Вопросы и задачи к экзамену по дисциплине
«Математика и математические методы в биологии»
для специальности: 020400 «Биология»
уч. г.
1. Понятие вектора на плоскости, линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).
2. Понятие вектора в пространстве, линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).
3. Скалярное произведение векторов на плоскости и в пространстве. Условие ортогональности.
4. Понятие прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.
5. Прямая на плоскости. Угол между прямыми, расстояние от точки до прямой и между прямыми, пересечение прямых.
6. Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Их свойства.
7. Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве.
8. Понятие плоскости. Различные виды уравнений плоскости. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
9. Понятие матрицы. Треугольная, единичная матрицы. Действия над матрицами и их свойства.
10. Понятие определителя второго и третьего порядков. Свойства определителей. Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.
11. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
12. Элементарные преобразования над матрицами. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.
13. Понятие системы линейных уравнений. Основные понятия (решение системы линейных уравнений, равносильные преобразования). Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.
14. Понятие системы линейных уравнений. Основные понятия (решение системы линейных уравнений, равносильные преобразования). Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
15. Понятие системы линейных уравнений. Основные понятия (решение системы линейных уравнений, равносильные преобразования). Матричная запись и матричная форма решения систем линейных уравнений.
16. Понятие множества, подмножества. Универсальное множество. Операции над множествами (пересечение, объединение, дополнение, отрицание).
17. Понятие функции. Основные свойства функций (область определения и значений, четность/нечетность, периодичность, монотонность, экстремумы).
18. Понятие числовой последовательности. Свойства числовых последовательностей.
19. Предел числовой последовательности. Свойства пределов числовых последовательностей.
20. Предел функции. Свойства. Неопределенность, правила раскрытия неопределенностей.
21. Первый замечательный предел и следствие из него. Второй замечательный предел и следствие из него.
22. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва, их классификация. Исследование непрерывности функций.
23. Определение производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной.
24. Правила вычисления производной. Вычисление производной сложной функции.
25. Исследование и построение графиков функций с помощью производной (промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции, асимптоты, промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба функции).
26. Понятие функции нескольких переменных. Примеры. Понятие частных производных первого и второго порядка.
27. Понятие градиента функции двух переменных. Вычисление градиента функции двух переменных.
28. Понятия первообразной функции. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
29. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, интегрирование с помощью введения новой переменной, интегрирование по частям).
30. Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
31. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
32. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
33. Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения (общее решение, частное решение).
34. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Алгоритм нахождения общего и частного решения.
35. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Алгоритм нахождения общего и частного решения.
36. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм нахождения общего и частного решения.
37. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
38. Признак исследования числовых рядов на сходимость (признаки сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак).
39. Понятие степенного ряда и области его сходимости. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
40. Ряды Тейлора и Маклорена.
41. Элементы комбинаторики. Размещения (с повторениями, без повторений). Перестановки (с повторениями, без повторений). Сочетания (с повторениями, без повторений).
42. Понятия теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Свойство связности.
43. Диаметр, радиус и центр графа (с примерами).
44. Понятие события. Виды событий. Классификация случайных событий. Вероятность случайных событий (классическое определение вероятности, статистическое определение вероятности).
45. Операции над событиями. Теоремы сложения вероятностей.
46. Операции над событиями. Теоремы умножения вероятностей.
47. Полная группа событий. Формула Бернулли.
48. Случайные величины. Примеры случайных величин. Дискретные случайные величины, примеры. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
49. Понятие модели. Виды моделей, примеры.
50. Математические модели биологических систем (с примерами).
51. Дискретные модели биологических систем (с примерами).
52. Понятие равновесия и его устойчивость.
53. Непрерывные модели популяций, уравнения Лотки-Вольтерра.
54. Неограниченный рост и автокатализ.
55. Фермент-субстратная реакция Михаэлиса—Ментен.
56. Брюсселятор. Колебания в гликолизе.
57. Мультистационарные модели, генетический триггер.
58. Детерминированный хаос. Диссипативные структуры.
Типовые задачи к экзамену по дисциплине
1. Даны координаты точек 
. Найти: 1) координаты векторов 
и 
; 2) угол между векторами и .
2. Даны координаты точек 
. Найти: 1) координаты векторов и ; 2) угол между векторами и .
3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки 
и 
. Найти угловой коэффициент прямой.
4. Найти уравнение плоскости проходящей через точки .
5. Для матриц 
и 
вычислить 
.
6. Даны матрицы 
и 
. Найти матрицы 
и 
.
7. Вычислить определитель матрицы .
8. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
9. 
10. Решить систему уравнений методом Гаусса
11. Определить множества: 
, 
, 
, 
, если 
, 
.
12. Даны три множества: 
, 
, 
. Найти следующие множества: а) 
, б) 
.
13. Исследовать на четность-нечетность функции:
а) 
б) 
.
13. Вычислить пределы:
1) | 2) | 3) |
14. Вычислить производные функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
15. Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
1) 
2) 
16. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций:
1) 
б) 
в) 
.
17. Найти частные производные первого и второго порядка функций:
1) 
2) 
18. Найти дифференциалы первого порядка функций:
1) 
2) 
19. Найти неопределенные интегралы:
1) 
; 2) 
.
20. Вычислить определенные интегралы:
1) 
2) 
21. Найти решение дифференциального уравнения:
1) 1.
если х = -1, то у = 0 2) 
; у = 12, если х=81.
22. Скорость роста числа бактерий задается уравнением 
, где N - численность бактерий, t – время. Найти закон роста числа бактерий N(t), если при t=0 
.
23. Скорость роста популяции насекомых модулируется функцией 
, где N - численность насекомых, t – время (в днях). Определить численность насекомых в популяции спустя: 1) 1 день; 2) 5 дней;дней, если в начальный момент времени число особей в популяции равно 10000.
24. Исследовать сходимость числового ряда:
1) 
, если 
2) , если 
3) , если 
25. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
26. Вычислить:
.
27. Решить уравнение: 
.
28. В урне находится 12 шаров: 5 белых и 7 черных. Последовательно вытаскивают 2 шара. Найти вероятность того, что 1) они окажутся разного цвета; 2) первый белый, а второй черный; 3) оба шара черного цвета.
29. Медицинская сестра обслуживает в палате троих больных. Вероятность того, что в течении часа внимания сестры потребует первый больной, Р(А)=0,2, второй больной – Р(В)=0,3, третий – Р(С)= 0,25.Найти вероятность того, что в течении часа все больные потребуют внимания сестры.
30. Найти вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, буде: 1) две девочки; 2) не менее двух девочек. Считать, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы и равны 0,5.
31. Имеется граф 
, где 
, 
. Необходимо: 1) определить количество ребер и вершин; 2) изобразить граф; 3) для вершин 1, 2, 5 перечислить смежные и несмежные вершины; 4) для каждого ребра (1;2), (6;3), (2;6) перечислить смежные и несмежные ребра; 5) определить степень вершин 1, 4, 6; 6) записать матрицу смежности и инцидентности.
