для точек А3¢(х1; х2; х3), лежащих «выше» плоскости Р, и уравнение

(18)

для точек А3¢(х1; х2; х3), лежащих «ниже» плоскости Р. Уравнения (17) и (18) приводятся к виду

(19)

и

(20)

соответственно. Уравнения (19), (20) представляют собой уравнения указательной поверхности пироэффекта. Геометрический образ данной указательной поверхности – две сферы, соприкасающиеся в начале координат. Центр сферы, заданной уравне­нием (19), лежит в точке, определяемой радиус-вектором g / 2, а центр сферы, заданной уравнением (20), лежит в точке, определяемой радиус-вектором (–g)/ 2.

О т в е т: уравнения (19) и (20).

З а д а ч а 4.4 [3]. Найти величину и направление вектора плотности тока j (в системе координат (X1X2X3)), возникающего в кристаллической пластинке площадью S и толщиной d ( >> d) под действием внешнего поля
Е = 150 В / см в направлении ( / 2; / 2; 0), если удельная проводимость кристалла (в 10-7 Ом-1 см-1) в этой системе координат (X1X2X3) описывается тензором

.

Компоненты вектора напряженности внешнего электрического поля Е (Е1; Е2; Е3) равны Согласно

закону Ома в дифференциальной форме, компоненты вектора плотности тока j (j1; j2; j3) в кристалле определяются по формуле ji = :

j1 = sE1 + sE2 + sE3;

j2 = sE1 + sE2 + sE3;

j3 = sE1 + sE2 + sE3.

Численные значения равны j1 = 7,4.10-5 А / см2; j2 = 14,7.10-5 А / см2;
j3 = 8,46.10-5 А / см2; | j | = 18,5.10-5 А / см2. Направление вектора j определяется углами j1, j2, j3 c помощью формулы cos ji = ji / | j | (i = 1; 2; 3). Эти углы равны j1 = 66°; j2 = 37°; j3 = 63°.

О т в е т: | j | = 18,5.10-5 А / см2; j1 = 66°; j2 = 37°; j3 = 63°.

З а д а ч а 4.5. Состояние упругой деформации кристалла тетрагональной симметрии задается в прямоугольной системе координат (X1X2X3) тензором

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

|| xab || = , где x0 > 0. Матрица модулей упругости кристалла имеет вид

|| сab || = .

Определить а) ненулевые компоненты тензора механических напряжений σjk, возникающих в кристалле; б) объемную плотность упругой энергии wупр данного кристалла.

Перейдем к одноиндексной форме записи деформаций xab ® xb. Соответствующая матрица принимает вид

|| xb || = (при записи данной матрицы учтено, что

недиагональные компоненты тензора деформаций удовлетворяют условию x5 = 2x13 = x0 / 2). Подставляя элементы матриц || сab || и || xb || в формулу (9), получим

σ11 = σ1 = с11x1 + с12x2 + с13x3 = с11x0 + с12 (–2x0) + с13.3x0 = (с11 – 2с12 + 3с13)x0;

σ22 = σ2 = с21x1 + с22x2 + с23x3 = с12x0 + с11 (–2x0) + с13.3x0 = (с12 – 2с11 + 3с13)x0;

σ33 = σ3 = с31x1 + с32x2 + с33x3 = с13(x0 – 2x0) + с33.3x0 = ( – с13 + 3с33)x0;

σ13 = σ5 = с55x5 = с44x0 / 2;

σ12 = σ6 = 0; σ23 = σ4 = 0.

Объемная плотность упругой энергии определяется по формуле (10). Для упругой деформации данного кристалла получаем следующее выражение:

wупр = (1 / 2)( с11x12 + с22x22 + с33x32 + 2с12x1x2 + 2с13x1x3 + 2с23x2x3 + с55x52) =
= (1 / 2)[с11x02 + 4с11x02 + 9с33x02 – 4с12x02 + 6с13x02 – 12с13x02 + (с44x02 / 4)] =

= (1 / 2)[5с11– 4с12 – 6с13 + 9с33 + (с44 / 4)]x02.

О т в е т: σ11 = (с11 – 2с12 + 3с13)x0; σ22 = (с12 – 2с11 + 3с13)x0;
σ33 = ( – с13 + 3с33)x0; σ13 = с44x0 / 2; wупр = (1 / 2)[5с11– 4с12 – 6с13 + 9с33 + (с44 / 4)]x02.

5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5.1. Сколько компонент имеют а) скаляр; б) вектор; в) тензор n-го ранга?

5.2. Чем характеризуется тензор n-го ранга?

5.3. Как преобразуются компоненты тензора второго ранга при переходе из прямоугольной системы координат (X1X2X3) в прямоугольную систему координат (X1′X2′X3′)?

5.4. Что такое а) главные оси тензора второго ранга; б) главные значения тензора второго ранга?

5.5. В чем состоит отличие указательной поверхности от характеристической? Для каких тензоров вводятся эти поверхности?

5.6. Какую информацию можно получить, изучая указательную поверхность?

5.7. Как представляются механические напряжения и деформации в одноиндексной форме?

6 ЗАДАЧИ


6.1. Определить тензор относительных диэлектрических проницаемостей ekm¢ кристалла моноклинной сингонии в системе координат (X1′X2′X3′), если в исходной системе координат (X1X2X3) ненулевые компоненты тензора равны e11¢, e22¢, e33¢ и e13¢ = e31¢. Система координат (X1′X2′X3′) повернута относительно (X1X2X3) по часовой стрелке на угол а) 45° вокруг оси ОX1; б) 30° вокруг оси ОX2; в) 60° вокруг оси ОX3.

6.2. Диэлектрическая проницаемость некоторого кристалла в системе координат (X1X2X3) характеризуется тензором

e0. Каким образом следует вырезать тонкую кристаллическую

пластинку для достижения наибольшей емкости плоского конденсатора на основе данного кристалла?

6.3. Определить характеристическую поверхность упругих деформаций, задаваемых тензором

.10-4.

6.4. Удельная электропроводность кристалла ромбической сингонии описывается в системе координат (X1X2X3) тензором

, где s0 > 0. Определить плотность тока j при приложении к

кристаллу внешнего электрического поля E(E0, 0, –E0), где E0 > 0.

6.5. Деформация кристалла кубической сингонии с модулями упругости

|| сab || = характеризуется тензором

|| xij || = , где x0 > 0. Определить компоненты тензора

механических напряжений s11, s22 и s33, а также объемную плотность упругой энергии wупр данного кристалла.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. , Тарапов анализ и начала тензорного исчисления [Текст]: учеб. пособие для вузов. – Харьков: Вища шк.; Изд-во при Харьк. гос. ун-те, 1986. – 216 с.

2. Шаскольская [Текст]: учеб. пособие для втузов. – 2-е изд. – М.: Высш. шк., 1984. – 376 с.

3. Переломова Н. В., Тагиева по кристаллофизике [Текст]: учеб. пособие для вузов. – 2-е изд. – М.: Наука, 1982. – 288 с.

4. Савельев теоретической физики. Т. 1. Механика и электродинамика [Текст]: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1991. – С.412–430.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4