Таврткиладзе в школьном курсе математики и методика работы над ними // Математика в школе. -1984. - №4. - с. 43-47.
9. , , Шварцбурд : Учеб. для 5 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1990.
10. , , Шварцбурд : Учеб. для 6 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1991.
11. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах / Под ред. . - М.: Просвещение, 1974.
12. Воспитание учащихся при обучении математике: Кн. для учителя (Сост. ). - М.: Просвещение, 1987.
13. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / , , и др. - М.: Просвещение, 1992.
14. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. школы / , , и др. - 3-е изд, - М.: Просвещение, 1992.
15. Ирошников обучения математике в 4-5 классах сельской школы: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982.
16. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. ин-тов / , , и др. Под ред. . - М.: Просвещение, 1988.
17. Лихачев . Учеб. пособ. / . - М.: Юрайт, 2000. – 523 с.
18. Математика в школе. Сб. нормат. документов / Сост. , , . - М.: Просвещение, 1988,
19. Методика преподавания математики в средней школе: Общ. Методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / , , и др.; Сост. , А. А. столяр. - М.: Просвещение, 1985.
20. Методика преподавания математики в средней школе: Част. методики: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / , , и др.; Сост. . - М.: Просвещение, 1987.
21. Методика преподавания математики в средней школе: Част. методики: Учеб. Пособие для физ.- мат. фак. пед. ин-тов. / , , . - М.: Просвещение, 1980.
22. Методика преподавания математики в средней школе: Част. Методики: Учеб. пособие для физ.- мат. фак. пед. ин-тов /, , и др. - М.: Просвещение, 1977.
23. Мордкович . 7-9 кл..Ч.1:Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.
24. Педагогика. Учеб. пособ. / , , и др./ Под ред. . - М.: РПА, 2004. – 604с.
25. Педагогика. Учеб. пособ./ , , / Под ред . - М.: Школа-Пресс, 1997. – 512с.
26. Погорелов : Уч. пособие для 7-11 классов ср. шк. - М.: Просвещение, 1990.
27. Подласый . Новый курс: Уч-к для студ. пед. вузов: в 2 кн. - М.: ВЛАДОС, 2001, Кн.1: Общие основы. Процесс обучения. – 576 с.
28. Преподавание алгебры в 6 - 8 классах: Сб. ст. / Сост. , . - М.: Просвещение, 1987.
29. , Дудницын планирование учебного материала по математике в 10-11 классах // Математика в школе.- 2005.-с.2-11.
30. Столяр математики. - Минск: Высшая школа, 1986.
31. Фридман -педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983.
32. Фридман учиться математике: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1986.
33. Харламов . Учеб. пособ. / . - М.: Гардарики, 2000 – 519с.
34. Шаталов опоры. - М.: Просвещение, 1987.
35. Ястребицкий с параметрами: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1986.
