Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Борисоглебский государственный педагогический институт"
,
МАТЕМАТИКА
Методические указания для студентов заочного отделения
физико-математического факультета БГПИ
(специальность: 050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения)
Борисоглебск 2008
ББК 22.1
Л44
УДК 517
Печатается по решению редакционно-издательского Совета
Борисоглебского государственного педагогического института
Рецензенты: – кандидат педагогических наук, доцент
кафедры прикладной математики и информатики БГПИ
– доцент кафедры гуманитарных и
естественнонаучных дисциплин филиала ГОУ ВПО
(Воронежский государственный архитектурно-строительный
университет) в городе Борисоглебске, кандидат физико-
математических наук
Редактор: – кандидат педагогических наук, доцент
кафедры математики и методики ее преподавания БГПИ
Л44 ,
Математика. Методические указания для студентов заочного и очного
отделений физико-математического факультета БГПИ. (специальность:
050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения)–
Борисоглебск: ГОУ ВПО «БГПИ», 2008. – 76 с.
ISBN -406-2
В методических указаниях приведены: рабочая программа дисциплины «Математика» - I курс, I семестр, варианты контрольных заданий для самостоятельной работы и примеры решения типовых заданий.
Пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений физико-математического факультета.
ББК 22.1
Л44
ISBN -406-2 © ,
©ГОУ ВПО «Борисоглебский государственный
педагогический институт», 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………………………..4
Рекомендуемая литература…………………………………………………………….4
I курс I семестр
Глава 1.Множества, функции, последовательности………………………...5
Глава 2.Пределы функций…………………………………………………...11
Глава 3.Производная функции………………………………………………15
Глава 4.Дифференциал функции…………………………………………….19
Глава 5.Неопределенный интеграл………………………………………….20
Глава 6.Определенный интеграл…………………………………………….24
I курс II семестр
Глава 7. Элементы линейной алгебры (матрицы и определители)………..30
Глава 8. Элементы векторной алгебры...………………………..…………..38
Глава 9. Аналитическая геометрия на плоскости..…………………… 43
Глава 10. Элементы линейной алгебры ……………………………...……..46
Глава 11. Аналитическая геометрия на плоскости (линии второго порядка) …………………………………………………………………………………50
Глава 12. Аналитическая геометрия в пространстве……………………….52
II курс III семестр
Глава 13.Функции нескольких переменных………………………………...54
Глава 14.Кратные интегралы...………………………………………………61
Глава 15.Криволинейные и поверхностные интегралы..…………………..65
Глава 16.Дифференциальные уравнения……………………………………67
Глава 17.Ряды…………………………………………………………………72
Введение
Пособие по дисциплине «Математика» предназначено для студентов – заочников физико-математического факультета специальности: 050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения.
Весь изучаемый материал разбит на модули, каждый из которых включает в себя рабочую программу, вопросы для самопроверки, варианты контрольных заданий и примеры решения типовых задач.
Рекомендуемая литература
1. Берман задач по курсу математического анализа.-М.:Наука, 1985.
2. Горлач . Учеб. пособие для студентов, обучающихся по экономическим специальностям/ . – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 911 с.
3. Гусак по высшей математике / , . - 4-е изд. Стереотип. МН.: Тетра Системс, 2002.-640 с.
4. Данко математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. 4.1. Учеб. пособие для вузов / , , . – 6-е изд.- М.: Издательский дом «Оникс 21 век»: Мир и образование, 2003. – 304 с., ил.
5. Лунгу задач по высшей математике, 1 курс/ , , - 3-е изд., испр. и доп.- М.:Айрис-пресс, 200с., ил.
6. Пискунов и интегральное исчисление.-М.:Наука, 1965.
7. Письменный лекций по высшей математике. 1часть.-2-е изд.,испр. - М:Айрис – пресс, 2003.-288с.:ил.
8. Фихтенгольц математического анализа. –М.:Наука, 1964.
9. Шипачев математика. Учеб. пособие для вузов / . – 6-е изд., стер.- М.:Высш. шк., 2003. – 479с., ил.
Глава 1. Множества, функции, последовательности
1.1 Множества, действительные числа.
1.1.1 Основные понятия.
1.1.2 Числовые множества, множества действительных чисел.
1.1.3 Числовые промежутки. Окрестность точки.
1.2 Функция
1.2.1 Понятие функции.
1.2.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функции.
1.2.3 Основные характеристики функции.
1.2.4 Обратная функция.
1.2.5 Сложная функция.
1.2.6 Основные элементарные функции и их графики.
1.3 Последовательности.
1.3.1 Числовая последовательность.
1.3.2 Предел числовой последовательности.
1.3.3 Предельный переход в неравенствах.
1.3.4 Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.
Вопросы для самопроверки:
1. Приведите примеры различных множеств, совпадающих множеств.
2. Дайте определение подмножества, почему пустое множество является подмножеством любого множества?
3. Что называется упорядоченным множеством?
4. Какие числовые множества называются промежутками?
5. Из отрезка [а, в] удален интервал (а, в). Что осталось?
6. Что называется абсолютной величиной числа?
7. Что больше: |2-3| или |2|+|-3| ?
8. Какие значения может принимать выражение?
9. Что называется областью определения функции и множеством значений функции?
10. Что называется постоянной функцией?
11. Какие функции называются возрастающими, убывающими?
12. Какие функции называются четными и какие нечетными и в чем состоит геометрический смысл четности и нечетности функций?
13. Какие функции называются периодическими и что называется периодом функции?
14. Какие функции называются простейшими элементарными функциями?
15. Что называется сложной функцией?
16. Напишите определение числовой последовательности.
17. Сформулируйте рекуррентное соотношение х n+1 = хn+d, определяющее арифметическую прогрессию.
Индивидуальные задания.
1. Решить уравнения и неравенства.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример
Найти решения уравнений:
1) х = х + 2;
2) х = х – 2;
3) х + 2х = 3.
Р е ш е н и е.
1) При х 0 имеем х = х + 2, откуда 0 = 2 – неверное равенство; следовательно, решений нет. При х < 0 получаем – х = х + 2, откуда
х = - 1 – решение уравнения.
2) При х 0 имеем х = х – 2, откуда 0 = - 2 – неверное равенство; следовательно, решений нет. При х < 0 получаем – х = х – 2, откуда
х = 1 > 0, что противоречит сделанному предположению х < 0. Таким образом, уравнение не имеет решений.
3) При х 0 имеем х + 2х = 3, откуда х1 = 1. При х < 0 получаем х – 2х = 3, откуда х2 = - 3. Следовательно, х1 = 1 и х2 = -3 – решения уравнения.
2. Найти область определения функций, заданных формулами.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример
Найти область определения функции y = .
Р е ш е н и е.
Так как функция представляет собой сумму функций, то область определения функции будет состоять из всех тех значений х, которые принадлежат одновременно областям определения функций и . Поэтому область определения заданной функции определяется как совокупность значений х, при которых одновременно выполняются неравенства - х2 + х + 2 > 0 и х – 1 > 0.
Это будет интервал (1; 2).
3. Установить четность или нечетность функции.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример 1
Доказать, что функция – нечетная.
Р е ш е н и е. Область определения функции: - < x < + ;
f(-x) = (- x)5 – (- x)3 + (-x) = - x5 + x3 – x = - (x5 – x3 + x) = - f(x). Следовательно, функция нечетная.
Пример 2
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной: .
Р е ш е н и е. Найдём область определения функции: выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно.
.
Таким образом, область определения функции: (1,5;+∞), она не является симметричной относительно начала координат. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной (по определению чётной, нечётной функций).
4. Написать формулу общего элемента последовательности, для которой установить, что она:
4.1 ограничена или неограничена;
4.2 имеет грани сверху и снизу;
4.3 бесконечно большая или бесконечно малая;
4.4 возрастающая, неубывающая, убывающая или невозрастающая;
4.5 немонотонная, монотонная, строго монотонная.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример
Дана последовательность
Р е ш е н и е.
1. Общий элемент последовательности.
2. Последовательность ограниченная, т. к. .
3. Верхняя грань последовательности M = а1 = 1.
4. Нижняя грань последовательности.
5. Последовательность убывающая, т. к. .
6. Последовательность строго монотонная, т. к. .
7. Для любого ε > 0 , тогда для всех n > N (N – целое число из ряда натуральных чисел ) имеем, т. е. последовательность бесконечно малая.
5. Найти пределы.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример
Найти.
Р е ш е н и е. Имеем неопределенность вида. Разделив на х числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему о свойствах пределов, получим
Глава 2. Пределы функций
2.1 Предел функции.
2.1.1 Предел функции в точке.
2.1.2 Односторонние пределы.
2.1.3 Предел функции при
2.1.4 Бесконечно большая функция.
2.2 Бесконечно малые функции (БМФ).
2.2.1 Определения и основные теоремы.
2.2.2 Связь между функцией, ее пределом и БМФ.
2.2.3 Основные теоремы о пределах.
2.2.4 Признаки существования пределов.
2.2.5 Первый замечательный предел.
2.2.6 Второй замечательный предел.
2.3 Эквивалентные БМФ (ЭБМФ).
2.3.1 Сравнение БМФ.
2.3.2 ЭБМФ и основные теоремы о них.
2.3.4 Применение ЭБМФ.
2.4 Непрерывность функции.
2.4.1 Непрерывность функции в точке.
2.4.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке.
2.4.3 Точки разрыва функции и их классификация.
2.4.4 Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.
2.4.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Вопросы для самопроверки.
1. Дайте определение предела переменной величины. Перечислите свойства пределов.
2. Как прочитать запись: ? Дайте определение предела функции в точке.
3. Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?
4. Приведите примеры бесконечно малых и бесконечно больших величин.
5. Что такое эквивалентные бесконечно малые функции?
6. Дайте определение непрерывной функции. Какими свойствами на отрезке она обладает? Определите интервалы непрерывности функции.
7. Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод раскрытия неопределенности.
8. Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.
6. Найти пределы.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Теорема (*). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f(x) g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (частное при g(x0) 0).
Пример
Найти.
Р е ш е н и е. Так как в точке х = π/2 функции 1, sin x, cos 2x непрерывны, то по теореме (*) функция f(x) = непрерывна в точке х = π/2, т. е. предел функции и ее значение в этой точке равны. Тогда, переходя к пределу, получаем
=
Пример
Найти
Р е ш е н и е. Имеем неопределенность вида. Непосредственно теорему о пределе частного применить нельзя. Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель на множители и сократим на общий множитель х + 2. Получаем
Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность раскрыта.
Применяя теорему о свойствах пределов, окончательно находим
7. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными, найти пределы.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример
С помощью замены эквивалентных найти пределы:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Р е ш е н и е. 1) Имеем ln(1+3х) ~ 3x; sin 5x ~ 5x. Поэтому
= .
2) = .
3)
= .
4) =
= .
5) = .
Глава 3. Производная функции
3.1 Производная функции
3.1.1 Задачи, приводящие к понятию производной.
3.1.2 Определение производной: ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
3.1.3 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
3.1.4 Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
3.1.5 Производная сложной и обратной функций.
3.1.6 Производные основных элементарных функций.
3.1.7 Гиперболические функции и их производные.
3.1.8 Таблицы производных.
3.2 Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
3.2.1 Неявно заданная функция.
3.2.2 Функция, заданная параметрически.
3.3 Логарифмическое дифференцирование.
3.4 Производные высших порядков.
3.4.1 Производные высших порядков явно заданной функции.
3.4.2 Механический смысл производной второго порядка.
3.4.3 Производные высших порядков неявно заданной функции.
3.4.4 Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.
Вопросы для самопроверки.
1. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения?
2. Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?
3. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.
4. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируете зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
5. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?
6. Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением производной?
7. Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?
8. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?
9. В чем заключается механический смысл производной?
10. Что называется производной второго порядка, и каков ее механический смысл?
Правила дифференцирования:
1. ;
2. ;
3.
4. , если, ;
5. , если, ;
Формулы дифференцирования:
1. ;
2. ;
3. в частности
4. , в частности ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. .
8. Найти производные функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Пример.
Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Р е ш е н и е. 1) =
= =
= ;
2) =
= ;
3) ;
4) =
= .
Глава 4. Дифференциал функции
4.1. Дифференциал функции
4.1.1. Понятие дифференциала функции.
4.1.2. Геометрический смысл дифференциала функции.
4.1.3. Основные теоремы о дифференциале.
4.1.4. Таблицы дифференциалов.
4.1.5. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям.
4.1.6. Дифференциалы высших порядков.
4.2. Исследование функций с помощью производных.
4.2.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
4.2.2. Правила Лопиталя.
4.2.3. Возрастание и убывание функций.
4.2.4. Максимум и минимум функций.
4.2.5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
4.2.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
4.2.7. Асимптоты графика функции.
4.2.8. Общая схема исследования функции и построение графика.
4.3. Формула Тейлора.
4.3.1. Формула Тейлора для многочлена.
4.3.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?
2. Как можно объяснить, что при малых значениях приращение функции приближенно равно ее дифференциалу? Что выражает геометрически формула?
3. Повторите определения возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки приращений аргумента и функции в интервалах возрастания и убывания? В чем заключается признак возрастания и убывания функции?
4. В чем заключается необходимый и достаточный признак существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функций с помощью первой производной.
5. Как отыскивают экстремумы функций с помощью второй производной?
6. В чем разница между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее набольшего и наименьшего значений?
7. Как определяется выпуклость и вогнутость кривой?
8. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования?
9. Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1. ; 2. ; 3.
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ;
16. ; 17. ; 18. ;
19. ; 20. ; 21. ;
22. ; 23. ; 24. ;
25.
Глава 5. Неопределенный интеграл
5.1. Неопределенный интеграл.
5.1.1. Понятие неопределенного интеграла.
5.1.2. Свойства неопределенного интеграла.
5.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов.
5.2. Основные методы интегрирования.
5.2.1. Метод непосредственного интегрирования.
5.2.2. Метод интегрирования подстановкой.
5.2.3. Метод интегрирования по частям.
5.3. Интегрирование рациональных функций.
5.3.1. Понятие о рациональных функциях.
5.3.2. Интегрирование рациональных дробей.
5.4. Интегрирование тригонометрических функций.
5.4.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.
5.4.2. Интегралы типа.
5.4.3. Использование тригонометрических преобразований.
5.5. Интегрирование иррациональных функций.
5.5.1. Квадратичные иррациональности.
5.5.2. Тригонометрическая подстановка.
5.5.3. Интегрирование дифференциального бинома.
5.6. «Берущиеся» и «неберущиеся интегралы».
Вопросы для самопроверки.
1. Что является основной задачей интегрального исчисления?
2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?
3. Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?
4. Запишите первообразные для функций: 3, , .
5. Какая из двух функций или является первообразной для другой?
6. Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?
7. Что называется неопределенным интегралом?
8. Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?
9. Как называются все элементы равенства?
10. Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?
11. Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?
12. Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?
13. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
14. Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?
15. Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих одну и ту же абсциссу?
Таблица основных интегралов.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ;
9. ; 10. ; 11. ;
12. ; 13. ;
14. ; 15. ;
16. .
10. Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ; 8. ;
9. ; 10. ; 11. ;
12. ; 13. ; 14. ;
15. ; 16. ; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ; 22. ;
23. ; 24. ; 25.
Пример
Вычислить интеграл.
Р е ш е н и е. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как, то интеграл можно записать в виде
.
Применяя свойство неопределенного интеграла, имеем
.
Получили два табличных интеграла. По формулам находим
.
11. С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ; 8. ;
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ; 16. ;
17. ; 18. ; 19. ; 20. ;
21. ; 22. ; 23. ;
24. ; 25.
Пример
Вычислить интеграл.
Р е ш е н и е. Положим. Тогда
(здесь в качестве v можно взять любую из первообразных вида
х + С, где С – произвольная постоянная. Взято v = x, т. е. С=0).
По формуле ( ) имеем
12. Применяя метод подстановки, вычислить интегралы.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. ; 13. ; 14. ;
15. ; 16. ; 17. ; 18. ;
19. ; 20. ; 21. ; 22. ;
23. ; 24. ; 25.
Пример
Вычислить интеграл.
Р е ш е н и е. Полагаем, . Отсюда.
Следовательно,
.Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
.
Глава 6. Определенный интеграл
1.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
1.2. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
1.3. Формула Ньютона-Лейбница.
1.4. Основные свойства определенного интеграла.
1.5. Вычисления определенного интеграла.
1.5.1. Формула Ньютона-Лейбница.
1.5.2. Интегрирование подстановкой.
1.5.3. Интегрирование по частям.
1.5.4. Интегрирование четных и нечетных функций в
симметричных пределах.
1.6. Несобственные интегралы.
1.6.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственный интеграл I рода).
1.6.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл
II рода).
1.7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
1.7.1. Схемы применения определенного интеграла.
1.7.2. Вычисление площадей плоских фигур.
1.7.3. Вычисление дуги плоской кривой.
1.7.4. Вычисление объема тел.
1.7.5. Вычисление площади поверхности вращения.
1.7.6. Механические приложения определенного интеграла.
1.8. Приближенное вычисление определенного интеграла.
1.8.1. Формула прямоугольников.
1.8.2. Формула трапеций.
1.8.3. Формула парабол (Симпсона).
Вопросы для самопроверки.
1. Что такое определенный интеграл?
2. Как называются все элементы в записи?
3. Зависит ли приращение от выбора первообразной?
4. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
5. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
6. Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?
7. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.
13. Вычислить интегралы.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ;
16. ; 17. ; 18. ;
19. ; 20. ; 21. ;
22. ; 23. ; 24. ;
25.
Пример
Вычислить интеграл.
Р е ш е н и е. Так как одной из первообразных для функции является функция, то, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
│
14. Изобразить графически функции и вычислить площади фигур, ограниченных линиями.
1. , ; 2. , ; 3. , , ;
4. , ; 5. , ; 6. , ;
7. , ; 8. , ;
9. , ; 10. , , где ;
11. , ; 12. , ;
13. , ; 14. , ;
15. , и отрезком оси ;
16. , ; 17. , ;
18. , , и ; 19. , ;
20. , ; 21. , ;
22. , ; 23. , ;
24. , , если ; 25. ,
Пример
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и
y = 0.
Р е ш е н и е. Можно считать, что эта фигура ограничена осью Ох, прямыми х = -1, х = 1 и графиком функции, поэтому по формуле, ее площадь │ .
15. Изобразить графически функции и вычислить длину дуги кривой.
1. от до ;
2. , отсеченной осью ;
3. от до ;
4. от до ;
5. от до ;
6. от до ;
7. от до ;
8. от до ;
9. , , ;
10. от до ;
11. между точками пересечения с осью.
12. от до ;
13. от до ;
14. , от до ;
15. , от до ;
16. , от до ;
17. , ;
18. от до ;
19. от до ;
20. от до ;
21. от до ;
22. от до ;
23. от до ;
24. , , ;
25. от до
Пример
Найти длину дуги полукубической параболы от x=0 до x=5.
Р е ш е н и е. Кривая симметрична относительно оси Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим. По формуле длины дуги плоской кривой ( ) получим
│ = .
16. Изобразить графически функции и вычислить объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями.
1. , вокруг оси ;
2. , , где вокруг оси ;
3. , , где вокруг оси ;
4. , вокруг оси ;
5. , , вокруг оси ;
6. , , вокруг оси ;
7. , , вокруг оси ;
8. , , вокруг оси ;
9. , вокруг оси ;
10. , вокруг оси ;
11. вокруг прямой ;
12. вокруг прямой ;
13. вокруг прямой ;
14. вокруг прямой ;
15. вокруг прямой ;
16. вокруг прямой ;
17. , , вокруг прямой ;
18. , , вокруг прямой ;
19. , , вокруг прямой ;
20. , , вокруг прямой ;
21. , , вокруг прямой ;
22. , , вокруг прямой ;
23. , , вокруг прямой ;
24. , , вокруг прямой ;
25. , , вокруг прямой
Пример
Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси Ох.
Р е ш е н и е. Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема. По формуле объема тел вращения ( ) имеем
= │ .
Следовательно, , откуда. Если a=b=R, то эллипс является окружностью. Тогда объем тела вращения окружности вокруг оси Ох есть шар, объем которого.
17. Исследовать на сходимость.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ; 8. ;
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ; 16. ;
17. ; 18. ; 19. ; 20. ;
21. ; 22. ; 23. ; 24. ;
25.
Пример
Исследовать на сходимость.
Р е ш е н и е. По определению имеем
│ ,
т. е. интеграл сходится.
I курс, II семестр
Глава 7. Элементы линейной алгебры (матрицы и определители)
7.1. Матрицы.
7.1.1 Основные понятия.
7.1.2 Действия над матрицами.
7.2. Определители.
7.2.1 Основные понятия.
7.2.2 Свойства определителей.
7.3. Невырожденные матрицы.
7.3.1 Основные понятия.
7.3.2 Обратная матрица.
7.3.3 Ранг матрицы.
7.4. Системы линейных уравнений.
7.4.1 Основные понятия.
7.4.2 Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли.
7.4.3 Решение уравнений матричным способом.
Вопросы для самопроверки.
1. Как определяется размер матрицы?
2. Какая матрица называется прямоугольной? Квадратной? Нулевой? Единичной? Треугольной? Диагональной?
3. Разница между строкой и столбцом.
4. Алгоритм транспонирования матрицы.
5. Формулы вычисления определителей разных порядков.
6. Основные свойства определителей.
7. Алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по элементам строки и столбца.
8. Линейные операции над матрицами.
9. Элементарные преобразования матриц.
10. Ранг матрицы.
11. Решение системы линейных уравнений матричным методом.
12. Методы решения системы линейных уравнений Крамера, Гаусса.
18. Выполнить действия
Найти произведение матриц (варианты 1-6)
1. • ; 2. • ;
3. • ; 4. • ;
5. • ; 6. • .
Вычислить C=A2+2B (варианты 7-10)
7. A= ; B= ; 8. A= ; B= ;
9. A= ; B= ; 10. A= ; B= .
Найти 3A•2B (варианты 11-15)
11. A= ; B= ; 12. A= ; B= ;
13. A= ; B= ; 14. A= ; B= ;
15. A= ; B= .
Найти произведение матриц AB и BA (если это возможно) (варианты 16-20)
16. A= ; B= ; 17. A= ; B= ;
18. A= ; B= ; 19. A= ; B= ;
20. A= ; B= .
Привести матрицу к ступенчатому виду (варианты 21-25)
21. A= ; 22. A= ;
23. A= ; 24. A= ;
25. A= .
Пример. Найти произведение AB, если
A= , B= .
Р е ш е н и е
AB= = .
Произведение BA не существует, так как умножение матрицы B на матрицу A имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A.
Пример. Привести к ступенчатому виду матрицу
A= .
Р е ш е н и е
~ ~
~ - ступенчатая матрица
19. Вычислить определитель (варианты 1-10)
1. = ; 2. = ;
3. = ; 4. = ;
5. = ; 6. = ;
7. = ; 8. = ;
9. = ; 10. = .
Вычислить определитель (варианты
=
11. a=0, b=1, c=3, d=5, e=-1; 12. a=1, b=2, c=3, d=4, e=5;
13. a=10, b=9, c=8, d=7, e=6; 14. a=-1, b=1, c=2, d=-2, e=0;
15. a=3, b=4, c=5, d=6, e=-3; 16. a=1, b=10, c=2, d=9, e=1;
17. a=7, b=6, c=5, d=3, e=-1; 18. a=3, b=2, c=1, d=-1, e=-2;
19. a=4, b=3, c=2, d=1, e=5; 20. a=2, b=5, c=7, d=0, e=-1.
21. = ; 22. = ;
23. = ; 24. = ;
25. = .
Пример. Вычислить определитель
Выносим за знак определителя общие множители 2,4 и 5 столбцов:
= 2•2•5
Вычтем из элементов 2-го столбца элементы 1-го столбца и разложим полученный определитель по элементам 1-й строки
= 20 =20
Прибавим к элементам 2-й строки элементы 1-й строки, вынесем -2 (общий множитель элементов 1-го столбца) за знак определителя, а затем разложим полученный определитель по элементам 1-го столбца
= -40 =-40
Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, вынесем 2 (общий множитель элементов 1-й строки) за знак определителя и разложим полученный определитель по элементам 3-го столбца
= -80 =-80 =640
20. Решить матричные уравнения AX=B и XB=C
№ A B C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Пример. Решить уравнение матричным способом. AX=B, где
A= , B=
Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A:
= =1•2•2+2•1•0+3•1•0-0•2•0-3•2•2-1•1•1=-9≠0 .
Запишем все алгебраические дополнения элементов матрицы A:
A11= 1+1• =3; A12= 1+2• =-6;
A13= 1+3• =3; A21= 2+1• =-4;
A22= 2+2• =2; A23= 2+3• =-1;
A31= 3+1• =2; A32= 3+2• =-1;
A33= 3+3• =-4.
Составим союзную матрицу
=
и транспонируем ее
=
Запишем обратную матрицу (с учетом, что =-9)
A-1=
Следовательно,
X=A-1•B= • = =
Итак, решение системы уравнений есть x1=4, x2=3, x3=5.
Глава 8. Элементы векторной алгебры
8.1. Векторы.
8.1.1. Основные понятия.
8.1.2. Линейные операции над векторами.
8.1.3. Проекции вектора на ось.
8.1.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
8.2. Действия над векторами, заданными проекциями.
8.3. Скалярное произведение векторов и его свойства.
8.3.1. Определение скалярного произведения.
8.3.2. Свойства скалярного произведения.
8.3.3. Выражение скалярного произведения через координаты.
8.3.4. Некоторые приложения скалярного произведения.
8.4. Векторное произведение векторов и его свойства.
8.4.1. Определение векторного произведения.
8.4.2. Свойства векторного произведения.
8.4.3. Выражение векторного произведения через координаты.
8.4.4. Некоторые приложения векторного произведения.
8.5. Смешанное произведение векторов.
8.5.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл.
8.5.2. Свойства смешанного произведения.
8.5.3. Выражение смешанного произведения через координаты.
8.5.4. Некоторые приложения смешанного произведения.
Вопросы для самопроверки.
1. Что такое вектор и его модуль?
2. Операции над векторами.
3. Свойства проекции вектора на ось.
4. Векторы линейно зависимые и линейно независимые.
5. Разложение вектора по базису.
6. Координаты вектора.
7. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.
21. Найти угол между векторами и
1. =(1;1;0) и =(1;1;1); 2. =(1;0;1) и =(1;1;1);
3. =(0;1;1) и =(1;1;1); 4. =(1;1;1) и =(1;0;1);
5. =(1;1;2) и =(1;0;1); 6. =(1;2;0) и =(1;1;0);
7. =(1;2;1) и =(1;1;1); 8. =(2;1;1) и =(2;1;1);
9. =(2;2;1) и =(1;1;2); 10. =(2;2;1) и =(2;1;1);
11. =(2;2;1) и =(1;2;1); 12. =(2;2;1) и =(1;1;2);
13. =(2;2;2) и =(1;1;2); 14. =(2;2;2) и =(1;2;1);
15. =(2;2;2) и =(2;1;1); 16. =(2;0;2) и =(2;1;1);
17. =(2;2;0) и =(2;1;1); 18. =(0;2;2) и =(1;2;1);
19. =(0;2;2) и =(1;1;2); 20. =(2;0;2) и =(1;1;1);
21. =(2;0;2) и =(1;0;1); 22. =(2;0;2) и =(1;1;0);
23. =(2;0;2) и =(0;1;1); 24. =(0;2;2) и =(1;1;0);
25. =(0;2;2) и =(1;0;1).
Пример. Найти угол между векторами
=(1;1;0) и =(1;0;1).
Р е ш е н и е. Косинус угла равен
сos = = = =
Следовательно, = 60.
22. Найти координаты векторных произведений:
1) × ;+ )× ;× (2 + )
1. =(3;-1;-2) и =(1;2;-1); 2. =(2;-1;-2) и =(2;2;-1);
3. =(1;-1;-2) и =(3;2;-1); 4. =(2;0;-1) и =(1;3;-1);
5. =(3;1;-1) и =(1;3;0); 6. =(3;2;-1) и =(1;3;1);
7. =(3;2;0) и =(2;3;1); 8. =(3;2;1) и =(2;2;1);
9. =(3;2;2) и =(2;1;1); 10. =(4;1;2) и =(2;0;1);
11. =(4;0;2) и =(2;-1;1); 12. =(4;-1;2) и =(2;-2;1);
13. =(4;-2;2) и =(2;-2;0); 14. =(4;-2;1) и =(2;-2;-1);
15. =(4;-2;0) и =(3;-1;-2); 16. =(4;-2;-1) и =(3;-1;-3);
17. =(5;-2;-1) и =(3;0;-3); 18. =(5;-2;0) и =(3;1;-3);
19. =(5;-2;1) и =(3;1;-2); 20. =(5;-1;1) и =(3;1;-1);
21. =(5;0;1) и =(3;1;0); 22. =(5;1;1) и =(3;0;1);
23. =(5;1;2) и =(3;-1;1); 24. =(5;1;3) и =(3;-1;0);
25. =(5;1;-3) и =(3;-1;-2).
Пример. Даны векторы =(2;5;7) и =(1;2;4). Найти координаты X, Y, Z векторного произведения ×
Р е ш е н и е. Находим
X= = =6; Y= = =-1; Z= = =-1.
Тогда, × = (6;-1;-1).
23. Найти смешанное произведение векторов , ,
№
1 (1;-1;1) (1;1;1) (2;3;4)
2 (1;-1;1 (2;2;2) (2;3;4)
3 (1;-1;1 (3;3;3) (2;3;4)
4 (2;0;2 (1;1;1) (2;3;4)
5 (3;1;3 (1;1;1) (2;3;4)
6 (1;-1;1) (1;1;1) (3;4;5)
7 (2;0;2) (1;1;1) (3;4;5)
8 (2;0;2) (2;2;2) (2;3;4)
9 (2;0;2) (2;2;2) (3;4;5)
10 (1;-1;1) (3;3;3) (2;3;4)
11 (1;-1;1) (3;3;3) (3;4;5)
12 (3;1;3) (2;2;2) (2;3;4)
13 (3;1;3) (2;2;2) (3;4;5)
14 (3;1;3) (2;2;2) (4;5;6)
15 (3;1;3) (3;3;3) (2;3;4)
16 (3;1;3 (3;3;3) (1;2;3)
17 (3;1;3) (3;3;3) (3;4;5)
18 (3;1;3) (3;3;3) (4;5;6)
19 (1;-1;1) (2;3;4) (1;1;1)
20 (1;-1;1) (1;2;3) (1;1;1)
21 (1;-1;1) (1;2;3) (2;2;2)
22 (1;-1;1) (2;3;4) (2;2;2)
23 (2;0;2) (1;2;3) (1;1;1)
24 (2;0;2) (1;2;3) (2;2;2)
25 (2;0;2) (3;4;5) (2;2;2)
Пример. Найти смешанное произведение векторов
=(2;-1-1), =(1;3;-1), =(1;1;4)
Р е ш е н и е
= = =2• +1• -1• =26+5+2=33
24. Даны вершины ABC.
C помощью векторной алгебры найти:
а) длину AB;
б) вершину угла B;
с) площадь ABC.
№
A B C
х у х у х у
1
3
1
11
1
13
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
Пример. Даны вершины ABC: A(4;-3), B(7;1), C(5;12)
С помощью векторной алгебры найти:
а) длину AC;
б) величину угла B;
в) площадь ABC.
Р е ш е н и е.
a) AC=
= =
= = =
AC=
б) cosB=
= =
= =
= = = =5
= = = =5
cosB= = =
B=arccos( )=
в) SABC = =
sinB= = = =
SABC= = = (кв. ед)
Глава 9. Аналитическая геометрия на плоскости
9.1. Система координат на плоскости.
9.1.1. Основные понятия.
9.1.2. Основные приложения метода координат на плоскости.
9.1.3. Преобразование системы координат.
9.2. Линии на плоскости.
9.2.1. Основные понятия.
9.2.2. Уравнение прямой на плоскости.
9.2.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи.
Вопросы для самопроверки.
1. Частные случаи общего уравнения плоскости.
2. Виды уравнений плоскости.
3. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
4. Виды уравнений прямой в пространстве.
5. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости.
25. Даны вершины ABC.
Найти: 1) уравнение стороны АС;
2) уравнение высоты, проведенной из вершины C;
3) величину угла B.
№
A B C
х у х у х у
1
1
1
1
1
15
1
1
1
1
20
2
2
2
2
2
Пример. Даны вершины ABC: A(1;3), B(7;2), C(8;0)
Найти : а) уравнение стороны AC;
б) уравнение высоты, проведенной из вершины B;
д) величину угла B;
Р е ш е н и е.
a) Уравнение стороны AC найдем как уравнение прямой, заданной двумя точками. В общем виде оно выглядит следующим образом:
M1M2: = ,
где M1(x1;y1), M2(x2;y2).
Тогда: AC: = ,
= .
Приведем полученное уравнение к общему виду (A x+By+C=0)
AC: -3(x-1)=7(y-3)
-3x+3=7y-21
3x+7y-24=0 – уравнение стороны AC.
б) BD – высота, проведенная из вершины B. Необходимо найти ее уравнение.
Т. к. BD AC, то нормальный вектор
прямой AC будет являться направляющим
вектором прямой BD. Тогда уравнение
прямой BD можно составить, зная точку и
направляющий вектор этой прямой.
= ;
AC: 3x+7y-24=0
A=3, B=7.
= ; - нормальный вектор прямой AC.
Уравнение прямой, заданной начальной точкой и направляющим вектором, записывается так:
M0M: = ,
где M0(x0;y0) – начальная точка,
(p1;p2) – направляющий вектор прямой.
Тогда: BD: = .
7(x-7)=3(y-2)
7x-49=3y-6
7x-3y-43=0 –уравнение высоты, проведенной из точки B.
в) Можно найти тангенс угла B по формуле тангенса угла двумя прямыми (AB и BC):
tg= ,
где - угол между прямыми
l1: A1x+B1y+C1=0 и l2: A2x+B2y+C2=0.
AB: =
=
-(x-1)=6(y-3)
-x+1=6y-18
x+6y-19=0 – уравнение прямой AB.
A1=1, B1=6, C1=-19
Из п. в) уравнение прямой BC:
2x+y-16=0
A2=2, B2=1, C2=-16.
tgB= = =-
B=arctg(- )=-arctg
Глава 10. Элементы линейной алгебры
10.1. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.
10.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
26. Решить систему уравнений методом Крамера.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. .
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:
Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы и определители при неизвестных. Определители i получаются из основного определителя системы путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.
= =3• -2• +1• =3•4-2•(-3)+1•7=25;
1= =3• -2• +1• =3•4-2•(-7)+1•(-1)=25;
2= =3• -3• +1• =3•(-7)-3•(-3)+1•(-13)=-25;
3= =3• -2• +3• =3•1-2•(-13)+3•7=50.
Найдем значения x1, x2, x3 по формулам Крамера:
x1= = =1; x2= = =-1; x3= = =2.
Ответ: (1;-1;2)
27. Решить систему уравнений методом Гаусса:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. .
Пример. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений.
Р е ш е н и е: Переставим третье уравнение на место первого (прямой ход):
Запишем расширенную матрицу:
Приведем ее к ступенчатому виду.
Чтобы в 1-м столбце получить a21=a31=0, умножим 1-ю строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из 2-й и 3-й строк:
Разделим 2-ю строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из 3-й строки:
Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:
Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные:
; ; ; ;
;
Ответ: (1;2;3)
Глава 11. Аналитическая геометрия на плоскости (линии второго порядка)
11.1. Линии второго порядка на плоскости.
11.1.1 Основные понятия.
11.1.2 Окружность.
11.1.3 Эллипс.
11.1.4 Гипербола.
11.1.5 Парабола.
11.1.6 Общее уравнение линии второго порядка.
28. Окружность и парабола. Составить уравнение и построить окружность с центром в точке M и радиусом r
(варианты 1-6):
1. M(-2; -5) и r= ; 2. M(-5; 0) и r=3;
3. M(0; -7) и r=2; 4. M(0; -3) и r=3;
5. M(2; 4) и r= ; 6. M(1; 3) и r= .
Построить окружность (варианты 7-12):
7. x2+y2+6x-4y-3=0; 8. x2+y2-10x-6y-2=0;
9. x2+y2-10x+9=0; 10. x2+y2+8x+7=0;
11. x2+y2-4x+8y-16=0; 12. 9x2+9y2+42x-54y-95=0.
Построить параболу, найти координаты ее фокуса и уравнение директрисы (варианты 13-25):
13. y2=6x; 14. x2=-32y;
15. y2-4y=0; 16. y2=8x;
17. y=-2x2+8x-5; 18. y2+6y-8x+1=0;
19. x2+6x-12y+21=0; 20. x2+2x-20y-79=0;
21. y2-4y+8x-12=0; 22. y2-4y-16x+52=0;
23. x2 +8x-28y+44=0; 24. x2+ 8x+16y+48=0;
25. y2-4y-24x+28=0.
Пример. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y2=8x.
Р е ш е н и е. Из данного канонического уравнения параболы следует, что 2p=8, т. е. p=4, откуда =2. Следовательно, точка F(2; 0) – фокус параболы, а x=2 - уравнение директрисы.
29. Эллипс и гипербола.
Для приведенного уравнения эллипса найти a, b, c, ε
(варианты 1-13);
1. 9x2+25y2=225; 2. 3x2+16y2=192; 3. + =1;
4. x2+9y2=9; 5. 9x2+16y2=144; 6. 4x2+16y2=64;
7. 9x2+36y2=324; 8. 4x2+25y2=100; 9. 4x2+36y2=144;
10. x2+36y2=36; 11. x2+16y2=16; 12. 16x2+25y2=400;
13. 9x2+49y2=441.
Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и построить его (варианты 14-16):
14. M1(2; 3) и M2(1; ); 15. M1(4; ) и M2( ; 2); 16. M1(2; 0) и M2(1; 2).
Построить гиперболу, найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот (варианты 17-20)
17. 16x2-9y2=144; 18. 3x2-4y2=12;
19. x2-4y2=16; 20. - =1.
Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси (варианты 21-25):
21. Oх, проходящей через точку M(6; 0);
23. Oх, проходящей через точку B(-7; -3);
24. Oу, проходящей через точку C(1; -3);
25. Oу, проходящей через точку D(4; 0).
Пример: Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 2x2+y2=32.
Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду
+ = ; + =1.
Отсюда a2=16, b2=32 и a=4, b=4 .
Так как b>a, то фокусы эллипса расположены на оси ординат. Они имеют координаты F1(0; c) и F2(0; - c), где «c» определяется из соотношения b2-a2=c2,тогда c2=32-16; c2=16, c=4.Фокусами эллипса служат точки F1(0; 4) и F2(0; -4).
Большая ось эллипса 2b=8 ; малая 2a=8; эксцентриситет ε= = = .
Пример: Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, если известно, что эксцентриситет ε=1,5, а фокусное расстояние равно 6.
Решение. Так как =6, то 2c=6, т. е. c=3. Далее, получим из ε= a= = =2. Зная a и с, из соотношения c2 =a2 +b2 найдем 9=4+b2, откуда b2=5.
Итак, каноническое уравнение гиперболы имеет вид - =1.
Глава 12. Аналитическая геометрия в пространстве
12.1. Основные понятия.
12.2. Уравнения плоскости в пространстве.
12.3. Плоскость. Основные задачи.
12.4. Уравнения прямой в пространстве.
12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи.
12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.
12.7. Цилиндрические поверхности.
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности.
12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
12.9.1. Эллипсоид.
12.9.2. Однополостный гиперболоид.
12.9.3. Двуполостный гиперболоид.
12.9.4. Эллиптический параболоид.
12.9.5. Гиперболический параболоид.
12.9.6. Конус второго порядка.
Вопросы для самопроверки.
1. Взаимосвязь переменных при смене системы координат.
2. Запишите в векторном виде уравнение прямой на плоскости.
3. Получите из векторного уравнения прямой, проходящей через заданную точку.
4. Преобразуйте общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом.
5. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
30. Прямая и плоскость в пространстве.
Привести к каноническому виду уравнение прямой (варианты 1-8):
1.
5. 6.
7. 8.
Найти угол между прямыми (варианты 9-14):
9. и
10. и
11. и
12. и
13. и
14. и
Найти угол между прямой и плоскостью (варианты 15-19):
15. и 2x+y+z-4=0 16. = = и x+y+2z-4=0
17. = = и 2x+y-z=0 18. = = и 2x+y-z=0
19. и 4x-3y+7z-7=0
Найти точку пересечения прямой и плоскости (варианты 20-25):
20. = = и 2x+3y+z-1=0; 21.x=2t-1, y=t+2,z=1-t и 3x-2y+z-3=0;
22. = = и x+2y+3z-29=0; 23. = = и 2x+y-z=0;
24. = = и x-2y+z+5=0; 25. = = и 2x+3y-z=4.
Пример: Найти точку пересечения прямой = = с плоскостью 2x+3y+z=0.
Р е ш е н и е. Параметрические уравнения прямой имеют вид x=2t+2, y=3t+1, z=t+3. Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для x, y, z из уравнения прямой в уравнение плоскости, получим
2(2t+2)+3(3t+1)+t+3=0.
Откуда находим t=- . Следовательно, координаты точки пересечения будут x= , y=- , z= . Прямая и плоскость пересекаются в точке M( ; - ; ).
31. Выяснить, какие поверхности определяются следующими уравнениями. Изобразить их графически.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. .
Глава 13. Функции нескольких переменных.
13.1. Функции двух переменных
13.1.1. Основные понятия.
13.1.2. Предел функции.
13.1.3. Непрерывность функции двух переменных.
13.1.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
13.2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.
13.2.1 Частные производные первого порядка и их геометрическое
истолкование.
13.2.2 Частные производные высших порядков.
13.2.3 Дифференцируемость и полный дифференциал функции.
13.2.4 Дифференциалы высших порядков.
13.2.5 Производная сложной функции. Полная производная.
13.2.6 Дифференцирование неявной функции.
13.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
13.4. Экстремум функции двух переменных.
13.4.1. Основные понятия.
13.4.2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
13.4.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
Вопросы для самопроверки.
1. Явное и неявное задание функции нескольких переменных (ФНП).
2. Частные производные ФНП.
3. Дифференциал ФНП.
4. Функция по направлению.
5. Сколько видов частных производных второго порядка может иметь ФНП.
6. Касательная плоскость и нормаль.
7. Экстремум функции двух переменных.
32. Для приведенных уравнений установить, какие поверхности они изображают, и построить эти поверхности
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример. Построить линии уровня функции
Р е ш е н и е. Линии уровня данной функции определяются уравнением
Придавая «c» различные значения, получаем семейство линий уровня, представляющих собой концентрические окружности вокруг начала координат. При окружность вырождается в точку (0;0).
33. Найти области определения функций
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример.
Найти область определения функции.
Р е ш е н и е. Действие извлечения квадратного корня возможно при условии или. Данное неравенство определяет замкнутую внутренность эллипсоида – область определения функции.
34. Вычислить пределы
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример. Вычислить.
Р е ш е н и е. Функция определена на всей плоскости. Поэтому для любой последовательности точек, сходящейся к точке, имеем
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
35. Найти частные производные функций нескольких переменных
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
25.
Пример. Найти частные производные функции
Р е ш е н и е. Частную производную находим как производную функции по аргументу x в предположении, что Поэтому
Аналогично,
36. Найти дифференциал функции
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ;
16. ; 17. ; 18. ;
19. ; 20. ; 21.
; 24.
25. ;
Пример. Найти полный дифференциал функции.
Р е ш е н и е. Находим частные производные функции.
; ; .
Полный дифференциал функции имеет вид
.
37. Найти частные производные второго порядка
1. ; 2. ; 3.
4. 5. ; 6.
7. 8. ; 9.
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ;
16. ; 17. ; 18. ;
19. ; 20. ; 21. ;
22. ; 23. ; 24. ;
25. ;
Пример. Найти частные производные второго порядка функции.
Р е ш е н и е. Сначала находим частные производные первого порядка:
Затем находим частные производные второго порядка:
38. Найти экстремумы функций
1. при ; ;
2. при ; ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. , ;
15. , ;
16. , квадрат ;
17. в круге ;
18. , в треугольнике ;
19. в круге ;
20. в области ;
21. в области ; ;
22. в области ; ;
23. ;
24. ;
25.
Пример. Найти экстремум функции
Р е ш е н и е. Имеем Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений
Решением этой системы является пара чисел Следовательно, - точка возможного экстремума.
Теперь найдем вторые частные производные и ∆:
∆ Так как ∆=3>0 и >0, то в точке данная функция имеет минимум.
Глава 14. Кратные интегралы
14.1 Двойной интеграл.
14.1.1 Основные понятия и определения.
14.1.2 Геометрический и физический смысл двойного интеграла.
14.1.3 Основные свойства двойного интеграла.
14.1.4 Вычисление двойного интеграла.
14.1.5 Приложение двойного интеграла.
14.2 Тройной интеграл.
14.2.1. Основные понятия.
14.2.2. Вычисление тройного интеграла.
14.2.3. Приложения тройного интеграла.
39. Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам D
1. ; ; ; 2. ; ; ;
3. ; ; ; 4. ; ; ;
5. ; ; ; 6. ; ; ;
7. ; ; ; 8. ; ; ;
9. ; ; ; 10. ; ; ;
11. ; ; ; 12. ; ; ;
13. ; ; ; 14. ; ; ;
15. ; ; ; 16. ; ; ;
17. ; ; ; 18. ; ; ;
19. ; ; ; 20. ; ; ;
21. ; ; ; 22. ; ; ;
23. ; ; ; 24. ; ; ;
25. ; ;
Пример. Вычислить двойной интеграл
Р е ш е н и е. В соответствии с известной формулой:
Вычисляем внутренний интеграл, считая y постоянным:
Вычисляем внешний интеграл, для чего полученную функцию интегрируем по y в пределах от 1 до 2:
Следовательно,
40. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями
1. ; 2. ;
3.
(при y>0) 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
Перейти к полярным координатам
9. , ; 10. , ;
11. , ; 12. ;
13. .
Вычислить площадь области, ограниченной линиями
14. ; 15. ;
16. ; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23. .
Применить полярные координаты
24. ; 25. ;
41. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной поверхностями
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. , ;
14. ;
15. ;
Пример. Вычислить интеграл, где V - пирамида, ограниченная плоскостью x + y + z = 1 и координатными плоскостями x=0, y=0, z=0.
Решение. ОбластьV проецируется на плоскость Oxy в треугольник G, ограниченный прямыми x=1, y=0, y=1-x. Имеем
Вычислить тройной интеграл с помощью замены переменных
16 ;
17 ;
18 ;
19 ;
20 ;
21 ;
22 ;
23 ;
24 ;
25 ;
Глава 15. Криволинейные и поверхностные интегралы
15.1. Криволинейный интеграл I рода.
15.1.1. Основные понятия.
15.1.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода.
15.1.3. Приложения криволинейного интеграла I рода.
15.2. Криволинейный интеграл II рода.
15.2.1. Основные понятия.
15.2.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода.
15.2.3. Формула Остроградского – Грина.
15.2.4. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода.
15.3. Поверхностный интеграл I рода.
15.3.1. Основные понятия.
15.3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода.
15.3.3. Приложения поверхностного интеграла I рода.
15.4. Поверхностный интеграл II рода.
15.4.1. Основные понятия.
15.4.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода.
15.4.3. Формула Остроградского-Гаусса.
15.4.4. Формула Стокса.
15.4.5. Приложения поверхностного интеграла II рода.
42 Вычислить криволинейный интеграл.
1. , если путь от А(1,1) до В(3,4) – отрезок прямой.
2. , если К - ломаная ОАВ, где О(0,0), A(2,0), B(4,2).
3. , если АВ - дуга полукубической параболы от А(3, ) до В(8, ).
4. , если К - дуга параболы, расположенная над осью Оx и пробегаемая по ходу часовой стрелки.
5. , если К – пробегаемый против хода часовой стрелки ромба, стороны которого лежат на прямых, .
6. , если К - контур треугольника с вершинами А(1,2), В(3,1), С(2,5), пробегаемый против хода часовой стрелки.
7. , если К – I четверть окружности, , пробегаемая против хода часовой стрелки.
8. , если К - контур, ограниченный параболами, и 9. , если К - отрезок прямой от А(1,2) до В(4,6).
10. , если К - дуга окружности, соединяющая точки А(a,0) и В(0,а).
11. Найти массу дуги окружности , ,если линейная плотность ее в точке (x, y) равна y.
12. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой.
13. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой, , .
14. , К - окружность.
15. , К - первый виток винтовой линии, , .
16. Найти массу первого витка винтовой линии, , если плотность в каждой точке равна радиусу – вектору этой точки.
17. , ОА – четверть окружности , , пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
18. Найти центр тяжести однородной полуокружности, , радиуса R.
19. Найти момент инерции арки циклоиды, относительно оси Ox.
20. , К - прямая ОА (О(0,0), А(1,2)).
21. , К=OmA парабола с вертикальной осью (О(0,0), А(1,2)).
22. , К= ОВА ломаная (О(0,0), А(1,2), В(1,0)).
23. , К= ОСА ломаная (О(0,0), С(0,2), А(1,2)).
24. , К – отрезок прямой, .
25. , К – дуга параболы.
Пример. Вычислить интеграл, где АВ – часть окружности, x =acost, y =asint, 0 t
Р е ш е н и е.
Так как то получаем
Глава 16. Дифференциальные уравнения (ДУ)
16.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
16.1.1. Основные понятия.
16.1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
16.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
16.2.1. Основные понятия.
16.2.2. Уравнения с разделяющимися переменными.
16.2.3. Однородные дифференциальные уравнения.
16.2.4. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.
16.2.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель.
16.2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро.
16.3. Дифференциальные уравнения высших порядков.
16.3.1. Основные понятия.
16.3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
16.3.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
16.3.4. Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) второго порядка.
16.3.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка.
16.4. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
16.4.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами.
16.4.2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными
коэффициентами.
16.5. Линейные неоднородные ДУ (ЛНДУ).
16.5.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка.
16.5.2. Метод вариации произвольных постоянных.
16.6. Системы ДУ.
16.6.1. Основные понятия.
16.6.2. Интегрирование нормальных систем.
16.6.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.
43. Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:
1 при
2 при
3 при
4 при
5 при
6 при
7 при
8 при
9 при
10 при
В примерах 11 – 25 найти общее решение:
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25
Пример. Найти общее и частное решение уравнения при начальных условиях, , при.
Р е ш е н и е. Общее решение данного уравнения найдем двукратным последовательным интегрированием. Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную а затем общее решение: , где - произвольные постоянные.
Подставляя значения начальных условий в выражения для общего решения и его производной, для определения получаем систему уравнений
откуда находим. Следовательно, искомым частным решением данного уравнения является функция, график которой – парабола, проходящая через точку (1;1).
44. Линейные уравнения.
В примерах 1 –15 найти общее решение уравнений.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15
Пример. Найти общее решение уравнения
Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным. Здесь
Решаем сначала соответствующее однородное уравнение Разделяя переменные и интегрируя, находим
Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде
произвольную постоянную будем считать функцией от x. Здесь применен метод вариации постоянной.
Дифференцируя, имеем Подставляя в данное уравнение выражения для у и, получаем
откуда - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у=uv. Тогда будем иметь. Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
(*)
Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т. е. чтобы, откуда
Подставляя найденное значение v в (*), найдем
Но y=uv, поэтому
В примерах 16-24 решить уравнения Бернулли.
16 17
18 19
20 21
22 23
24
Пример. Решить уравнение
Р е ш е н и е. Это уравнение Бернулли (левая часть у него такая же, как и у линейного, а в правой части стоит выражение, где n –постоянное число; в данном примере ).
Разделим обе части данного уравнения на :
. (**)
Положим, тогда. Умножая обе части уравнения (**) на (-1) и выполняя указанную подстановку, получим линейное уравнение
Решая это уравнение, находим
Следовательно, общим решением данного уравнения будет
.
45. Дифференциальные уравнения второго порядка.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25
Пример. Найти общее решение уравнения.
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение имеет корни, . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид. Так как среди корней только один равен единице, то частное решение этого уравнения ищем в виде
Дифференцируя дважды и подставляя результаты в заданное уравнение, получаем
,
откуда находим, . Подставляя А и В в выражение для, получаем частное решение данного уравнения:
.
Общее решение имеет вид.
Правая часть имеет вид, где - известные числа. Тогда частное решение ищем в виде, где А и В – неизвестные коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения.
Глава 17. Ряды.
17.1. Числовые ряды.
17.1.1. Основные понятия.
17.1.2. Ряд геометрической прогрессии.
17.1.3. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Гармонический ряд.
17.1.4. Признаки сравнения рядов.
17.1.5. Признак Даламбера.
17.1.6. Признак Коши.
17.1.7. Признак Лейбница.
17.1.8. Абсолютная и условная сходимости числового ряда.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
17.2. Степенные ряды.
17.2.1. Основные понятия. Сходимость степенных рядов.
( Абеля).
17.2.2. Разложение функций в степенные ряды.
17.2.3. Вычисление значений функций и определенных
интегралов с помощью степенных рядов.
17.3. Понятие о ряде Фурье.
46. Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости рядов:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
С помощью признака сравнения проверить сходимость ряда:
13 14 15
16 17 18
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда:
19 20 21
22 23 24
25
Пример. Показать, что ряд сходится:
.
Р е ш е н и е. Составим частную сумму первых n членов ряда:
Чтобы упростить выражение для разложим на элементарные дроби.
Имеем
отсюда
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в числителях обеих частей равенства, получаем А+В=0, А=1 , откуда А=1, В=-1, поэтому
Слагаемые суммы принимают вид
Поэтому
Приводя подобные члены, получаем
Переходя к пределу, находим
Таким образом, данный ряд сходится и его сумма S равна 1.
47. Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала.
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16 17
18 19 20
21 22 23
24 25
Пример. Рассмотрим ряд
Р е ш е н и е. Это степенной ряд, все коэффициенты его за исключением, отличны от нуля.
Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда.
Здесь
Поэтому.
Следовательно, радиус сходимости R=1 и ряд сходится на интервале (-1; 1).
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т. е. в точках. При х =1 получаем гармонический ряд,
а при, который сходится в силу признака Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится в любой точке полуинтервала [-1;1) и расходится вне его.
48. Разложить функции в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости функций.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию.
Р е ш е н и е. Положим, тогда . Имеем
При находим искомое разложение
которое справедливо, очевидно, для всех значений х.
Методические указания
,
МАТЕМАТИКА
Методические указания для студентов заочного и очного отделений физико-математического факультета БГПИ, часть III
(специальность: 050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения)
Печатается с авторских дискет
Компьютерная верстка кафедра МиМЕП БГПИ
Подписано в печать 30.06.06
формат 62×94/4,75 п. л. Тираж 100 экз.
ГОУ ВПО «Борисоглебский государственный педагогический институт»,
397160 Борисоглебск, Воронежской области, ул. Народная, 43
Отпечатано и К»
в, т. (473
