Методические указания «Элементы тензорного анализа в курсе физики твердого тела» (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Тополов В. Ю.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

«Элементы тензорного анализа в курсе

физики твердого тела»

для студентов физического факультета

Ростов-на-Дону

2007

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры физики полупроводников и аспирантом кафедры физики полупроводников

Компьютерный набор и верстка аспиранта кафедры физики полупроводников

Печатается в соответствии с решением кафедры физики полупроводников физического факультета ЮФУ (протокол N 41 от 01.01.01 г.)

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия методы векторного и тензорного анализа активно используются при изложении курса физики твердого тела, при анализе особенностей физических свойств твердых тел, а также при описании анизотропии их физических свойств. Известно, что физические свойства твердых тел описываются скалярными, векторными или тензорными величинами. В кристалле, например, векторы воздействия и явления в общем случае не совпадают по направлению, а связь между этими векторами тесно связана с симметрией кристалла и анизотропией физического свойства. Cвязь между явлением (эффектом), воздействием и физическим свойством определяется символической формулой

Явление = Физическое свойство ´ Воздействие.

При количественном описании физического свойства важную роль играет выбор ориентации осей системы координат. Переход от одной системы координат к другой приводит к изменениям количественных характеристик кристалла, и эти изменения описываются с помощью тензоров. В настоящих методических указаниях приводятся основные сведения о тензорах, рассматриваются свойства тензоров второго ранга, примеры тензорных физических величин, а также примеры решения задач по тензорной тематике. Навыки, приобретенные студентами при изучении и использовании представленных методических указаний, должны способствовать эффективному применению элементов тензорного анализа в курсе физики твердого тела, при решении ряда задач и при изложении других спецкурсов для студентов, обучающихся по специальности «Микроэлектроника и твердотельная электроника».

1 ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА

Как известно из курса физики, скаляр имеет одну компоненту, а вектор – три. В любой системе координат для полного описания скаляра достаточно использовать одно число, а для описания вектора – три числа. Однако многие физические величины не удается описать введением одного или трех чисел. Экспериментально установлено, что для описания деформации упругих тел в некоторой точке P(x1 , x2 , x3) необходимо ввести 32 = 9 чисел, а для описания упругих свойств анизотропных тел – 34 = 81 число. В связи с этим возникла потребность введения новых математических объектов, представляющих собой совокупности 3n компонент (n = 0; 1; 2;...) и преобразующихся по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой. Все эти компоненты характеризуются одинаковой размерностью и «участвуют» в однотипных соотношениях, связывающих различные физические величины. Такие объекты называются т е н з о р а м и, а р а н г т е н з о р а n определяет общее число компонент (3n).

Отметим, что компоненты тензора могут иметь различные значения в разных системах координат. Однако в связи с тем, что каждый раз эти компоненты в совокупности определяют одну и ту же физическую величину, закон преобразования компонент при изменении системы координат должен быть тесно связан с природой рассматриваемой физической величины. Произвольность выбора системы координат является экспериментально установленным фактом и отражает однородность пространства. Равноправность любой ориентации осей координат также подтверждена многочисленными экспериментами и отражает изотропность пространства. Законы преобразования компонент тензоров ранга от нулевого по четвертый включительно при преобразовании осей прямоугольной декартовой системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) представлены в таблице 1.

Обобщая вышеизложенное, можно дать следующее определение тензора n-го ранга. Тензор n-го ранга – это величина, определяемая в декартовой системе координат (X1X2X3) совокупностью 3n чисел или функций Aik...r (число нижних индексов равно n), которые при изменении системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) преобразуются по закону

Aik...r ¢ = lislkt... lrw Ast...w ,

где lis = cos (OXi¢, ^ OXs) – косинус угла между i-й осью системы координат (X1′X2′X3′) и s-й осью осью системы координат (X1X2X3).

Таблица 1 – Преобразование компонент тензора n-го ранга (n = 0; 1: 2; 3; 4)

Тензор и его ранг n	Число компонент тензора	Закон преобразования компонент тензора n-го ранга
Скаляр, n = 0	30 = 1	α' = α
Вектор, n = 1	31 = 3	ai ' = (Т1)
Тензор второго ранга, n = 2	32 = 9	bij' = (Т2)
Тензор третьего ранга, n = 3	33 = 27	cijk' = (Т3)
Тензор четвертого ранга, n = 4	34 = 81	dijkm' = (Т4)
Примечания: 1 lik = cos(OXi', ^ OXk) – направляющие косинусы. Первый нижний индекс i относится к оси штрихованной (новой) системы координат. 2 В соответствии с правилом Эйнштейна суммирование от 1 до 3 проводится по повторяющимся индексам k (n = 1; 2), m (n = 2; 3), р, q (n = 3; 4), r и s (n = 4).

2 СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА

Тензоры второго ранга – это величина, определяемая в любой системе координат девятью числами или функциями, которые при изменении системы координат преобразуются по формуле (Т2). Тензор второго ранга А удобно представлять в виде матрицы размером 3 × 3, т. е.

|| Aik || = .

Свойства тензора А эквивалентны свойствам квадратной матрицы || Aik ||, построенной из компонент этого тензора, и эти свойства можно сформулировать следующим образом.

а) Тензор А является симметричным, если для любых индексов i и k
справедливо равенство Aik = Аki.

б) Тензор В является антисимметричным, если для любых индексов i и k справедливо равенство Bik = – Bki.

в) Произвольный тензор второго ранга С можно представить в виде
суммы симметричного А и антисимметричного В тензоров: Cik = Aik + Bik ,

где Aik = (Cik+ Cki) / 2, Bik = (Cik – Cik) / 2.

г) Если для тензора А существуют векторы х, удовлетворяющие условию Ах = λх, то направления, определяемые этими векторами, называются главными (собственными) направлениями тензора А. Оси этих направлений называются главными осями тензора. Значения компонент тензора в системе координат главных осей называются главными значениями тензора (обозначены λ).

Итак, система уравнений, из которой находятся главные направления и главные значения тензора А, в матричной форме имеет вид

= λ.

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат xi имеет ненулевое решение, если

det || A – λ I || = 0, (1)

где I - единичная матрица (3 × 3). Таким образом, главные значения λ определяются из характеристического уравнения тензора А

= 0, (2)

являющегося кубическим уравнением относительно λ. В системе главных осей (Х1°Х2°Х3°) тензор А записывается в матричном виде как

||Aik|| =, (3)

причем три главных оси OXi° этого тензора взаимно перпендикулярны.

Если λ1 = λ2 = λ3, тензор называется шаровым. Такой тензор пропорционален единичному (т. е. выполняется условие А = λi I) и имеет одинаковый вид во всех системах координат. Если два главных значения тензора одинаковы, а третье отлично от них (например, λ1 = λ2 ≠ λ3) , то тензор называется симметрическим. Если все три главных значения тензора различны, то тензор называется асимметрическим.

Интерпретация тензор второго ранга может быть дана при проведении слелующей геометрической аналогии. Центральная поверхность второго порядка с центром в начале O(0; 0; 0) прямоугольной системы координат (X1X2X3) описывается уравнением

xi xj = 1, (4)

причем коэффициенты Sij подчиняются условию Sij = Sji. В новой системе координат (X1′X2′X3′) уравнение (4) принимает вид

′ xk′ xm′ = 1,

где коэффициенты Skm′ = lkilmjSij преобразуются по формуле, аналогичной формуле (Т2) из таблицы 1. Компоненты симметричного тензора второго ранга преобразуются при переходе из системы координат (X1X2X3) в (X1′X2′X3′) подобно коэффициентам Sij из уравнения (4). Для симметричного тензора второго ранга можно ввести х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю п о в е р х н о с т ь – поверхность второго порядка с коэффициентами, равными компонентам тензора. Как показано выше, симметричный тензор второго ранга приводится к главным осям (см. формулу (3)), а соответствующая ему характеристическая поверхность задается уравнением

λ1 x12 + λ2 x22 + λ3 x32 =

Уравнение (5) легко приводится к канонической форме

(x1 / a1)2 + (x2 / a2)2 + (x3 / a3)2 =

Если в матрице (3) все λi > 0, то поверхность, описываемая уравнением (6), представляет собой эллипсоид с полуосями длиной 1/ (i = 1; 2; 3). Если два элемента λi из (3) положительны, а один отрицателен, то поверхность (6) является однополостным гиперболоидом. Наоборот, если два элемента λi из (3) отрицательны, а один положителен, то поверхность (6) является двухполостным гиперболоидом.

Наряду с характеристической поверхностью при описании физических свойств, выражающихся тензорами второго ранга, используют у к а з а т е л ь –
н у ю п о в е р х н о с т ь. В прямоугольной системе координат (X1X2X3) уравнение указательной поверхности для свойства, описывающегося тензором (3), имеет вид

(x1 / λ1)2 + (x2 / λ2)2 + (x3 / λ3)2 = 1. (7)

Уравнение (7) характеризует эллипсоид с полуосями длиной | λi | (i = 1; 2; 3). В общем случае по форме указательной поверхности можно определять кристаллографические направления, вдоль которых данное физическое свойство характеризуется минимальным или максимальным численным значением.

Примеры характеристических поверхностей свойств, описываемых тензором второго ранга, в кристаллах различной симметрии представлены в таблице 2.

3 ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Для описания физических свойств кристаллов часто используются тензоры, позволяющие учитывать симметрию кристаллической структуры и связанную с ней анизотропию свойств. Вследствие анизотропии свойств кристаллов физическое явление, вызванное каким-либо воздействием, как правило, не совпадает по направлению с этим воздействием. Если воздействие и вызванное

Таблица 2 – Влияние симметрии кристалла на физические свойства, описываемые тензором второго ранга

Сингония	Ненулевые компоненты тензора	Характеристическая поверхность
Кубическая	b11 = b22 = b33	Сфера
Тетрагональная, гексагональная или тригональная	b11 = b22; b33 ≠ b11	Эллипсоид вращения (сфероид) вокруг главной оси симметрии
Ромбическая	b11 ≠ b22 ≠ b33	Трехосный эллипсоид с осями, параллельными кристаллографическим осям
Моноклинная	b11 ≠ b22 ≠ b33; b13 = b31	Трехосный эллипсоид, одна из осей которого параллельна главной кристаллографической оси
Триклинная	b11 ≠ b22 ≠ b33; b12 = b21; b13 = b31; b23 = b31; b12 ≠ b13 ≠ b23	Трехосный эллипсоид

им явление изотропны (т. е. описываются скалярами), то и соответствующее свойство будет изотропным. Если при скалярном воздействии на кристалл возникающее явление описывается тензором, то и соответствующее свойство кристалла будет тензорным. Тензорные свойства могут обнаруживаться, кроме того, и при векторных, и при тензорных воздействиях. Характерные примеры связей рангов тензоров воздействия n1, свойства n и явления n2 приведены в таблице 3. Нетрудно заметить, что между рангами вышеуказанных тензоров существует следующая связь: n = n1 + n2.