Теоретическое дополнение к практическому разделу (стр. 2 )

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿֿ ¹+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿֿ ¹+…+an-1c+an)=a0(bⁿ- cⁿ)+a1(bⁿֿ ¹-cⁿֿ ¹)+…+an-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Очень частным, но весьма полезным случаем этого утверждения является теорема 2

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена −с помощью теоремы делимости целых чисел.

2. Схема Горнера.

Так называют способ деления многочлена Pn (x)=a 0xⁿ+a 1xⁿֿ ¹+a 2xⁿֿ ²+…+a n-1x+an на двучлен x- α, довольно легко позволяет выразить коэффициенты неполного частного

b 0xⁿֿ ¹+b 1xⁿֿ ²+b 2xⁿֿ ³+…+bn-1 и остаток r через коэффициенты многочлена Pn(x) и число α (смотри доказательство теоремы Безу):

b0=a0, b1= αb0+a1, b2= αb1+a2,…,bn-1= αbn-2+an-1 и r = αbn-1+an

Вычисления по схеме Горнера в виде следующей таблицы:

	a0	a1	a2	…	an
α	b0=a0	b1= αb0+a1	b2= αb1+a2	…	r= αbn-1+an

Поскольку r=Pn(α), то α−корень уравнения (2). Для того, чтобы проверить не является ли α кратным корнем, схему Горнера можно применить уже к частному b 0x+b 1x+…+bn-1 по таблице. Если в столбце под bn-1 получится снова ноль, значит α−кратный корень.

3.Разложение многочлена на множители группировкой.

Разложение многочлена на множители может проводиться разными способами: с помощью формул сокращённого умножения, метода группировки. Подробнее они будут рассмотрены на примерах в следующем разделе.

4. Метод подстановки.

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть требуется решить уравнение g(φ(x))=0. Заменим φ(x)=t. Тогда g(t)=0.

Пусть последнее уравнение имеет корни t1, t2,…t n. Тогда уравнение g(φ(x))=0 равносильно совокупности уравнений:

φ(x)=t1, φ(x)=t2,…, φ(x)=tn. Множество решений этой совокупности и есть множество решений исходного уравнения.

Как правило, для произвольно данного уравнения функции g и φ сразу не видны. Поэтому на первом этапе необходимо внимательно присматриваться к данному уравнению и увидеть (догадаться), какие преобразования следует сделать, чтобы привести уравнение к виду g(φ(x))=0

2. Различные методы решения алгебраических уравнений высших степеней.

1. Теорема Безу. Поиск целых корней многочлена.

Примеры:

1.Решим уравнение x³-x²-3x-1=0

Если данное уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа -1, т. е. равен 1 или -1. Проверка убеждает нас, что число -1− корень уравнения. Значит, в силу доказанной теоремы, его левую часть можно представить в виде произведения (x+1)P(x), где P(x)−многочлен второй степени.

Для того, чтобы найти многочлен P(x), разделим x³-x²-3x-1 на (x+1).

x³-x²-3x-1	x+1
x³+x²	x²-2x-1
-2x²-3x
-2x²-2x
- x-1
- x-1
0

Деление многочленов выполняется «уголком»

Итак,

x³-x²-3x-1=(x+1)(x²-2x-1)

Из уравнения

(x+1)(x²-2x-1)=0

Получаем

‌‌‌‌‌‌x+1=0‌ ИЛИ x²-2x-1=0

Решив этИ уравнениЯ, найдём, что данное уравнение третьей степени имеет три корня:

x1=-1, x2=, x3=1+

Ответ: -1, 1+, 1-.

2. Найдём целые корни уравнения:

2x+x³-9x²-4x-4=0

Делителями свободного члена являются числа -1, 1, -2, 2,-4, 4.

Подставляя эти числа в уравнение, находим, что левая часть уравнения обращается в нуль лишь при x1=-2 и x2=2.

3. Решим уравнение

x-x³-5x²+3x+2=0

Делители свободного члена− числа -1, 1, -2, 2.

Подставляя эти числа в уравнение, находим, что x1=1, x2=-2.

Значит, левую часть уравнения можно представить в виде (x-1)(x+2)(x²+px+q) или (x²+x-2)(x²+px+q), где p и q −неизвестные нам числа. Методом неопределённых коэффициентов находим, что -2q=2 и p+1=-1.

Отсюда q=-1, p=-2.

Приравняв к нулю трёхчлен x²-2x-1, найдём остальные корни данного уравнения:

x²-2x-1=0

x3=1-, x4=1+

Ответ:x1=1, x2=-2, x3=1-, x4=1+

1. Схема Горнера.

Поиск рациональных корней по схеме Горнера. Примеры:

1. Решить уравнение:

x⁸-6x⁷+9x⁶-x²+6x-9=0 (5)

Так как в уравнении a0=1, то рациональными корнями уравнения могут быть только целые числа.

	1	-6	9	0	0	0	-1	6	-9	Выводы:
1	1	-5	4	4	4	4	3	9	0	1-корень
1	1	-4	0	4	8	12	15	24≠0		1-простой корень
-1	1	-6	10	-6	10	-6	9	0		-1-корень
-1	1	-7	17	-23	33	-39	48≠0			-1-простой корень
3	1	-3	1	-3	1	-3	0			3-корень
3	1	0	1	0	1	0				3-простой корень

Делители свободного члена: ±1;±3;± 9. Если это уравнение имеет целые корни, то все они находятся среди этих чисел. Найдём эти корни по схеме Горнера.