Применение комплексных чисел в задачах планиметрии (стр. 1 )

ФБГОУ ВПО «Саратовский государственный университет

имени »

В. Е.ФИРСТОВ

Применение комплексных чисел

в задачах планиметрии

Учебно-методическое пособие

для студентов

Направление подготовки

010400 – Прикладная математика и информатика

Саратов - 2011
Оглавление

1. Операторная версия комплексных чисел в планиметрии.

1.1. Оператор поворота векторов плоскости и его

групповые свойства………………………………………………….3

1.2. Унимодулярная группа комплексных чисел как изоморфизм группы операторов поворота векторов плоскости………………….8

1.3. Решение задачи Наполеона в операторной версии

комплексных чисел………………………………………………… 10

1.4.«Алгебраизация» геометрии и некоторые аспекты

преподавания……………………………………………………… 14

1.5. Пакет задач для проведения элективного курса

«Операторная версия комплексных чисел в планиметрии»…….. 17

Библиографический список………………………………………………20

1. Операторная версия комплексных чисел в планиметрии

1.1. Оператор поворота векторов плоскости и его групповые свойства. Пусть V – векторное пространство над R и f - некоторое отображение f:V®V, обладающее следующими свойствами:

1) (";ÎV): f(+)=f()+f(), (1)

2) ("kÎR), ("ÎV): f(k)=kf(). (2)

Тогда отображение f называют линейным оператором, действующем в векторном пространстве V. При dimV=2 имеем Vи пространство V можно трактовать как множество векторов, связанных с некоторой плоскостью. Оператор поворота векторов данной плоскости, который в дальнейшем применяется для решения планиметрических задач школьной геометрии, определяется следующим образом.

Пусть p - некоторая плоскость и V – векторное пространство, связанное с этой плоскостью. В пространстве V определим преобразование r по следующему правилу: вектор r получается поворотом вектора ÎV на угол a относительно начала вектора , причем, при a > 0 поворот будем осуществлять против часовой стрелки, а при a < 0 – по часовой стрелке, так, что |r|=|| и Ð;r=a (рис.1). Покажем, что преобразование r – есть линейный оператор, действующий в пространстве V.

Во-первых,

преобразование r реализует отображение r: V®V, т. к. если ÎV, то, очевидно, что rÎV. Во-вторых, r(+)=r+r, что доказывается прямым построением на рис.2а и, точно также, r(k)=k(r), где kÎR (рис.2б). Таким образом, в соответствии с (1), (2), r – линейный оператор в V.

Если на вектор оператором r подействовать дважды, т. е. r(r)=r2, то при этом вектор повернется на угол 2a, если трижды, т. е. r(r(r))=r3, то произойдет поворот на угол 3a и т. д. Поэтому в дальнейшем запись rn попросту означает поворот вектора на угол na, nÎN. Тогда если положить , где xÎR+, то возникают три случая:

1).Если xÎN, то получается rx=, т. е. rx=e, где e – тождественный оператор (e=), действие которого фактически сводится к умножению вектора на единицу. В этом случае, как легко убедиться, rxk+n()=rn, где , n=0;1;...;x-1, т. е. имеет место свойство периодичности.

2).Если xÎQ+, т. е. , p;qÎN, НОД(p;q)=1 то получается rp=, т. е. rp=e. В этом случае rpk+l()=rl, где l=0;1;...;p-1, т. е. также имеет место периодичность.

3).Если x – положительное иррациональное число, то rs¹ при всех sÎN, т. е. в этом случае последовательное действие оператора r на вектор никогда не вернет вектор в первоначальное положение, хотя может подойти к нему как угодно близко, т. е. период в этом случае оказывается бесконечным.

Обозначим через r -1 оператор поворота вектора на угол -a. Тогда легко убедиться, что r(r-1)=r-1(r)=, т. е. rr-1=r-1r=e. В этом случае оператор r -1 называют обратным к оператору r, а оператор r – обратимым. Это означает, что отображение r:V®V является взаимно однозначным соответствием.

Установим теперь групповые свойства оператора поворота r.

Предложение 1. Пусть G(r) – множество всевозможных операторов поворота, действующих в векторном пространстве V, связанном с некоторой плоскостью, и каждый такой оператор поворачивает вектор на некоторый фиксированный угол aÎ[0;2p). Множество G(r) образует бесконечную мультипликативную абелеву группу.

Доказательство. Пусть r1;r2ÎG(r) – два оператора поворота, соответственно, на углы a1; a2 и ÎV. Последовательное действие r1; r2 на вектор символически представляется в виде r1(r2) и сводится к повороту на угол a1+a2, что равносильно действию оператора поворота r12 на угол a=a1+a2, рассматривая этот угол, вообще говоря, как неотрицательный вычет по модулю 2p, т. е. с точностью до периода. Таким образом, получается

"r1; r2 Î G(r): r1r2= r12ÎG(r),

т. е. на множестве G(r) определено умножение (композиция), операторов поворота. Эта операция ассоциативна, т. к. r1(r2r3)=(r1r2)r3, в силу a1+(a2+a3)=(a1+a2)+a3; коммутативна, т. к. r1r2=r2r1, в силу a1+a2=a2+a1; имеется единица, т. к."rÎG(r), $!eÎG(r): re=r, где e – оператор поворота на нулевой угол. Кроме того, каждый оператор rÎG(r) имеет обратный оператор r -1ÎG(r), такой, что r r -1 =e. Действительно, если оператор r поворачивает векторы на угол a, то всегда найдется единственный оператор r -1 с углом b, таким, что a+b=0 и, следовательно, r r –1=e.