Министерство образования и науки РФ
ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный химико-технологический университет»
«УТВЕРЖДАЮ»
Ректор ФБГОУ ВПО «ИГХТУ»
______________
"___" ____________ 201__ г.
П Р О Г Р А М М А
кандидатского экзамена по специальности
01.01.06 “Математическая логика, алгебра и теория чисел”
(2 части: основная программа и дополнительная программа)
Иваново 2011
ПРОГРАММА-МИНИМУМ (Часть I - Основная)
кандидатского экзамена по специальности
01.01.06 “Математическая логика, алгебра и теория чисел”
по физико-математическим наукам
Введение
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. РАН и Московского государственного университета им. .
1. Математическая логика и теория алгоритмов
Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча.
Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.
Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.
Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы.
Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость.
Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме.
Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции.
* Полнота исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности.
*Элементарные теории классов алгебраических систем. Категоричные в данной мощности теории. Теорема о полноте теории, не имеющей конечных моделей и категоричной в бесконечной мощности.
Формальная арифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства).
*Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истинности в арифметике.
*Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов.
*Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора.
2. Алгебра
Теоремы Силова.
Простота группы An , n ? 5 и SO3.
Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов.
Свободные группы и определяющие соотношения.
Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.
Конечные поля, их подполя и автоморфизмы.
Радикал кольца. Структурная теорема о полупростых кольцах с условием минимальности.
Группа Брауэра. Теорема Фробениуса.
Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.
Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта.
*Основы теории представлений. Теорема Машке. Одномерные представления. Соотношения ортогональности.
*Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.
*Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.
3. Теория чисел
Квадратичный закон взаимности.
Первообразные корни и индексы.
Неравенства Чебышева для функции?(x).
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.
Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений.
*Критерий Вейля равномерного распределения. Теорема Вейля о последовательности значений многочлена.
Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм.
Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.
Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел.
Трансцендентность чисел е и p.
Основная литература
1. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
2. , Палютин логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987.
3. Мальцев и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.
4. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.
5. Новиков математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.
6. Ершов разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.
7. Ван дер Варден . М.: Наука, 1976.
8. Кострикин в алгебру. Ч. 3. Основные структуры алгебры. М.: Физматлит, 2000.
9. алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.
10. Скорняков общей алгебры. М.: Наука, 1983.
11. Мальцев системы. М.: Наука, 1970.
12. Алгебра. М.: Мир, 1968.
13. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
14. , Шафаревич чисел. М.: Наука, 1985.
15. Виноградов теории чисел. М.: Наука, 1981.
16. , , Шидловский в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1995.
17. Карацуба аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.
18. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.
19. Коробков суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.
20. Серр арифметики. М.: Мир, 1972.
21. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.
ПРОГРАММА-МИНИМУМ (Часть II - Дополнительная)
1. Математическая логика и теория алгоритмов
Нумерованные множества и m-сводимость.
Табличная сводимость множеств.
Методы доказательства разрешимости и неразрешимости теорий.
Сводимость по Тьюрингу и верхняя полурешетка Тьюринговых степеней.
Арифметическая иерархия множеств.
Сводимость по перечислимости и верхняя полурешетка степеней перечислимости.
Формульная определимость.
2. Алгебра
Коммутаторные соотношения в свободных группах. Формула Витта.
Группа автоморфизмов свободной группы.
Нильпотентные группы без кручения. Представление унитреугольными матрицами. Теорема Мальцева о пополнении.
Линейно упорядоченные группы. Система выпуклых подгрупп. Групповые условия упорядочиваемости.
Алгоритм Бухбергера построения базиса идеала в кольце многочленов от нескольких переменных.
3. Теория чисел
Сходимость в поле p-адических чисел.
Представление чисел разложимыми формами.
Квадратичные и круговые поля.
Диофантовы уравнения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ершов нумераций. М.: Наука, 1977.
2. Ершов и вычислимость. Новосибирск: Научная книга, 1996.
3. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных фугкций. М.: Мир, 1983.
4. , Копытов упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.
5. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
6. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.
7. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
8. Соар перечислимые множества и степени. – Казань: Казанское математическое общество, 2000.
Программу составил Я, д. ф.-м. н., проф., зав. каф. ВМ
Руководитель образовательной программы аспирантуры_____________________________
ФИО, уч. степень, звание, должность
Программа обсуждена на заседании Ученого Совета факультета ___________
«___» __________ 20 ___ г. Протокол № ______
