Математические основы цифровой обработки сигналов (стр. 5 )

0,2	0,4	0,8	1,6	1,2	0,4	0,8	1,6	1,2	0,4	0,8
0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0

;

Определим относительную погрешность при записи коэффициентов масштабирующих усилителей в 9-и разрядном двоичном коде:

(3.1)

Оценка влияния ошибки квантования на импульсную характеристику цепи

Импульсная характеристика для передаточной функции исходной ДЦ уже была найдена в разделе 1.3.

Определим импульсную характеристику цепи с коэффициентами, реализованными 9-разрядным двоичным кодом, и рассчитаем относительную погрешность для каждого из отсчетов h(n):

(3.2)

Расчеты сведем в таблицу:

n	h(n)	h/(n)	δh(n), %
0	0,7	0,699219	0,112
1	0,65	0,650391	0,06
2	0,365	0,364883	0,032
3	0,3125	0,	0,156
4	0,22925	0,	0,241
5	0,177125	0,	0,349
6	0,1344125	0,	0,445
7	0,10263	0,	0,546
8	0,078198	0,	0,645
9	0,059625	0,0591813	0,745

Таблица 3.1 Импульсная характеристика ДЦ h/(n)

Среднеквадратическая ошибка импульсной характеристики составляет:

Очевидно, что .

При невыполнении данного условия следует увеличить на 1-2 разряда длину двоичного кода и выполнить все вычисления заново.

Оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику цепи

Относительная величина чувствительности к каждому из коэффициентов определяется по формуле

(3.3)

и показывает во сколько раз относительное уменьшение передаточной функции цепи больше относительного изменения параметра (коэффициента).

(3.4)

Наибольшее влияние на АЧХ цепи коэффициент оказывает на частоте, равной собственной частоте нуля или полюса передаточной функции H(z).

Полюсы передаточной функции H(z) были уже найдены в разделе 1.2:

Найдем нули передаточной функции:

Для определения собственной частоты нуля (полюса) воспользуемся соотношениями:

· если , то

· если , то

· если , то

Определим чувствительности на каждой из частот:

:

Погрешности коэффициентов были получены ранее:

Погрешность АЧХ от неточного задания каждого из коэффициентов составит:

Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит:

Аналогичным образом определяем среднеквадратическую погрешность АЧХ на частоте, соответствующей :

Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит:

Итак, исходя из допуска на отклонение системных характеристик (не более 1%), определили разрядность коэффициентов дискретной цепи равной 9.

Если по какой-либо системной характеристике допуск превышен, необходимо увеличить разрядность коэффициентов ДЦ на 1-2 разряда и повторить расчеты.

3.2 Расчет шумов квантования на выходе ДЦ

Сигнал, поступающий в дискретную цепь, проходит через умножители, на выходе которых результат получается в виде кода (двоичного), разрядная сетка которого больше разрядной сетки и сигнала и умножителя.

Для дальнейшей его обработки длина кодового слова должна быть уменьшена до принятого в дискретной цепи размера разрядной сетки с помощью процедуры округления.

Поэтому сигнал на выходе умножителя можно представить как сумму - разрядного кодового слова и некоторого слабого сигнала (отбрасываемого в процессе округления), который можно назвать шумом округления. Будем считать, что шумы округления на выходе разных умножителей некоррелированные.

Шум каждого из умножителей некоррелирован и со входной последова-тельностью.

Ошибки округления является стационарным случайным процессом с равномерным законом распределения.

Рассчитаем шумы квантования на выходе дискретной цепи, полагая разрядность АЦП равной 8. Разрядность коэффициентов дискретной цепи равна 9 (была определена в разделе 3.1).

Изобразим ДЦ со всеми источниками шума. Источниками шума в данной цепи являются АЦП и умножители:

Рисунок 3.1 – Шумовая модель дискретной цепи

где шум от АЦП;

шумы от умножителей.

Определим квадрат дисперсии ошибок округления:

(3.5)

где b – длина разрядной сетки двоичного кода

дисперсия шума АЦП ():

дисперсия шума коэффициентов ():

В фильтрах с фиксированной запятой дисперсия шума округления на выходе от каждого из источников определяется по формуле:

, (3.6)

где - импульсная характеристика части дискретной цепи от выхода i - го умножителя до выхода цепи.

Дисперсия результирующего шума на выходе от всех L умножителей:

(3.7)

Шумы АЦП , а также , проходят до выхода ДЦ через всю цепь, импульсная характеристика которой уже была найдена в пункте 1.3. Шумы , , проходят непосредственно через сумматор на выход ДЦ, передаточная функция которого .

:

:

Составим «шумовое уравнение» (выражение, описывающее алгоритм формирования шума на выходе). Согласно рис. 3.1:

(3.8)

Подставив в «шумовое уравнение» рассчитанные значения, получим дисперсию шума на выходе ДЦ:

В данном результате - шум от АЦП, а - шумы от коэффициентов ДЦ.

3.3 Расчет масштабного множителя на входе ДЦ

При сложении в сумматоре с фиксированной запятой ошибок округления не возникает, но возможно переполнение регистров и выходной сигнал будет существенно искажен. Для предотвращения этого сигнал на входе с помощью масштабного множителя ослабляют, но так, чтобы не слишком ухудшить соотношение сигнал/шум на выходе цепи.

y(n)

λ

x(n)

0,7

I II

Рисунок 3.2 - Дискретная цепь с масштабным множителем λ

Расчет масштабного множителя на входе цепи производится по трем условиям:

а) по условию ограничения максимума сигнала;

б) по условию ограничения энергии сигнала;

в) по условию ограничения максимума усиления цепи

При этом расчет осуществляется по каждому сумматору в отдельности, а из полученного набора выбирают наименьшее значение, чтобы обеспечить защиту сразу обоих сумматоров.

а) Условие ограничения максимума сигнала

При расчете масштабного множителя по условию ограничения максимума сигнала перегрузки сумматора исключены, т. к.

В этом случае

(3.9)

где - импульсная характеристика участка ДЦ от входа до выхода i-го сумматора

Для I-го сумматора (рис. 3.2) импульсная характеристика соответствует рекурсивной части ДЦ, передаточная функция которой

(3.10)

Для II-го сумматора (рис.3.2) импульсная характеристика соответствует всей ДЦ (определена в 1.3):

тогда

Из полученных результатов выбираем наименьший, т. е. .

б) Условие ограничения энергии сигнала

При расчете λ, по условию ограничения энергии сигнала перегрузки сумматоров не исключены, но мало вероятны. Масштабный множитель рассчитывается из условия .

(3.11)

Тогда множители для каждого из сумматоров

Выбирая наименьшее значение, получаем .

в) Условие ограничения усиления цепи

При расчете множителя λ по условию ограничения усиления цепи можно уменьшить вероятность частотных искажений, задавшись условием:

(3.12)

При этом максимальное значение АЧХ определяется на частоте, равной собственной частоте нуля или полюса передаточной функции .

Нули и полюсы передаточной функции уже были найдены ранее. Определим значения АЧХ цепи по каждому сумматору в отдельности:

;

;

;

Из полученных значений АЧХ выбираем наибольшее значение и определяем множитель λ:

.