Математика (стр. 4 )

Семестр 1.

Модуль 1.

Тема 1.1.1. Аналитическая геометрия на плоскости. Метод координат. Основные задачи. Уравнения линии на плоскости. Уравнения прямой. Угол между прямыми. Кривые второго порядка, их геометрические свойства и уравнения.

Тема 1.1.2. Введение в математический анализ. Вещественные числа. Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва.

Тема 1.1.3.Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Основные теоремы. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Правила, формулы ее нахождения. Дифференциал функции его свойства, приложения.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.

Модуль 2.

Тема 1.2.1. Неопределенный интеграл. Неопределенный и определенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования. Интегрирование некоторых классов функций.

Тема 1.2.2. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Тема 1.2.3. Приложения определенного интеграла. Приложения определенного интеграла для вычисления объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Несобственные интегралы. Приближенные вычисления определенного интеграла.

Модуль 3.

Тема 1.3.1. Элементы линейной алгебры. Элементы линейной алгебры. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Определители n-ого порядка. Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.

Тема 1.3.2. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, их свойства. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное, смешанное произведение векторов. Их приложения.

Семестр 2

Модуль 1.

Тема 2.1.1. Числовые ряды. Числовые, степенные ряды. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Степенные ряды. Ряд Маклорена, ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды. Бином Ньютона.

Тема 2.1.2 Аналитическая геометрия в пространстве. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Угол между плоскостями. Уравнения поверхности. Уравнения поверхностей второго порядка.

Тема 2.1.3 Функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Предел, непрерывность, частные производственные функции двух переменных. Полный дифференциал функций двух переменных. Производная по направлению. Градиент функции в точке. Экстремум функции двух переменных. Условный экстремум.

Тема 2.1.4 Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные, неоднородные).

Модуль 2

Тема 2.2.1 Формулы для вычисления вероятностей. Основные теоремы. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями. Свойства вероятностей. Геометрическое определение. Теоремы умножения и сложения вероятностей. Формула Байеса.

Тема 2.2.2 Дискретная случайная величина. Законы распределения. Биномиальное, геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

Тема 2.2.3 Непрерывная случайная величина. Законы распределения. Свойства функции распределения. Законы равномерного, нормального, экспоненциального распределений.

Модуль 3

Тема 2.3.1. Статистическое распределение выборки. Основные понятия. Построение эмпирических функций по данному распределению выборки. Построение полигона частот. Построение гистограмм.

Тема 2.3.2. Статистические оценки параметров распределения. Основные методы оценок параметров распределения. Основные понятия. Метод расчета свободных характеристик выборки. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия.

6. Планы семинарских занятий.

Тема 1.1.1. Решение задач на вычисление расстояний между точками, нахождение точек. Нахождение уравнений прямой различных видов. Решение задач на нахождение уравнений линий по их свойствам, канонических уравнений линий второго порядка.

Тема 1.1.2. Вычисление пределов числовых последовательностей. Вычисление пределов функций. Вычисление пределов с применением свойств эквивалентности бесконечно малых функций. Вычисление производных сложных функций

Тема 1.1.3. Нахождение дифференциала функции одной неизвестной, производных и дифференциала второго порядка. Построение графиков функций.

Тема 1.2.1. Вычисление неопределенных интегралов по таблице основных интегралов. Интегрирование подстановкой, подведением под дифференциал, методом по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических функций.

Тема 1.2.2. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Формула интегрирования по частям. Замена переменных в определенном интеграле.

Тема 1.2.3. Нахождение площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения длин дуг, поверхностей вращения. Вычисление несобственных интегралов первого и второго ряда.

Тема 1.3.1. Вычисление определителей второго, третьего порядка, определителей четвертого порядка по теореме разложения, с использованием других свойств. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера, методом Гаусса. Действия над матрицами. Вычисление обратной матрицы. Решение системы трехлинейных уравнений с тремя неизвестными. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

Тема 1.3.2. Вычисление скалярного, векторного, смешанного произведений векторов. Их приложения.

Тема 2.1.1. Исследование сходимости числовых рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

Тема 2.1.2. Нахождение уравнений плоскостей в общем виде, по двум точкам, по точке и вектору-нормали к плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

Тема 2.1.3. Нахождение частных производных функций двух переменных. Локальный, глобальный условный экстремум.

Тема 2.1.4. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Задача Коши. Решение однородных и линейных уравнений первого порядка. Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 2.2.1. Операции над событиями. Свойства вероятностей. Геометрическое определение. Теоремы умножения и сложения вероятностей. Формула Байеса.

Тема 2.2.2. Решение задач на биномиальное, геометрическое распределение, распределение Пуассона, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Тема 2.2.3. Решение задач на равномерного, нормального, экспоненциального распределений.

Тема 2.3.1. Основные понятия. Построение эмпирических функций по данному распределению выборки. Построение полигона частот. Построение гистограмм.

Тема 2.3.2. Решение задач методом расчета свободных характеристик выборки, методом моментов для точечной оценки параметров распределения и методом наибольшего правдоподобия.

7.  Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не планируются.

8.  Примерная тематика курсовых.

Не планируются.

9.  Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

a) Текущая аттестация:

контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).

b) Промежуточная аттестация:

зачёт (письменно - устная форма). Зачёт выставляется после решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.

Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.

Варианты контрольных работ:

Семестр 1

Контрольная работа №1.

1.Найти расстояние от точки А (2,5) до прямой .

2. Написать уравнение параболы с вершиной в точке (0,0), для которой директрисой служит прямая . Построить параболу и директрису.

3. Составить уравнение лини, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и прямой равно 0,75.

4. Дан треугольник АВС вершинами A(0;1), B(6;4) и С (3;5). Найти уравнение высоты BH и медианы BD.

Контрольная работа №2.

1.  Исследовать функции и построить графики:

a) 

b) 

Контрольная работа №3.

1.  Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

2.  Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

3.  Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Oy:

4.  Вычислить площадь поверхности вращения доги вокруг оси Oy:

5.  Вычислить несобственный интеграл:

.

Контрольная работа №4.

1.  Найти матрицу , если известно:

2. Решить систему линейных неоднородных уравнений

a) Методом Крамера

b) Матричным методом

c) Методом Гаусса

Контрольная работа №5.

1.  Даны векторы .

Необходимо:

1)  Вычислить смешанное произведение трех векторов:

2)  Найти модуль векторного произведения:

3)  Вычислить скалярное произведение векторов:

4)  Проверить, будут ли векторы коллинеарны:

5)  Проверить, будут ли векторы компланарны:

2.  Даны вершины пирамиды. Вычислить:

1)  Площадь грани

2)  Площадь сечения проходящего через середину ребра и две вершины

3)  Объем пирамиды.

Семестр 2

Контрольная работа №1

1.  Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:

2.  Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

3.  Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

4.  Разложить в ряд Макларена функцию, найти ее радиус сходимости:

Контрольная работа №2.

1. Проверить справедливость равенства:

, если ;

2. Найти условные экстремумы функции относительно уравнения связи: , ;

3. Для функции найти:

1) Величину и направление градиента в точке M(1;1);

2) Экстремумы.

;

4. Для функции найти:

1)  Уравнение касательной плоскости в заданной точке;

2)  Уравнение нормали в точке M;

, .

Контрольная работа №3.

1.  Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Решить уравнение в полных дифференциалах:

Решить Дифференциальное уравнение, подпускающее понижение порядка.

Решить ЛНДУ со специальной правой частью:

Контрольная работа №4.

В наборе 6 белых и 12 черных шаров. Извлекают наугад 2 шара. Найти вероятность того что

a.  оба шара черные

b.  только один шар черный

c.  хотя бы один шар черный.

На сборку поступает 30% деталей с первого станка, 30% деталей со второго станка и 40% с третьего. Вероятность изготовления бракованных деталей соответственно равно 0,01; 0,01 и 0,07. Найти вероятность того, что взятая деталь является бракованной. В среднем 90% выпускаемых изделий являются стандартными найти вероятность того, что среди 400 отобранных для проверки изделий нестандартных будет:

a.  391

b.  от 350 до 361.

Контрольная работа №5.

1.  Найти числовые характеристики, построить график функции распределения F(x) дискретной случайной величины X:

X	n	n+2	n+4
p	0,4	0,5	0,1

2.  Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти ее числовые характеристики, построить график F(x).

Вопросы к экзамену и зачету:

1.  Декартовы координаты. Простейшие задачи аналитической геометрии.

2.  Полярные координаты. Преобразования прямоугольных координат. Уравнения линий на плоскости.

3.  Уравнение прямой на плоскости, их частные случаи.

4.  Угол между прямыми. Условия параллельности, перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

5.  Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. их уравнения, графики и свойства исследование уравнения эллипса.

6.  Вещественные числа. Множества, действия над множествами.

7.  Постоянные, переменные величины, понятие функции. Примеры элементарных функций. Их графики.

8.  Предел числовой последовательности. Понятие ограниченных сверху (снизу) последовательностей.

9.  Предел функции в точке, односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке. Пределы при х→+∞, х→-∞.

10.  Теоремы о пределах функции.

11.  Два замечательных предела. Таблица эквивалентности.

12.  Понятие непрерывности функции: определения, примеры. Действия над непрерывными функциями.

13.  Классификация точек разрыва функции. Примеры разрывных функций. Их графики

14.  Основные свойства непрерывных функций.

15.  Определение производной функции. Её геометрический и физический смысл.

16.  Правила и формула дифференцирования.

17.  Производные высших порядков. Формулы производных n-порядка для некоторых функций.

18.  Понятие дифференциала функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Теоремы и свойства дифференциала функции.

19.  Основные теоремы дифференциального исчисления.

20.  Правило Лопиталя для вычисления пределов функции. Раскрытие неопределенности вида (0*∞); 00; ∞0; 1∞.

21.  Признаки монотонности функций. Понятие экстремума функций. Теоремы о необходимом и достаточном условиях экстремума функции

22.  Определение выпуклости, вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика.

23.  Точка перегиба графика функции. Теоремы о необходимом, достаточном условии точки перегиба графика.

24.  Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

25.  Понятие первообразной функции. Основные свойства первообразной.

26.  Понятие неопределенного интеграла, его свойства.

27.  Общие методы интегрирования.

28.  Таблица интегралов.

29.  Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

30.  Интегрирование рациональных дробей.

31.  Метод неопределенных коэффициентов при интегрировании рациональных дробей.

32.  Интегрирование некоторых иррациональных функций

33.  Интегрирование некоторых трансцендентных функций (arcsin x, ln x, ex и др.)

34.  Понятие определенного интеграла. Его свойства.

35.  Понятие несобственного интеграла первого и второго рода.

36.  Вычисление площадей фигур в прямоугольных координатах.

37.  Вычисление объемов тел вращения вокруг Оx, Оy, поверхностей тел вращения в прямоугольных координатах.

38.  Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах.

39.  Понятие числового ряда. Примеры числовых рядов (гармонический ряд, геометрическая прогрессия и др.). Необходимые признак сходимости числового ряда.

40.  Достаточные признаки сходимости числовых рядов.

41.  Знакопеременные, знакочередующиеся ряды. Признаки их сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимости рядов.

42.  Степенные ряды, радиус, интеграл сходимости. Ряд Маклорена, Ряд Тейлора.

43.  Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

44.  Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Эйлера.

45.  Прямоугольная система координат в пространстве. Формула длины отрезка, деление отрезка в данном отношении.

46.  Понятие вектора, проекции вектора. Координаты вектора. Направляющие косинусы.

47.  Линейные операции над векторами. Понятие коллинеарных векторов. Свойства линейных операций над векторами.

48.  Разложение вектора в данном отношении. Скалярное произведение векторов и его свойства.

49.  Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади параллелограмма.

50.  Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление объема параллелепипеда.

51.  Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

52.  Уравнение плоскости в отрезках, плоскости, проходящее через точку, через две точки.

53.  Угол между плоскостями.

54.  Уравнение прямой в пространстве.

55.  Общие понятия функций нескольких переменных. Предел, непрерывность функции двух переменных.

56.  Частные производные первого порядка функций двух переменных.

57.  Частные производные второго порядка функций двух переменных. Понятие полного дифференциала первого и второго порядков.

58.  Понятие производной функции по заданному направлению. Градиент функции в точки.

59.  Экстремум функции двух переменных (определение, необходимое условие). Теорема о достаточном условии экстремума функции двух переменных. Условный экстремум.

60.  Дифференциальные уравнения, общие понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

61.  Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

62.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Способы их решения.

63.  Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия. Решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

64.  Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

65.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

10.  Образовательные технологии.

аудиторные занятия:

1.  лекционные и практические занятия; на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.

2.  активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме по темам 1.2.1, 1.2.2, 1.3.1, 1.3.2, 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.3.1, 2.3.2).

внеаудиторные занятия:

1. самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным занятиям, подготовка к опросам, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов, решение задач, выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации);

3. индивидуальные консультации.

11.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

11.1. Основная литература:

1.  , , Татосов курс лекций, упражнения и задания по высшей математике: Учебное пособие. Тюмень: Практика плюс, 2001.

2.  Кудрявцев курс высшей математики. М., Наука, 1986.

3.  Минарский задач по высшей математике. М., Наука, 1987.

4.  Рублев линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Высшая школа, 1982.

5.  Письменный лекций по высшей математике: полный курс. М., Айрис-пресс, 2006.

6.  Шипачев математика. М., Высшая школа, 1995.

7.  Шипачев по высшей математике. М., Высшая школа, 1996.

11.2. Дополнительная литература:

1.  , Попов математика в упражнениях и задачах: Ч.1. М., Высшая школа, 1986

2.  Криволапова . Тюмень, 2008.

3.  Сахарников математика. Издательство Ленинградского университета, 1973.

4.  Математика для географов. Перевод с англ. М., Прогресс, 1981.

12.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с Microsoft Office.