Применение комплексных чисел в задачах планиметрии (стр. 2 )

Таким образом, множество G(r) с данной операцией умножения удовлетворяет всем требованиям мультипликативной абелевой группы. Эта группа является бесконечной, т. к. углы поворота a элементов G(r) пробегают бесконечный ряд значений aÎ[0;2p). Предложение доказано.

Следствие 1. Каждый оператор rÎG(r) порождает циклическую подгруппу G(rs)ÌG(r), которая может быть конечной или бесконечной, в зависимости от угла поворота a оператора r.

Доказательство. Пусть rÎG(r) – произвольный оператор поворота на угол aÎ[0;2p). Выше определена натуральная степень rn, сводящаяся к повороту вектора ÎV на угол na, который, как и выше, рассматривается как неотрицательный вычет по модулю 2p и, следовательно, rnÎG(r). Поскольку G(r) – мультипликативная абелева группа, то у элемента r имеется единственный обратный элемент r -1ÎG(r) с углом поворота b, таким, что a+b=0. Поэтому определятся отрицательная степень (r -1)n = r -nÎG(r), сводящаяся к повороту вектора на угол nb. И, наконец, определяя нулевую степень r0=e, т. е. как поворот на нулевой угол, строится множество G(rs)={rs:sÎZ} – всех целых степеней оператора rÎG(r). Поскольку каждый элемент G(rs) является элементом множества G(r), то установлено подмножество G(rs)ÌG(r).

Пусть ÎG(rs) и ÎV. Тогда действие дает:

1. Если s1;s2 – целые неотрицательные числа, то вектор поворачивается на угол s1a+s2a=(s1+s2)a, т. е. ÎG(rs);

2. Если s1;s2 – целые отрицательные числа, то вектор поворачивается на угол -s1b-s2b=(s1+s2)a, т. е. также ÎG(rs);

3. Если s1;s2 – целые числа разных знаков, например, s1>0; s2<0, то вектор поворачивается на угол s1a-s2b=(s1+s2)a, т. е. и в этом случае ÎG(rs).

Таким образом, установлено, что

"ÎG(rs), "s1;s2ÎZ: ÎG(rs),

т. е. подмножество G(rs) замкнуто относительно групповой операции G(r) и, следовательно, G(rs) является подгруппой группы G(r). Эта подгруппа циклическая, т. к. G(rs) порождена одним элементом rÎG(rs).

Если отношение рационально, то, как показано выше, подгруппа G(rs) получается конечной; если это отношение иррационально, то подгруппа G(rs) – бесконечна. Следствие доказано.

Следствие 2. Если подгруппа G(rs) – конечна и имеет порядок |G(rs)|=m, то она изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю m; если подгруппа G(rs) – бесконечна, то она изоморфна аддитивной группе целых чисел.

Доказательство этого хорошо известного свойства циклических групп, в принципе, несложно и дается, например, в [1].

Назовем действием группы G(r) на векторы пространства V отображение G(r)´V®V, по которому каждой паре (r;)ÎG(r)´V ставится в соответствие единственный вектор rÎV, получающийся из вектора ÎV с помощью оператора поворота rÎG(r) на некоторый угол aÎ[0;2p). Геометрически, смысл действия группы G(r) в пространстве V абсолютно прозрачен и, в частности, действие циклической подгруппы G(rs)ÌG(r) сводится к повороту вектора на угол кратный a и, если отношение рационально, то вектор через конечное количество последовательных поворотов на угол a возвращается в исходное положение; если иррационально, то последнее достигается при бесконечной процедуре поворотов.

1.2. Унимодулярная группа комплексных чисел как изоморфизм группы операторов поворота векторов плоскости. Пусть С – множество комплексных чисел. Комплексное число cÎС называется унимодулярным, если |c|=1. Очевидно, множество всех унимодулярных комплексных чисел образует подмножество С1 Ì С, определяющее на комплексной плоскости множество точек единичной окружности, которые предствляют концы радиус-векторов соответствующих унимодулярных комплексных чисел.

Предложение 2. Подмножество С1 – есть мультипликативная абелева группа, которую назовем унимодулярной группой комплексных чисел.

Доказательство. Действительно, имеем

"c1;c2ÎC1: |c1c2|=|c1||c2|=1Û c1c2ÎC1

и, следовательно, умножение на C1 является бинарной алгебраической операцией.

Ассоциативность и коммутативность умножения в C1 следует из ассоциативности и коммутативности умножения в C. Так как 1ÎC1 и каждый элемент cÎC имеет обратный, т. к.

C1,

то, тем самым, для C1 выполнены все требования мультипликативной абелевой группы, что и требовалось доказать.

Предложение 3. Группа G(r) операторов поворота векторов плоскости изоморфна унимодулярной группе C1 комплексных чисел, т. е. G(r)@C1.

Доказательство. Множество C1 можно представить следующей «тригонометрической» форме:

C1 ={cos a + i sin a: aÎ[0;2p)}

Далее действуем в рамках определения изоморфизма между группами [1]. Строим отображение j : G(r)® C1 по правилу j(r)=cos a + i sin a , где rÎG(r) – оператор поворота на угол a. Построенное отображение j есть взаимно однозначное соответствие, поскольку каждому оператору rÎG(r) при фиксированном a соответствует единственное унимодулярное комплексное число cos a + i sin aÎC1 и наоборот.

Остается показать, что отображение j сохраняет групповую операцию G(r). Пусть r1;r2ÎG(r) – произвольные операторы поворота на углы a1;a2, соответственно. Тогда

j(r1r2)=j(r12)=cos(a1+a2)+i sin(a1+a2)=

=(cosa1+i sina1)(cosa2+i sina2)=j(r1)j(r2),