Теоретическое дополнение к практическому разделу (стр. 4 )

x³+x²+3x+1=-2x³

(x+1)³=-2x³

x+1=-х∛2

Ответ: -

2. x-2x²-12x-8=0

x-2x²-12x-8= x+2x²+1-4x²-12x-9= (x²+1)² –(2x+3)²=

( x²+1-2x-3)( x²+1+2x+3) . x²-2x-2=0 (1) ∨ x²+2x+4=0 (2)

Решим (1). Решим (2).

x²-2x-2=0 x²+2x+4=0

D1=3 D<0, корней нет.

x12=1±↔ x1=1+; x2=1-

Ответ: 1+; 1-.

3. x-2x²-x+3--=0

Пусть a=,

x-2ax²-x+a²-a=0

x-2ax²-x+a²-a=( - x²+x+a)( -x²-x+a-a)

Поскольку a=,

x-2x²-x+3-=(-x²+x)(-x²-x-1)

-x²+x=0 ∨ -x²-x-1=0

D=1+4 D=4-3

x12=1± x12=-1±

Ответ:x=1±;-1±

4. 3x³+4x²+4x+3=0

3x³+4x²+4x+3=3(x³+1)+4x(x+1)=(x+1)(3x³-3x+3+4x).

(x+1)(3x³+x+3)=0

x+1=0 ∨ 3x²+x+3=0

x=-1 D<0, корней нет.

Ответ: -1.

5. x-5x³+8x²-5x+1=0

Т. к. x=0 не корень,

x-5x³+8x²-5x+1=0| :x²

-5x+8+ x²-+()2=0

+ x²-5(+x)+8 +()2=0

(x+)²-5(x+)+6=0

Введём новую переменную x+=m

m²-5m+6=0

D=25-24=1

m12= , m1=3, m2=2

x+=3 (1) ∨ x+=2 (2)

Решим уравнение (1)

x²-3x+1=0 x²-2x+1=0

D=9-4=5 (x-1)²=0

x12= x=1

Ответ:x=;1.

6. x⁸-x⁶+x-x²+1=0

Умножим левую и правую части уравнения на многочлен x²+1, не имеющий корней, и:

(x+1)( x⁸-x⁶+x-x²+1)=0

x¹°-x⁸+x⁶-x+x²+ x⁸-x⁶+x-x²+1=0

x¹°+1=0

Нет решений

Ответ: нет решений.

7. 6x³-x²-20x+12=0

Умножим обе части уравнения на многочлен x+0.5, и

6x+2x³-20.5x²+2x+6=0 |:2x² ,т. к. х=0 не корень уравнения.

3x²+3/x²+x+1/x-41/4=0

Введём новую переменную:y=x+1/x

3y²+y-65/4=0

D=1+195=196

y12=(-1±14)/6∨y1=-2.5∨y2=13/6

x+1/x=-∨ x+1/x=13/6 (2)

Решим (1) Решим (2)

6x²-13x+6=0 2x²+5x+2=0

D=25 D=9

x12=(13±5)/12↔x1=1.5∨x2=2/3 x34=(-53)/4,x3=-2∨x4=-0.5

x=-0.5 –посторонний корень.

Ответ: x=1.5;2/3;-0.5.

8. (6x+7)²(3x+4)(x+1)=1 | ∙12

Введём новую переменную 6x+6=z, следовательно

(z+1)²(z+2)z=12

(z+1)²(z²+2z)=12

Введём новую переменную z²+2z=u

(u+1)u=0

u²+u-12=0

D=49

u12=(-1±7)/2⇔u1=3∨u2=-4

z²+2z=3 (1) z²+2z=-4 (2)

Решим (1) Решим (2)

z²+2z-3=0 z²+2z+4=0

D1=4 D<0, нет решений.

z12=(-1±2)/1, z1=-3∨ z2=1

6x+6=-3 6x+6=1

6x=-9 6x=-5