Применение комплексных чисел в задачах планиметрии (стр. 3 )

т. е. условие сохранения операции выполнено. Следовательно, G(r)@C1. Что и требовалось доказать.

Определим действие группы C1 на множестве C в виде отображения C1´C® C, по которому каждой паре (c;z)ÎC1´C ставится в соответствие комплексное число czÎZ, такое, что |z|=|cz|, т. к. |c|=1, но при этом arg(cz)=arg c+arg z. Таким образом действие C1´C® C сохраняет модули комплексных чисел, а изменяет только их аргументы.

Теперь, рассматривая действия, казалось бы, различных математических объектов G(r)´V® V и C1´C® C, неожиданно оказывается, что эти действия теснейшим образом связаны между собой. Действительно, замечаем, что пространство V векторов плоскости имеет размерность dim V=2 и, следовательно, V@ R2. В то же время, можно установить взаимно однозначное соответствие C® R2, когда каждому комплексному числу x+yi взаимно однозначно соответствует пара чисел (x;y), которой в комплексной плоскости соответствует единственная точка M(x;y) с радиус-вектором (x;y) и, таким образом, с комплексной плоскостью связано векторное пространство R2@ V. И, наконец, предложение 3 устанавливает изоморфизм групп G(r)@C1. Если теперь действие G(r)´V® V трактовать множеством всевозможных троек вида (r;;r), а действие C1´ C® C – тройками вида (c;z;cz), то установленные факты изоморфизмов позволяют установить между указанными тройками взаимно однозначное соответствие.

Последнее обстоятельство имеет решающее значение, поскольку, в принципе, становится делом вкуса или методики, решать ли данную геометрическую задачу с помощью операторов поворота векторов плоскости, или использовать для этой цели действие элементов унимодулярной группы на комплексные числа, или, как это делали древние греки, осуществлять соответствующие построения циркулем и линейкой.

1.3. Решение задачи Наполеона в операторной версии комплексных чисел. По свидетельствам современников [2], французский император Наполеон Бонапарт () был большим поклонником математики и особенно любил составлять и решать довольно хитроумные геометрические задачи. Одна из таких задач, приписываемых Наполеону, формулируется следующим образом. На сторонах произвольного DАВС во внешнюю сторону построены правильные треугольники АВС1, А1ВС, и АВ1С (рис. 3). Доказать, что центры построенных правильных треугольников (точки D, E, F) образуют правильный треугольник.

Доказательство. С плоскостью DАВС свяжем векторное пространство V, в котором определим оператор поворота f по следующему правилу: всякий вектор f получается из вектора ÎV поворотом на угол против часовой стрелки относительно начала вектора , так, что |f |=|| и ориентированный угол Ð; f =.

Оператор f обладает свойством периодичности, которое иллюстрируется на рис.4, откуда видно, что f 6n+k()=f k(), где nÎZ, k=0;1;...;5 и также имеют место соотношения

f n()= -f n+3(), (3)

f n()+f n+2()=f n+1(). (4)

Отмеченное свойство периодичности оператора f также имеет выраженную алгебраическую окраску. Множество {e; f; f 2; f 3;f 4;f 5}, как это видно из таблицы 1, по умножению (композиции) его элементов образует циклическую абелеву группу 6-го порядка с образующим элементом f. Эта группа изоморфна группе поворотов правильного шестиугольника относительно его центра (рис.4).

Таблица 1. Таблица Кэли для оператора поворота f. оператора поворота f
	e	f	f2	f3	f4	f5
e	e	f	f2	f3	f4	f5
f	f	f2	f3	f4	f5	e
f2	f2	f3	f4	f5	e	f
f3	f3	f4	f5	e	f	f2
f4	f4	f5	e	f	f2	f3
f5	f5	e	f	f2	f3	f4

Приступая собственно к решению задачи Наполеона, в обозначенном векторном пространстве V определим базис ; тогда (рис.3). Из геометрических соображений, используя оператор f, можем написать следующие соотношения

(5)

(6)

и, аналогично,

(7)

(8)

С помощью соотношений (5-8), получается

(9)

Из последнего соотношения вычислим :

в соответствии с (9) и при вычислениях использовано свойство (4).

Т. к., по доказанному, оказывается, что , то, по определению оператора f, отсюда следует и , т. е.  – правильный. Что и требовалось доказать.

Приведенное доказательство оказывается заметно проще доказательств, приведенных в пособии [3], опирающихся на точечные преобразования плоскости. Сложность этих доказательств объясняется тем, что преобразования плоскости, такие, как гомотетия и поворот, привязываются к определенным точкам плоскости. Поскольку при доказательствах [3] используются композиции этих преобразований относительно разных центров, то это, с необходимостью, влечет доказательство свойств композиции таких преобразований, что, само по себе, представляет отдельную, непростую задачу. При использовании в подобных случаях линейных операторов поворота указанное обстоятельство исключается, поскольку операторы действуют на свободные векторы, которые, в основном, только и рассматриваются в геометрии. Правда, при этом несколько расширяется привлекаемый алгебраический инструмент, но техника использования линейных операторов оказывается не слишком сложной и, в принципе, доступна школьникам.