Математика (стр. 3 )

№	Наименование темы
	Первый семестр
1.	Элементы линейной алгебры Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.
2.	Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат. Основные задачи. Полярные координаты. Уравнение линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение кривой второго порядка.
3.	Аналитическая геометрия в пространстве Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.
	Второй семестр
1.	Введение в математический анализ Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Функции. Способы задания функций. Свойства функций. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.
2.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.
3.	Экстремумы функции и геометрические приложения производной Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков.
	Третий семестр
1.	Неопределенный интеграл Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование гиперболических функций. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок.
2.	Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Замена переменного и метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла. Приближенные вычисления определенного интеграла.
3.	Числовые, степенные ряды Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Знакопеременные ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Интервал сходимости степенных рядов. Ряд Маклорена, ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды. Использование рядов для приближенных вычислений. Ряды Фурье. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами.
4.	Функции нескольких переменных Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал функции. Дифференцирование сложных функций. Градиент. Производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Интегрирование полных дифференциалов. Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции. Условный экстремум.
	Четвертый семестр
1.	Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов. Криволинейные интегралы. Формула Грина. Некоторые приложения криволинейных интегралов. Тройные интегралы. Поверхностные интегралы. Формулы Остроградского и Стокса. Элементы теории поля: скалярное и векторное поля, градиент, дивергенция и вихрь, поток и циркуляция вектора, работа поля, потенциальное и соленоидальное поля.
2.	Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ. Уравнение Бернулли. Уравнение Рикатти. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Уравнения, не разрешенные относительно у’. Уравнения Лагранжа и Клеро.
3.	Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго. Системы дифференциальных уравнений.

Темы практических занятий

№	Наименование темы
	Первый семестр
1.	Элементы линейной алгебры Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.
2.	Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат. Основные задачи. Полярные координаты. Уравнение линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение кривой второго порядка.
3.	Аналитическая геометрия в пространстве Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.
	Второй семестр
1.	Введение в математический анализ Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Функции. Способы задания функций. Свойства функций. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.
2.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.
3.	Экстремумы функции и геометрические приложения производной Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков.
	Третий семестр
1.	Неопределенный интеграл Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование гиперболических функций. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок.
2.	Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Замена переменного и метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла. Приближенные вычисления определенного интеграла.
3.	Числовые, степенные ряды Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Знакопеременные ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Интервал сходимости степенных рядов. Ряд Маклорена, ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды. Использование рядов для приближенных вычислений. Ряды Фурье. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами.
4.	Функции нескольких переменных Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал функции. Дифференцирование сложных функций. Градиент. Производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Интегрирование полных дифференциалов. Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции. Условный экстремум.
	Четвертый семестр
1.	Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов. Криволинейные интегралы. Формула Грина. Некоторые приложения криволинейных интегралов. Тройные интегралы. Поверхностные интегралы. Формулы Остроградского и Стокса. Элементы теории поля: скалярное и векторное поля, градиент, дивергенция и вихрь, поток и циркуляция вектора, работа поля, потенциальное и соленоидальное поля.
2.	Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ. Уравнение Бернулли. Уравнение Рикатти. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Уравнения, не разрешенные относительно у’. Уравнения Лагранжа и Клеро.
3.	Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго. Системы дифференциальных уравнений.

Перечень заданий для самостоятельной работы

Первый семестр

1.  Доказать свойства определителей и операций над матрицами.

2.  Составить схему нахождения определителя методом Гаусса.

3.  Доказать линейную независимость ФСР.

4.  Вывести формулы двойных и тройных углов для тригонометрических функций, используя комплексные числа.

5.  Вывести формулы перехода от одного способа задания прямой на плоскости к другому.

6.  Доказать, что уравнение является уравнением гиперболы.

7.  Составить схему определения вида кривой второго порядка по общему уравнению.

8.  Доказать свойства скалярного, векторного и смешанного произведений.

9.  Вывести формулы перехода от одного способа задания прямой в пространстве к другому.

10.  Приготовить доклад по теме «Метод сечений».

Второй семестр

1.  Доказать свойства операций над множествами.

2.  Определить свойства элементарных функций.

3.  Доказать свойства пределов и теоремы о пределах функций.

4.  Составить схему раскрытия неопределенностей.

5.  Составить таблицу эквивалентных функций, используя первый и второй замечательные пределы.

6.  Вывести формулу логарифмического дифференцирования.

7.  Доказать формулу Лейбница методом математической индукции.

8.  Доказать основные теоремы дифференциального исчисления.

9.  Составить схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения.

10.  Составить схему исследования функций.

Третий семестр

1.  Доказать свойства неопределенных интегралов.

2.  Вывести формулы интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле.

3.  Доказать формулу Остроградского.

4.  Вывести формулы приведения для интегралов , , , .

5.  Доказать свойства определенных интегралов.

6.  С помощью определенных интегралов найти пределы сумм и .

7.  Исследовать сходимость интеграла Эйлера-Пуассона.

8.  Доказать, что гамма-функция сходится при p>0.

9.  Вывести формулы интегрирования по частям и замены переменной в определенном интеграле.

10.  Вывести формулы для приближенных вычислений интегралов.

11.  Доказать, что необходимый признак сходимости ряда не является достаточным (привести пример).

12.  Доказать, что гармонический ряд расходится.

13.  Исследовать сходимость ряда Дирихле при разных значениях р.

14.  Доказать, что признак Лейбница не является необходимым.

15.  Вывести формулы для приближенных вычислений значений функций с помощью разложения в степенной ряд.

16.  Выразить объем правильной четырехугольной пирамиды, как функцию ее высоты и бокового ребра.

17.  Построить линии уровня функции .

18.  Показать, что относительная ошибка произведения приближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.

19.  Вывести условия полного дифференциала для случая трех переменных.

20.  Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.

Четвертый семестр

1.  Доказать свойства кратных интегралов.

2.  Найти якобиан при переходе к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.

3.  Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой.

4.  Вычислить момент инерции площади лемнискаты относительно оси, перпендикулярной ее плоскости в полюсе.

5.  Доказать свойства криволинейных интегралов.

6.  Найти работу упругой силы, направленной к началу координат и пропорциональной удалению точки от начала координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса (х³0, у³0).

7.  Доказать свойства поверхностных интегралов.

8.  Доказать, что div(rota)=0.

9.  Составить схему решения ДУ первого порядка.

10.  Составить дифференциальное уравнение всех окружностей на плоскости ХОУ.

11.  Методом изоклин построить поле интегральных кривых уравнения y’=x.

12.  Найти кривую, у которой отрезок касательной равен расстоянию точки касания от начала координат.

13.  Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.

14.  Составить схему решения физических задач методом дифференциалов.

15.  Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида вращения.

16.  Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая, что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь.

17.  Исследовать на линейную зависимость систему функций: , , 1.

18.  Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, зная его фундаментальную систему решений: .

19.  Доказать, что общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

20.  Составить общую схему решения систем дифференциальных уравнений.

Контрольные вопросы к зачетам и экзаменам

Первый семестр

1.  Матрицы, действия над матрицами.

2.  Определители, их свойства.

3.  Обратная матрица.

4.  Ранг матрицы.

5.  Системы линейных уравнений.

6.  Правило Крамера

7.  Метод Гаусса

8.  Матричный метод.

9.  СЛНУ.

10.  СЛОУ.

11.  Комплексные числа.

12.  Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.

13.  Метод координат. Основные задачи.

14.  Полярные координаты.

15.  Уравнение линии как множество точек плоскости.

16.  Уравнение прямой на плоскости.

17.  Угол между двумя прямыми.

18.  Нормальное уравнение прямой.

19.  Расстояние от точки до прямой.

20.  Эллипс, гипербола, парабола.

21.  Общее уравнение кривой второго порядка.

22.  Прямоугольная система координат в пространстве.

23.  Векторы и линейные операции над ними.

24.  Разложение вектора по базису.

25.  Скалярное произведение векторов и его свойства.

26.  Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.

27.  Геометрический смысл векторного и смешанного произведений.

28.  Уравнение прямой в пространстве.

29.  Уравнение плоскости в пространстве.

30.  Уравнения линии и поверхности.

Второй семестр

1.  Множества, действия над множествами.

2.  Логические символы.

3.  Числовые последовательности.

4.  Сходящиеся последовательности.

5.  Монотонные последовательности.

6.  Функции.

7.  Способы задания функций.

8.  Свойства функций.

9.  Предел функции в точке.

10.  Теоремы о пределах функций.

11.  Раскрытие неопределенностей разного вида.

12.  Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства.

13.  Сравнение бесконечно малых.

14.  Понятие производной функции

15.  Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения.

16.  Дифференцирование функций, заданных параметрически.

17.  Дифференцирование функций, заданных неявно.

18.  Основные теоремы дифференциального исчисления.

19.  Дифференциал функции его свойства, приложения.

20.  Применение производной для приближенных вычислений.

21.  Производные и дифференциалы высших порядков.

22.  Геометрический смысл производной.

23.  Механический смысл производной.

24.  Экстремумы функции одной переменной.

25.  Задачи на наибольшее и наименьшее значения.

26.  Направление выпуклости. Точки перегиба.

27.  Непрерывность функции в точке, на промежутке.

28.  Классификация точек разрыва.

29.  Асимптоты.

30.  Исследование функций и построение их графиков.

Третий семестр

1.  Первообразная.

2.  Неопределенный интеграл, его свойства.

3.  Таблица основных интегралов.

4.  Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям).

5.  Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

6.  Интегрирование рациональных функций.

7.  Интегрирование некоторых иррациональных функций.

8.  Интегрирование тригонометрических функций.

9.  Интегрирование гиперболических функций.

10.  Применение тригонометрических и гиперболических подстановок.

11.  Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

12.  Формула Ньютона-Лейбница.

13.  Несобственные интегралы.

14.  Замена переменного и метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

15.  Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения.

16.  Физический смысл определенного интеграла.

17.  Приближенные вычисления определенного интеграла.

18.  Понятие числового ряда.

19.  Необходимый признак сходимости ряда.

20.  Ряды с неотрицательными членами.

21.  Достаточные признаки сходимости числовых рядов.

22.  Знакопеременные ряды. Признаки Абеля и Дирихле.

23.  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

24.  Функциональные ряды. Область сходимости.

25.  Степенные ряды. Интервал сходимости степенных рядов.

26.  Ряд Маклорена, ряд Тейлора.

27.  Разложение функций в степенные ряды.

28.  Использование рядов для приближенных вычислений.

29.  Ряды Фурье. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье.

30.  Определение функции нескольких переменных.

31.  Предел и непрерывность функции.

32.  Частные производные. Полный дифференциал функции.

33.  Дифференцирование сложных функций.

34.  Градиент. Производная по направлению.

35.  Частные производные и дифференциалы высших порядков.

36.  Дифференцирование неявных функций.

37.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

38.  Экстремум функции нескольких переменных.

39.  Наибольшее и наименьшее значение функции.

40.  Условный экстремум.

Четвертый семестр

1.  Двойной интеграл.

2.  Замена переменных в двойном интеграле.

3.  Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.

4.  Криволинейные интегралы.

5.  Формула Грина.

6.  Некоторые приложения криволинейных интегралов.

7.  Тройные интегралы.

8.  Поверхностные интегралы.

9.  Формулы Остроградского и Стокса.

10.  Элементы теории поля: скалярное и векторное поля, градиент, дивергенция и вихрь, поток и циркуляция вектора, работа поля, потенциальное и соленоидальное поля.

11.  Дифференциальные уравнения. Общие понятия.

12.  Задача Коши.

13.  Дифференциальные уравнения первого порядка.

14.  Уравнения с разделяющимися переменными.

15.  Однородные ДУ.

16.  Линейные ДУ.

17.  Уравнение Бернулли.

18.  Уравнение Рикатти.

19.  Уравнения в полных дифференциалах.

20.  Интегрирующий множитель.

21.  Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям.

22.  Приближенное решение дифференциальных уравнений.

23.  Уравнения, не разрешенные относительно у’.

24.  Уравнения Лагранжа и Клеро.

25.  Дифференциальные уравнения второго порядка.

26.  Уравнения, допускающие понижение порядка.

27.  ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

28.  ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

29.  ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго.

30.  Системы дифференциальных уравнений.

Литература

Основная:

1.  Шипачев математика: базовый курс: учеб. пособие для бакалавров/ . - 8-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 20с.

2.    Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов/ . - 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 20с

Дополнительная:

1.  Данко  математика в упражнениях и задачах: в 2 ч./ . - М: Мир и образование: 4 с.

2.  Данко  математика в упражнениях и задачах: в 2 ч./ . - М: Мир и образование: Оникс
Ч.6 с.