Методические указания «Элементы тензорного анализа в курсе физики твердого тела» (стр. 2 )

В п. 4 таблицы 3 закон Гука

σab = (8)

записан в тензорной форме (модули упругости cabjk образуют тензор четвертого

Таблица 3 – Взаимосвязь тензоров, характеризующих свойство, воздействие и явление в твердом теле

Ранг тензора свойст-ва n	Воздействие, ранг тензора n1	Явление, ранг тензора n2	Свойство и тензор, используемый для его описания
1	∆T – изменение температуры, скаляр (n1 = 0)	∆Р – измене- ние поляризо- ванности кристалла, вектор (n2 = 1)	Пироэлектричество – свойство некоторых диэлектрических кристаллов изменять величину электрической поляризованности при изменении температуры. ∆Р = γ∆T, где γ – вектор пироэлектрических коэффици- ентов.
2	Е – напряжен- ность электриче- ского поля, вектор (n1 = 1)	D – электри- ческое смеще- ние, вектор (n2 = 1)	Диэлектрическая проницаемость характеризует поляризованность тел под действием электриче- ского поля. Di = ε0 , где – компо- ненты тензора относительных диэлектрических проницаемо- стей.
2	ω – угловая ско- рость, псевдовек- тор (n1 = 1)	М – момент импульса, псевдовектор (n2 = 1)	Момент инерции характеризует инертные свойства тела при его вращении. Mf = , где Ifk – компо-ненты тензора инерции (реже – тензора моментов инерции).

Продолжение таблицы 3

Ранг тен- зора свой-ства n	Воздействие, ранг тензора n1	Явление, ранг тензора n2	Свойство и тензор, используемый для его описания
2 3	∆T – измене-ние темпера- туры, скаляр (n1 = 0)	ξjk – механи- ческая дефор- мация, тензор (n2 = 2)	Тепловое расширение – изменение размеров тела в процессе его нагревания. ξjk = βjk∆T, где βjk – компоненты тензора коэффициентов линейного теплового расширения твердого тела.
σjk – механи- ческое напря-жение, тензор (n1 = 2) ------- Е – напря-женность электриче-ского поля, вектор (n1 = 1)	Р – поляри- зованность, вектор (n2 = 1) ξjk – механи- ческая деформация, тензор (n2 = 2)	Пьезоэлектричество – изменение поля-ризованности некоторых диэлектри-ческих кристаллов при приложении внешнего механического напряжения. При прямом пьезоэффекте Pi = , при обратном пьезоэффекте ξjk = , где dijk – компоненты тензора пьезоэлектрических модулей (реже – тензора пьезокоэффициентов).
4	ξjk – механи- ческая деформация, тензор (n1 = 2)	σab– механиче- ское напря- жение, тензор (n2 = 2)	Упругость – свойство тел изменять форму под действием нагрузок и самопроизвольно восстанавливать исходную форму при прекращении внешних воздействий. При малых деформациях справедлив закон Гука σab = , где cabjk – компоненты тензора модулей упругости.

ранга). В силу симметричности тензоров механических деформаций ξjk и механических напряжений σab для модулей упругости выполняются равенства cabjk = cbajk и cabjk = cabkj (a, b, j, k = 1; 2; 3). Из термодинамики следует, что если деформирующие кристалл силы являются консервативными, то выполняется условие перестановки пар индексов cabjk = cjkab (a, b, j, k = 1; 2; 3). Вследствие вышеупомянутых равенств для модулей упругости число независимых компонент тензора cabjk различных кристаллов составляет от 21 (триклинная сингония) до 3 (кубическая сингония).

Вследствие симметричности индексов у модулей упругости cabjk формула закона Гука (8) представляется в матричной форме как

σa = , (9)

где σa – механическое напряжение (a = 1; 2; …; 6), xb – механическая деформация (b = 1; 2; …; 6), сab – элементы матрицы модулей упругости (6 ´ 6). Матрицы механических напряжений || σa || и деформаций || xb || выражаются через компоненты соответствующих тензоров σa и ξjk следующим образом:

|| σa || = = ;

|| ξb || = = .

Следует помнить, что матрица модулей упругости || cab || (см. формулу (9)) не является тензором, а ее элементы не преобразуются по формулам, аналогичным (Т2) или (Т4) из таблицы 1.

Если деформированное состояние кристалла описывается в соответствии с законом Гука (см. формулы (8) и (9)), то объемная плотность энергии упругой деформации данного кристалла определяется как

wупр = (1 / 2) cab xa xb . (10)

Выражение (10) по форме напоминает формулу энергии упругой деформации пружины Wупр = k x2 / 2, где k – жесткость пружины, x – смещение.

4 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

З а д а ч а 4.1. В прямоугольной системе координат (X1X2X3) тензор относительных диэлектрических проницаемостей тетрагонального кристалла имеет ненулевые компоненты e11 , e22 = e11 и e33 . Определить все ненулевые компоненты тензора относительных диэлектрических проницаемостей ekm¢ в системе координат (X1′X2′X3′), повернутой относительно (X1X2X3) вокруг оси ОX3 на угол j против часовой стрелки.

Тензор eij – тензор второго ранга (см., например, таблицу 3). Преобразование компонент тензора eij проводим в соответствии с формулой (Т2) из таблицы 1:

ekm¢ = , (11)

где lki = cos(OXk', ^ OXi). Преобразование осей координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) (рисунок 1) описывается формулами

x1' = x1 cos j + x2 cos (90° – j ) + x3 cos 90°;

x2' = x1 cos (90° + j ) + x2 cos j + x3 cos 90°;

x3' = x1 cos 90° + x2 cos 90° + x3 cos 0°.

Cледовательно, матрица преобразования (вращения) имеет вид

|| lab || = . (12)