Пусть f(t) – действительная функция действительного аргумента t, который будем интепретировать как время или как пространственную координату.
Определение. Будем называть функцию f(t) оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:
1) f(t) и ее производная f/(t) на любом конечном интервале оси t имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода;
2) 
при t < 0;
3) 
и 
для всех t.
Каждой функции f(t) поставим в соответствие функцию F(p) комплексного переменного 
полагая
.
Функция F(p) называется изображением функции f(t).
Теорема (о существовании изображения).
Для всякого оригинала f(t) существует изображение F(p), определенное в полуплоскости 
где 
- показатель роста оригинала. В каждой точке этой полуплоскости функция F(p) имеет производную любого порядка. Кроме того, если 
, то изображение F(p)®0.
Теорема (о единственности оригинала).
Если F(p) является изображением двух оригиналов 
и 
, то эти оригиналы совпадают во всех точках, в которых они непрерывны.
Таблица оригиналов и их изображений
№ | f(t) | F(t) | Приме- чание |
1 |
|
| |
2 |
|
| |
3 |
|
| |
4 |
|
| |
5 |
|
| |
6 |
|
| |
7 |
|
| |
8 |
|
| |
9 |
|
| |
10 |
|
| |
11 |
|
| |
12 |
|
| |
13 |
|
| |
14 |
|
| |
15 |
|
| теорема подобия |
16 |
|
| теорема смещения |
17 |
|
| теорема дифферен-цирования |
18 |
|
| оригинала |
19 |
|
| интегрир. оригинала |
20 |
| I | импульс. ф-ия Дирака |
21 |
|
| теорема запазды- вания |
Схема решения задачи Коши с помощью
преобразования Лапласа
 |
