Теоретическое дополнение к практическому разделу (стр. 3 )

Как видно из таблицы:

(x-1)(x+1)(x-3)² (x+x²+1)=0 , x∊{-1;1;3}

Ответ: {-1;1;3}

2.Решить уравнение 4x+8x³+x²-3x-1=0 (6)

Делители a0=4;±1;±2;±4;делители a4=±1.

Значит, возможно, рациональные корни нужно искать среди чисел:±1;±0.5;±0.25. По теореме других рациональных корней быть не может. Ясно, что числа ±1 не удовлетворяют уравнению (6). Проверим остальные числа по схеме Горнера:

	4	8	1	-3	-1	Выводы
-½	4	6	-2	-2	0	-½-корень
-½	4	4	-4	0		-½-кратный корень

Дальше схему Горнера можно приостановить, так как после двукратного деления левой части (6) на (x+½) мы получим в частном квадратный трёхчлен, корни которого легко найти. Итак, из таблицы видно, что

(6)↔(x+½)²(4x²+4x-4)=0 ↔x=-½∨x=(-1±)/2

Ответ: {-½;(-1±)/2}

2. Методы группировки и разложения на множители.

Примеры.

1. Решить уравнение 2x+3x²-14=0

Квадратный трёхчлен 2y²+3y-14 имеет корни 2 или -3.5 и поэтому равен произведению (y-2)(2y+7), а данный многочлен равен (x²-2)(2x²+7)

Ответ:±;-

2. Решить уравнение (5)

Внимательно посмотрев и подумав, нетрудно сообразить, что:

x⁸-6x⁷+9x⁶-x²+6x-9=0 ⇔(x²-6x+9)(x⁶-1)=0 ⇔(x-3)³((x²)³-1)=0 ⇔

⇔ (x-3)²(x²-1)((x²)²+x²+1)=0⇔(x-3)²(x+1)(x-1)=0⇔x=3∨x=-1∨x=1 ,Х ∊{3;-1;1}

Ответ: {3;-1;1}

3.Решить уравнение

2x³+3x²-3x-2=0

Коэффициенты этого уравнения (нечётной степени), одинаково удалены от старшего и свободного членов, противоположные числа. Такие уравнения можно назвать кососимметрическими Ясно, что 1 – корень такого уравнения. Степень уравнения можно было показать по схеме Горнера. Но проще решить это уравнение методом группировки разложения по множителям.

Имеем:

2х³ + 3х ²- 3х – 2 = 0 ⇔(2х³- 2) + ( 3х² - 3х ) =0⇔2(х³ - 1) + 3х( х – 1)=0 ⇔ (х-1)(2(х²+ х + 1) +3х)=0

х=1 ∨ х=(-5± 3) / 4 , х∊{ 1; -2; -½ }

Ответ: { 1; -2; -½ }

3. 3х³ - 7х² -7х + 3 =0

Здесь уже коэффициенты одинаково удаленные от концов многочлена равны. Такие уравнения принято называть симметрическими. Здесь 1 – очевидный корень. Решаем это уравнение разложением на множители.

3х³ - 7х² - 7х + 3=0 ⇔ (3х³ +3) – (7х² + 7х)=0 ⇔

⇔ (3(х+1)(х² - х + 1) -7х(х+1)=0 ⇔ (х+1)(3х²-3х +3-7х)=0 ⇔

⇔ (х+1)(3х²-10х+3)=0 ⇔ х=-1 ∨ х=( 5 ±4) / 3

х∊{ -1; 3; ⅓ }

Ответ: { -1; 3; ⅓ }

4. Метод подстановки.

Примеры.

1. Решить уравнение

х - 5х³ +6х² -5х+1=0 (10)

Это уравнение – симметрическое уравнение четной степени. Такие уравнения решаются подстановкой. Но сразу не видно, что принять в качестве переменной t. Очевидно, что 0 не является корнем уравнения (10). Поэтому, если все члены (10) разделить на х², то получим уравнение равносильное (10).

(10) ⇔ х²-5х +6 – 5/х + 1/х²=0 ⇔ (х² + 1/х²)-5(х+1/х)+6=0 (11)

Теперь ясно, что целесообразна подстановка t= х+1/х

Отсюда t²=х²+2+1/х² ↔ х²+1/х²=t²-2

При такой замене переменной уравнение (11) принимает вид:

t²-2+5t+6=0 ⇔ t² -5t+4=0 ⇔ t=1∨ t=4

Таким образом,

(10) ⇔ х+1/х =1 ∨ х+1/х=4 ⇔ х² - х+1=0 ∨ х²-4х+1=0 (4)

х ∊Ø ∨ х=2± , х=2±

Ответ: {2±}

2.Решить уравнение.

(х+4)+(х+4)=16 (12)

(х+4+х+2)/2=х+3. Пусть х+3=1. Тогда х=t-3 и уравнение (11) принимает вид:

(t+1) +(t-1)=16

Решаем (13) методом «прибавить-вычесть». Идея состоит в том, чтобы двучлен, расположенный в левой части (13), дополнить до полного квадрата. Имеем:

(t+1) -2(t+1)²(t-1)² +(t-1) + 2(t+1)²(t-1)²=16 ⇔

⇔((t+1)²(t-1)²)²+2((t+1)(t-1))²=16 ⇔

⇔ (((t+1)-(t-1))((t+1)+(t-1)))² +2(t²-1)²=16

(2-2t)²+2(t²-1)²=16

16t²-16+2(t²-1)²=0 ⇔ (t²-1)²+8(t²-1)=0 ⇔

(t²-1)(t²+7)=0 , t=±1

Следовательно

(12) ⇔х=1-3 ∨ х=-1-3 , х=-2 ∨ х=-4

Ответ: {-2; -4}

3.Решить уравнение.

(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=

Присмотревшись к этому примеру, видим, что сумма свободных членов в 1-ой и 4-ой скобках равна сумме свободных членов во 2-ой и 3-ей скобках. Это наводит на мысль, что целесообразны следующие преобразования:

(17) ⇔ [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120 ⇔

⇔ (х²+5х+4)(х²+5х+6)=120

Теперь уже нет сомнений, что разумна подстановка: t=x²+5x+4.

При этом получим:

t(t+2)-120=0 ⇔ t²+2t-120=0 ⇔ t=-12 ∨ t=10

Таким образом,

(17) ⇔ х² +5х+4=-12 ∨ х²+5х+4=10

х² +5х +16=0 ∨ х² 5х-6=0 ⇔ х∊Ø ∨ (х=-6 ∨ х=1) , х=-6 ∨ х=1

Ответ: {-6; 1}

3.Практическая часть работы.

1. x³+x²+x=-

3x³+3x²+3x+1=0