Тема 1. Производная как мгновенная скорость. Интерпретация производной как скорости изменения функции. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения первого и второго порядка, разрешенного относительно производной. Рассматриваются задачи механики, физики, химии, которые решаются с помощью интерпретации производной как скорости изменения функции, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого и второго порядков, которые могут проинтегрированы в элементарных функциях:
- задача о радиоактивном распаде (дифференциальное уравнение радиоактивного распада);
- задача о вытекании воды (дифференциальное уравнение вытекания воды);
- задача о течении воды по круглой трубе;
- задача об атмосферном давлении (дифференциальное уравнение давления);
- задача о трении намотанного каната;
- задача о падении в воздухе с учетом сопротивления воздуха;
- реактивное движение. Формула Циолковского;
- движение в силовом поле колебания (задача о шарике на пружине; математический маятник; колебания шарика на пружине с учетом трения);
- задача о зависимости между высотой места над уровнем моря и давлением воздуха (барометрическая формула);
- задача о зависимости между объемом и давлением идеального газа при адиабатическом процессе (формула Пуассона);
- уравнение химической реакции.
Тема 2. Применение определенного интеграла при решении задач геометрии, статики, физики. Рассматриваются задачи геометрии, механики и физики, которые приводят к понятию интегральных сумм Римана:
- площадь фигуры (фигура ограничена кривой, заданной явно, неявно, параметрически или в полярной системе координат);
- длина линии (линия задана явно, неявно, параметрически или в полярной системе координат);
- объем тела по его поперечному сечению;
- статические моменты и определение центра масс (кривой, плоской фигуры) при условии непрерывного распределения масс с заданной плотностью;
- статические моменты тела относительно данной плоскости; статический момент поверхности вращения относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения;
- момент инерции материальной точки массы m относительно некоторой оси (или плоскости);
- задача о давлении жидкости на площадку, расположенную на глубине;
- задача о вытекании воды через щель в стенке резервуара;
-задача о силе, с которой ток действует на магнитный заряд;
- работа силы на перемещении вдоль дуги кривой; работа растяжения пружины, работа силы, действующей на поршень; работа сил трения в плоской пяте.
Тема 3. Криволинейный интеграл. Применение криволинейного интеграла при решении задач геометрии, статики, физики. Дается понятие криволинейных интегралов по длине кривой и по координатам, их свойства (повторение), сведение к определенному интегралу. Рассматриваются задачи геометрии, механики, физики, которые приводят к понятию интегральных сумм Римана:
- вычисление длины дуги плоской кривой;
- вычисление площадей плоских фигур;
- цикл Карно. КПД цикла;
- приложения криволинейного интеграла (работа силового поля); поле ньютоновского притяжения;
- плоское установившееся движение несжимаемой жидкости;
- задача о тепле, поглощенном газом;
- задача о действии тока на магнит.
Тема 4. Криволинейные координаты. Дается понятие криволинейных координат, ортогональных криволинейных координат. Вводится понятие функциональной матрицы; определителя функциональной матрицы. Дается связь между декартовыми и криволинейными координатами.
Рассматриваются различные системы криволинейных координат (полярные, цилиндрические, эллиптические цилиндрические координаты, параболические цилиндрические координаты, сферические, биполярные координаты, другие системы координат).
Тема 5. Двойной интеграл. Применение двойного интеграла при решении задач геометрии, статики, физики. Рассматриваются задачи геометрии, механики, физики, приводящие к понятию интегральных сумм:
- задача об объеме цилиндрического тела;
- масса неоднородной пластины;
- статические моменты плоской фигуры относительно координатных осей;
- центр тяжести плоской фигуры;
- моменты инерции плоской фигуры относительно координатных осей;
- статические моменты цилиндрического тела относительно координатных плоскостей;
- центр тяжести цилиндрического тела;
- моменты инерции цилиндрического тела; центробежный момент; оси инерции.
- вычисление площади плоской фигуры, ограниченной кривой, заданной явно, неявно, параметрически, в полярной системе координат;
Тема 6. Тройной интеграл и его приложения. Рассматриваются задачи геометрии, механики, физики, приводящие к понятию тройного интеграла:
- масса неоднородного тела;
-статические моменты тела относительно координатных плоскостей;
- центр тяжести тела;
- моменты инерции относительно координатных осей;
- поле ньютоновского притяжения; потенциал тела на точку;
- центробежные моменты;
- эллипсоид инерции, главные оси инерции (центральные оси инерции);
- задача о центробежной силе, развивающейся при вращении твердого тела вокруг оси;
- формула Остроградского;
- задача о равновесии поверхности, подвергнутой всестороннему равномерному давлению;
- закон Архимеда.
Тема 7. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Приложения поверхностных интегралов в задачах геометрии, механики и физики. Рассматриваются задачи геометрии, механики, физики, приводящие к понятию поверхностного интеграла первого или второго рода:
- площадь поверхности;
- объем тела;
- статические моменты неоднородной поверхности относительно координатных плоскостей;
- координаты центра тяжести неоднородной поверхности;
- моменты инерции неоднородной поверхности относительно координатных плоскостей;
- притяжение простого слоя;
- потенциал простого слоя.
Тема 8. Интеграл, зависящий от параметра. Определение, свойства собственного интеграла, зависящего от параметра (непрерывность интеграла, дифференцирование – правило Лейбница, интегрирование). Применение интеграла, зависящего от параметра к вычислению определенных интегралов.
Определение, свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра (непрерывность интеграла, дифференцирование, интегрирование). Сходимость, равномерная сходимость несобственного интеграла с параметром. Формулы Фруллани. Интегралы специального вида (интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, интеграл Эйлера-Пуассона, интегралы Френеля и другие). Вычисление несобственных интегралов с помощью специальных интегралов.
Решение некоторых интегральных уравнений с помощью несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Интегралы Эйлера 1 и 2 рода (бета - и гамма-функции). Свойства интегралов Эйлера. Связь бета - и гамма-функций. Вычисление определенных интегралов с помощью интегралов Эйлера.
Тема 9. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Определение ряда Фурье. Равномерная сходимость ряда Фурье; оценка остатка ряда Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.
Тема 10. Основы теории сигналов. Некоторые приложения ряда и преобразования Фурье в теории сигналов. Понятие сигнала. Классификация сигналов. Энергия и мощность сигналов. Разложение в ряд Фурье периодических сигналов. Анализ сигналов: последовательность прямоугольных импульсов (меандр); пилообразный сигнал; последовательность треугольных импульсов.
Преобразование Фурье для сигналов: прямоугольный импульс; несимметричный треугольный импульс; симметричный треугольный импульс; односторонний экспоненциальный импульс; двусторонний экспоненциальный импульс; Гауссов импульс; сигнал вида 
.
Тема 11. Другие приложения ряда Фурье. Рассматриваются задачи механики, физики приводящие к понятию ряда Фурье:
- выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию;
- задача о колебании струны;
- задача о распространении тепла в стержне конечной длины;
- задача о распространении тепла в стержне бесконечной длины;
- распространение тепла в круглой пластинке.
Тема 12. Интегральные уравнения. Даются основы теории интегральных уравнений.
Определение интегрального уравнения. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты. Метод последовательных приближений. Решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Метод определителей Фредгольма. Итерированные ядра. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Альтернатива Фредгольма. Приближенные методы решения интегральных уравнений.
6. Планы семинарских занятий.
Тема 1. Решение задач механики, физики, химии с помощью производной, приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого и второго порядков, которые могут проинтегрированы в элементарных функцях. Анализ полученных решений для разных начальных условий (6 часов).
Тема 2. Решение задач геометрии, статики, физики, приводящих к понятию определенного интеграла (6 часов).
Тема 3. Решение задач геометрии, механики, физики, которые приводят к понятию криволинейного интеграла (4 часа).
Тема 4. Криволинейные координаты. Рассматриваются примеры преобразования дифференциальных уравнений в криволинейные системы координат (2 часа).
Тема 5. Решение задач геометрии, механики, физики, приводящие к понятию двойного интеграла (4 часа).
Тема 6. Решение задач геометрии, механики, физики, приводящие к понятию тройного интеграла (6 часов).
Тема 7. Решение задач геометрии, механики, физики, приводящие к понятию поверхностного интеграла первого или второго рода (8 часов).
Тема 8. Интеграл, зависящий от параметра. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегралов Дирихле, Эйлера-Пуассона, Лапласа, Френеля и др. (3 часа).
Решение некоторых интегральных уравнений с помощью несобственного интеграла, зависящего от параметра (2 часа).
Интегралы Эйлера 1 и 2 рода (бета - и гамма-функции). Свойства интегралов Эйлера. Связь бета - и гамма-функций. Вычисление определенных интегралов с помощью интегралов Эйлера (3 часа).
Тема 9. Разложение функций в ряд Фурье (2 часа).
Построение преобразования Фурье для функций (2 часа).
Тема 10. Разложение в ряд Фурье периодических сигналов. Анализ сигналов: последовательность прямоугольных импульсов (меандр); пилообразный сигнал; последовательность треугольных импульсов (3 часа).
Преобразование Фурье для сигналов: прямоугольный импульс; несимметричный треугольный импульс; симметричный треугольный импульс; односторонний экспоненциальный импульс; двусторонний экспоненциальный импульс; Гауссов импульс; сигнал вида (3 часа).
Тема 11. Рассматриваются задачи механики и математической физики приводящие к понятию ряда Фурье (4 часа).
Тема 12. Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода (5 часов).
Интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода (5 часов).
Приближенные методы решения интегральных уравнений (4 часа).
7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Примерные задания для контрольной работы
1. В баке находится 200 л раствора, содержащего 15 кг соли. В бак непрерывно подается вода (7 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?
2. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 5% от первоначального количества?
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 
б) 
в) 
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:
а) 
б) 
в) 
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
6. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми 
, 
- поверхностная плотность 
Найти массу пластинки и координаты центра тяжести.
7. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями 
8. Тело задано ограничивающими его поверхностями, m - плотность. Найти массу тела.
9. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.
10. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей однородной поверхности
а) 
б) 
.
11. Найти в точке (0; 0; z) потенциал простого слоя, распределенного с плотностью
1) на боковой поверхности цилиндра 
, 
;
2) на сфере 
, 
.
12. Решить уравнение 
, преобразовав его к полярным координатам.
13. Вычислить интеграл 
.
14. Выразить через значения бета-функции интеграл 
.
15. Выразить через значения гамма-функции интеграл 
16. Доказать равенство 
.
17. Найти преобразование Фурье функции 
.
18. Представить периодический сигнал, заданный функцией 
(период Т=4), в виде ряда Фурье. Результат представить графически, оставляя в ряде Фурье 1,2, 5 и 10 слагаемых (использовать Maple12 или выше).
19. Решить интегральное уравнение 
методом Бубнова-Галеркина.
Примерные вопросы к экзамену
1. Получить и решить дифференциальное уравнение радиоактивного распада.
2. Получить и решить дифференциальное уравнение, описывающее вытекания воды.
3. Получить и решить дифференциальное уравнение, описывающее течение воды по круглой трубе.
4. Получить дифференциальное уравнение давления.
5. Получить и решить дифференциальное уравнение, описывающее явление трения намотанного каната.
6. Получить и решить дифференциальное уравнение, описывающее падение в воздухе с учетом сопротивления воздуха.
7. Реактивное движение. Формула Циолковского.
8. Движение в силовом поле колебания.
9. Барометрическая формула.
10. Зависимость между объемом и давлением идеального газа при адиабатическом процессе (формула Пуассона).
11. Получить расчетную формулу для статических моментов и определения центра масс (кривой, плоской фигуры) при условии непрерывного распределения масс с заданной плотностью.
12. Получить расчетную формулу для определения моментов инерции материальной точки массы m относительно некоторой оси (плоскости).
13. Цикл Карно. КПД цикла.
14. Получить расчетную формулу для определения силы притяжения.
15. Плоское установившееся движение несжимаемой жидкости.
16. Криволинейные координаты (определение, связь с декартовыми координатами, рассмотреть различные системы координат).
17. Получить расчетную формулу для массы неоднородной пластины.
18. Получить расчетную формулу для статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры относительно координатных осей.
19.Получить расчетную формулу для моментов инерции плоской фигуры относительно координатных осей.
20. Получить расчетную формулу для статических моментов и координат центра тяжести цилиндрического тела относительно координатных плоскостей.
21. Получить расчетную формулу для моментов инерции цилиндрического тела.
22. Получить расчетные формулы для статических моментов относительно координатных плоскостей и координат центра тяжести неоднородной поверхности.
23. Получить расчетные формулы для моментов инерции неоднородной поверхности относительно координатных плоскостей.
24. Получить расчетную формулу для определения силы притяжения простого слоя. Потенциал простого слоя.
25. Получить расчетную формулу для определения массы неоднородного тела.
26. Получить расчетные формулы для статических моментов тела относительно координатных плоскостей и координат центра тяжести тела.
27. Получить расчетные формулы для определения моментов инерции тела относительно координатных осей.
28. Получить расчетную формулу для определения силы притяжения тела. Потенциал тела на точку.
29. Получить расчетные формулы для определения центробежных моментов.
30. Задача о центробежной силе, развивающейся при вращении твердого тела вокруг оси.
31. Задача о равновесии поверхности, подвергнутой всестороннему равномерному давлению.
32. Закон Архимеда.
33. Определение, свойства собственного интеграла, зависящего от параметра (непрерывность интеграла, дифференцирование – правило Лейбница, интегрирование).
34. Определение, свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра (непрерывность интеграла, дифференцирование, интегрирование).
35. Сходимость, равномерная сходимость несобственного интеграла с параметром. Формулы Фруллани.
36. Интегралы Эйлера 1 и 2 рода (бета - и гамма-функции). Свойства интегралов Эйлера. Связь бета - и гамма-функций.
37. Определение ряда Фурье. Равномерная сходимость ряда Фурье; оценка остатка ряда Фурье.
38. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.
39. Задача о выражении эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию.
40. Задача о колебании струны.
41. Задача о распространении тепла в стержне конечной длины.
42. Задача о распространении тепла в стержне бесконечной длины.
43. Задача о распространении тепла в круглой пластинке.
44. Определение интегрального уравнения Вольтера 2-го рода. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра.
45. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты.
46. Метод последовательных приближений.
47. Решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
48. Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода.
49. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода.
50. Метод определителей Фредгольма.
51. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
52. Альтернатива Фредгольма.
Примерные вопросы на зачет
1. Решить при заданных начальных условиях задачу о радиоактивном распаде.
2. Решить при заданных начальных условиях задачу о вытекании воды.
3. Решить при заданных начальных условиях задачу о течении воды по круглой трубе.
4. Решить при заданных начальных условиях задачу об атмосферном давлении.
5. Вычислить площадь фигуры (фигура ограничена кривой, заданной явно, неявно, параметрически или в полярной системе координат).
6. Вычислить длину линии (линия задана явно, неявно, параметрически или в полярной системе координат).
7. Вычислить объем тела по его поперечному сечению.
8. Вычислить работу силы на перемещении вдоль дуги кривой.
9. Вычислить работу растяжения пружины.
10. Вычислить работу силы, действующей на поршень.
11. Вычислить работу сил трения в плоской пяте.
12. Вычислить длину дуги плоской кривой.
13. Вычислить площадь плоской фигуры.
14. Преобразовать данное дифференциальное уравнение к криволинейным координатам.
15. Вычислить объем цилиндрического тела.
16. Вычислить массу неоднородной пластины.
17. Вычислить площадь поверхности.
18. Определить силу притяжения простого слоя. ла на точку;
19. Вычислить данный определенный интеграл, применяя интеграл, зависящий от параметра.
20. Вычислить данный несобственный интеграл, используя формулы Фруллани.
21. Вычислить данный несобственный интеграл, используя один из интегралов специального вида (интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, интеграл Эйлера-Пуассона, интегралы Френеля и другие.
22. Решить данное интегральное уравнение с помощью несобственного интеграла, зависящего от параметра.
23. Представить данный интеграл через значения бета - или гамма-функции.
24. Разложить данную функцию в ряд Фурье.
25. Построить преобразование Фурье для данной функции.
26. Найти резольвенту для данного интегрального уравнения Вольтера 2-го рода.
27. Решить интегральное уравнение с помощью резольвенты.
28. Решить интегральное уравнение с помощью метода последовательных приближений.
29. Решить интегро-дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа.
30. Решить интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода.
31. Решить интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода.
32. Построить резольвенту с помощью итерированных ядер.
33. Решить интегральное уравнение с вырожденным ядром.
8. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Математические методы решения задач механики» используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Математические методы решения задач механики» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
10.1. Основная литература:
1. Бутузов анализ в вопросах и задачах. –М: «Лань», 2008. – 480 с.
2. Демидович и упражнения по математическому анализу для втузов. – М.: «АСТ», 2008. – 495 с.
3. Кудрявцев курс математического анализа. Т.1.– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 400 с.
4. Рашевский дифференциальной геометрии. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 432 с.
5. Фихтенгольц математического анализа в 2-х тт. Т.1. – М: «Лань», 2008. – 448 с.
6. Краснов уравнения. Введение в теорию. – М.: Изд-во КомКнига, 2006. – 304 с.
________________________________________________________________
10.2 Дополнительная литература:
7. Сабитов , дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Высшая школа, 2005. – 672 с.
8. Сергиенко обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002. – 608 с.
9. Maple9.5/10 в математике, физике и образовании. – М.: Изд-во Солон-пресс, 2006. – 720 с.
10. , Слезко функций (приемы, методы и задачи): Уч. пособие. – Тюмень: Изд-во Тюмгу, 2008. – 148 с.
11. Шубин анализ для решения физических задач. – М.: Изд-во Моск. центра непрерывного математического образования, 2003. – 30 с.
12. Зельдович математика для начинающих и ее приложения к физике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. – 559 с.
13. , Яглом математика для начинающих физиков и техников. – М.: Наука, 1982. – 511 с.
14. Математика для электро - и радиоинженеров. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 19с.
10.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. *****
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://*****/
Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 12 (или выше).
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс для практических занятий, лекционная аудитория..
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
