Применение комплексных чисел в задачах планиметрии (стр. 4 )

Отметим, что рассмотренная задача (рис.3) называется внешней задачей Наполеона. Если правильные треугольники строятся внутри (рис.3), то получаем внутреннюю задачу Наполеона, доказательство которой совершенно аналогично приведенному выше.

1.4.«Алгебраизация» геометрии и некоторые аспекты школьного преподавания. Примерно до начала XVII в. алгебра и геометрия, по большей части, развивались параллельно, причем, позиции алгебры заметно укреплялись. В 1591 г. Ф. Виет дает построение рациональной алгебраической символики, позволяющей описывать те или иные математические конструкции в формализованном виде с помощью символов, близких к современным [2]. Мостик между алгеброй и геометрией перебросил Рене Декарт в 1637 г. [4] с помощью метода координат, когда между точками плоскости и упорядоченными парами чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие и, таким образом, геометрическая пространственная концепция приобрела аналитически измеримые очертания.

С аналитической геометрии Декарта в самой геометрии интенсивно начинается процесс ее «алгебраизации», который сопровождается рассмотрением новых математических объектов (векторов, матриц, определителей и др.), обусловленных интересами механики и других областей естествознания. Правда, сама геометрия все еще демонстрирует свою относительную самостоятельность такими шедеврами, как начертательная геометрия Г. Монжа, проективная геометрия Ж. Понселе и неевклидова геометрия .

К середине XIX в. алгебра все больше рассматривается как наука об абстрактных математических структурах, под которыми понимают множество, с элементами которого можно проводить определенные операции. Во второй половине XIX в. дается общее формализованное описание группы, кольца, поля и других алгебраических структур, которые к концу XIX в. становятся едва ли не основными объектами изучения математики. Это направление математики стало программным в XX в. и особенно внедрялось в математическое образование французской математической школой, объединенной под псевдонимом Н. Бурбаки [5].

Такое алгебраическое направление, в основном, присутствует в современной геометрии и берет начало от знаменитой «Эрлагенской программы», выдвинутой выдающимся немецким математиком Ф. Клейном в 1872 г. [6]. По Клейну, геометрия – это наука, рассматривающая свойства фигур, инвариантные относительно действия некоторой группы преобразований соответствующего пространства или плоскости. К примеру, свойства фигур, изучаемых в школьной геометрии, обусловлены тем, что они инвариантны относительно группы аффинных преобразований или ее подгрупп – подобия или движения.

Насколько эффективно внедрение абстрактных алгебраических концепций в преподавание школьной геометрии, можно судить из имеющегося опыта, который показывает, что восприятие материала в этом случае существенно определяется способностями аудитории. Например, в 1964/65 гг. в специализированных математических школах Москвы и Казани в преподавании широко использовались методы векторной алгебры, аналитической геометрии и теории геометрических преобразований и результат оказался положительным [7]. Однако попытки распространить этот опыт на более широкую аудиторию, предпринятые в 1960-70 гг. во Франции, США и Японии [8-10], а также в СССР в 1969-79 гг. [11], дали резко отрицательный результат – наглядные геометрические формы в алгебраической интерпретации крайне плохо воспринимались широкой школьной аудиторией и, по всей видимости, время для подобного рода новаций в школьном образовании еще не подошло. Поэтому в большинстве стран современные программы школьной геометрии, по большей части, придерживаются классической схемы, восходящей к Евклиду.

Тем не менее, учитывая общую алгебраическую тенденцию развития современной математики, в школьном преподавании геометрии, видимо, целесообразно оптимальное сочетание алгебраических методов с традиционными методами синтетической геометрии, которое оказывается доступным для восприятия широкой аудиторией.

«Алгебраическая составляющая», предусмотренная действующей программой ГОС по геометрии для школ РФ, подразумевает изучение элементов векторной алгебры, метода координат и теории геометрических преобразований [12]. Эти разделы на достаточном уровне представлены в соответствующих учебниках по геометрии [13] и, в более широком формате, в учебниках для углубленного изучения геометрии [14;15].

Представляется, что в рамках действующей программы по геометрии «алгебраическая составляющая» представлена на достаточном уровне и привлечения дополнительного алгебраического материала не требуется. На наш взгляд, речь должна идти о творческом совершенствовании методики применения указанных алгебраических методов, расширяя, таким образом, круг решаемых геометрических задач. Правда, несколько озадачивает тот факт, что количество часов, отпущенное на проработку таких методов, по программе, довольно ограничено.

Тем не менее, продемонстрировать пути такого совершенствования можно, слегка расширив рамки аппарата школьной векторной алгебры, имея в виду, что комплексные числа имеют векторное толкование в комплексной плоскости. Таким образом, в учебном процессе реализуется параллельный алгоритм изучения геометрических свойств поля комплексных чисел и векторного пространства, в котором действует группа операторов поворота G(r), в чем, собственно, и состоит идея изоморфизма, реализуемая в рамках рассматриваемой GMP-стратегии, и, являющаяся лейтмотивом методики [16]. Эта методика выше продемонстрирована на примере решения задачи Наполеона и в разных формах (элективного курса, курсовых и дипломных работ) используется в Саратовском государственном университете им. при подготовке учителей математики в рамках специальности 032100.00. Данный опыт (совместно с учителем математики ) распространен на профильный (углубленный) уровень обучения математике в системе среднего (полного) общего образования в процессе преподавания геометрии в 10-11 классах школы № 93 Кировского района г. Саратова в гг. Ниже представлены дидактические материалы для выполнения домашних заданий и проведения контрольных работ в рамках реализации элективного курса «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии».

1.5.Пакет задач для проведения элективного курса

«Операторная версия комплексных чисел в планиметрии».

Задача 1. На отрезке АЕ по одну сторону от него построены правильные треугольники АВС и СDЕ. Пусть М и P – середины отрезков АD и ВЕ. Докажите, что DCPM– правильный.

Задача 2. На сторонах АС и ВС DABC вне его построены квадраты с центрами M и N. Докажите, что, РM^PN, PM=PN, если P – середина АВ.

Задача 3. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD отрицательной ориентации перпендикулярны и равны. Стороны BA и DA четырехугольника после поворота, соответственно, на и - занимают положение BM и DN. Докажите, что CM^DN, CM=DN.

Задача 4. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD перпендикулярны и равны. Стороны AB, BC, CD и DA по обходу четырехугольника разделены точками P, Q, R и S в равных отношениях. Докажите, что отрезки PR и QS перпендикулярны и равны.

Задача 5*. На прямую р, расположенную в плоскости DАВС, из его вершин, опущены перпендикуляры. Из оснований А1, В1, С1 этих перпендикуляров (точки А1, В1, С1 - различны) опущены, в свою очередь перпендикуляры на стороны ВС, СА и АВ. Доказать, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке Р – ортополюсе прямой р относительно DАВС.

Задача 6. На сторонах ВС и СD параллелограмма AВCD внешним отрезком построены правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что DAPQ – правильный.

Задача 7. Шестиугольник ABCDEF – правильный, К и М – середины отрезков BD и EF. Докажите, что DАКМ – правильный.

Задача 8. Пусть М и N - середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, Р – точка пересечения отрезков АМ и BN. Определите величину угла между прямыми (АМ) и (ВN).

Задача 9. Точка М лежит на дуге АВ описанной окружности правильного DАВС. Докажите, что МС= МА+МВ.

Указания. В задачах 25* используйте оператор повтора на , в остальных задачах – оператор повтора на.

Для примера в рамках операторной версии комплексных чисел в планиметрии, приводится решение следующей задачи: стороны AC и BC треугольника ABC после поворота, соответственно, на и около точек A и B занимают положения AM и BN. Доказать, что, если P – середина отрезка MN, то отрезки PA и PB равны и перпендикулярны (рис.2).

Для доказательства введем базис , , (рис.2)

и определим умножение вектора на комплексное число i как вектор i, такой, что ;= и |i|=||. Тогда, по условию, =,

и . Кроме того, . Отсюда =; и тогда , т. е. PA^PB и PA=PB, что и требовалось доказать.

Доказательство данного факта методами школьной геометрии оказывается более громоздким, чем приведенный «алгебраический» вариант доказательства, который логически прост и, хотя связан с обобщением операции умножения вектора на число, однако это обобщение очень наглядно и школьникам вполне доступно, по крайней мере, на уровне профильного обучения математике.

Библиографический список

1. Александров, в теорию групп [Текст] / . – М.: Наука, 1980. – 144 с.

2. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия [Текст] / Г. Вилейтнер. – М.: Наука, 1966. – 450 с.

3. Скопец, миниатюры [Текст] / . – М.: Просвещение, 1990. – 222 с.

4. Декарт, Ренэ. Геометрия [Текст] / Ренэ Декарт. – М,-Л.: ГОНТИ, 1938. – 298 с.

5. Архитектура математики [Текст] // Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. – М.: ИЛ, 1963. – С. 245-259.

6. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геометрия [Текст] / Ф. Клейн. – М.: Наука, 1987. – 416 с.

7. Линейная алгебра и геометрия [Текст] // Сб. статей «Проблемы математической школы» / Составитель . – М.: Просвещение, 1967. – 368 с.

8. Колмогоров, программы французской школы [Текст] / , // Математика в школе, 1978, №6. – С. 74-78.

9. Маслова, учителей математики США о путях совершенствования математического образования в 80-е годы [Текст] / // Математика в школе, 1981, №5. – С. 68-71.

10. Сэцуко Минэ. О подготовке учителей математики в Японии [Текст] / Сэцуко Минэ // Математика в школе, 1981, №5. – С. 71-72.

11.Колягин, образование: наша гордость и наша боль [Текст] / // Математика в школе, 2001, №9. – С. 24-32.

12. Новые государственные стандарты школьного образования [Текст]. – М.: АСТ – Астрель, 2004. – 448 с.

13. Погорелов, . 7-11 [Текст] / .– М.: Просвещение, 1993. – 383 с.

14. Александров, 8-9 [Текст] / , , .– М.: Просвещение, 1991. – 415 с.

15. Александров, 10-11 [Текст] / , , .– М.: Просвещение, 1992. – 464 с.

16. Фирстов, числа в виде линейных операторов при решении планиметрических задач [Текст] / , , // Комплексные числа и их приложения. Учебное пособие.– Воронеж: изд-во ВГПУ, 2004.–

С.126-137.