Программа по алгебре. Группа 161, 2008/2009 учебный год, 1 семестр
Теория множеств
1. * Высказывания. Логические связки. Кванторы общности и существования.
2. Множества и операции над ними: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность, декартово произведение. Пустое множество. Подмножества, множество подмножеств данного множества.
3. * Отображения. График отображения. Образ и полный прообраз.
4. * Сюръeктивные, инъективные и биективные отображения.
5. Композиция отображений. Теорема об ассоциативности композиции.
6. Тождественное отображение; его свойства. Обратимые слева (справа) и обратимые отображения. Связь с инъективностью, сюръективностью, биективностью.
7. Теорема о композиции обратимых отображений.
8. Характеристическая функция множества.
9. Отношения на множествах. Типы бинарных отношений.
10. * Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Теорема о разбиении на классы. Фактормножество.
Алгебраические системы
11. *Группы. Простейшие свойства (единственность нейтрального элемента, единственность обратного, разрешимость уравнений ax=b и xa=b в группе, обратный к произведению).
12. Подгруппы. Критерий подгруппы.
13. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп.
14. Группы перестановок. Циклы. Представление перестановки в виде непересекающихся циклов. Транспозиции.
15. Число инверсий. Четные и нечетные перестановки. Теорема о том, что умножение на транспозицию меняет четность перестановки и следствия из нее. Знакопеременная группа.
16. * Кольца, тела, поля. Примеры. Простейшие свойства. Подкольцо, подполе. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
17. Кольцо многочленов. Степень многочлена. Свойства степени.
18. Матрицы и операции над ними. Кольцо квадратных матриц.
Комплексные числа
19. * Две конструкции поля комплексных чисел (как множество пар и как подкольцо кольца матриц) и изоморфизм между ними.
20. * Алгебраическая форма записи комплексного числа, вещественная и мнимая часть комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства.
21. * Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.
22. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.
23. Корни из единицы. Первообразные корни из единицы.
24. Неравенство треугольника.
25. Геометрия комплексных чисел: теорема о точке пересечения медиан треугольника.
26. Геометрия комплексных чисел: теорема о точке пересечения высот треугольника.
27. Тело кватернионов.
28. Сопряженние в теле кватернионов. Модуль кватерниона. Мультипликативность модуля и следствие (произведение двух сумм четырех квадратов).
Теория делимости в коммутативных кольцах
29. Делимость в кольцах. Простейшие свойства. Область целостности.
30. Обратимые элементы. Мультипликативная группа кольца.
31. Ассоциированные элементы.
32. Просты, разложимые и составные элементы в области целостности. Теорема о неразложимости простого элемента.
33. Пример кольца, в котором неразложимый элемент не прост, и кольца с неоднозначным разложением на множители.
34. * Идеалы в кольцах. Операции над идеалами. Идеал, порожденный семейством. Главные идеалы.
35. Наибольший общий делитель. Теорема о существовании и линейном представлении наибольшего общего делителя в области главных идеалов.
36. Совпадение простоты и неразложимости в кольце главных идеалов.
37. Взаимно-простые элементы. Критерий взаимной простоты.
38. Евклидовы кольца. Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
39. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел и в кольце многочленов над полем. Евклидовость колец Z и K[x].
40. Поиск наибольшего общего делителя в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида.
41. Линейные уравнения с двумя неизвестными в кольцах главных идеалов. Критерий существования решения. Формула общего решения.
42. Теорема об обрыве возрастающих цепей идеалов в области главных идеалов.
43. Теорема о том, что в кольце главных идеалов всякий ненулевой необратимый элемент делится на неразложимый.
44. Факториальные кольца. Теорема о том, что в кольце главных идеалов всякий ненулевой необратимый элемент раскладывается в произведение неразложимых.
45. Факториальные кольца. Единственность разложения на неприводимые в кольце главных идеалов.
46. Сравнения в кольце. Простейшие свойства сравнений.
47. Факторкольцо (кольцо вычетов) по модулю идеала. Кольцо вычетов по модулю m.
48. Критерий обратимости элемента кольца вычетов.
49. Теорема о том, когда кольцо вычетов кольца главных идеалов является полем. Примеры конечных полей.
50. Третья конструкция поля комплесных чисел (как факторкольцо кольца многочленов).
51. Китайская теорема об остатках.
52. Функция Эйлера. Число первообразных корней из 1 степени n.
53. Мультипликативность функции Эйлера. Явная формула для функции Эйлера..
54. Функция Мебиуса. Вычисление сумм первообразных корней из 1.
55. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма.
56. Теорема Вильсона.
Кольцо многочленов
57. Характеристика поля.
58. Производная многочлена. Ее свойства.
59. Корни многочлена. Теорема Безу.
60. Кратные корни многочлена. Теорема о кратности корня многочлена и его производной.
61. Теорема о числе корней многочлена.
62. Формальное и функциональное равенство многочленов.
63. Алгебраически замкнутые поля. Теорема о равносильных переформулировках алгебраической замкнутости.
64. Основная теорема высшей алгебры (без доказательства).
65. Неприводимые многочлены с вещественными коэффициентами.
66. Интерполяционная задача. Единственность решения.
67. Метод Ньютона.
68. Метод Лагранжа.
69. Поле частных коммутативной области целостности.
70. Простейшие дроби. Теорема о разложении на простейшие: существование.
71. Простейшие дроби. Теорема о разложении на простейшие: единственность.
Линейная алгебра
72. * Определитель квадратной матрицы. Определитель транспонированной матрицы.
73. Линейность определителя по строке (столбцу).
74. * Преобразование определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов).
75. * Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу).
76. Определитель блочной матрицы.
77. Определитель произведения матриц.
78. Взаимная матрица. Обратная матрица.
79. Определитель Вандермонда.
80. Системы линейных уравнений. Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса).
81. Формулы Крамера.
82. * Векторные пространства. Примеры. Простейшие свойства. Семейства векторов, линейные комбинации.
83. * Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых семейств.
84. Семейства образующих. Подпространства. Подпространство, натянутое на семейство векторов. Конечномерные векторные пространства.
85. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
86. * Базис векторного пространства. Теорема об эквивалентных формулировках понятия базиса.
Примечание: Незнание формулировок и определений из вопросов, отмеченных знаком (*) автоматически влечет получение неудовлетворительной оценки.
