МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Елецкий государственный университет им. |
|
|
ПРОГРАММА государственного итогового междисциплинарного экзамена по математике
( уч. г.) |
| ||
Специальность: | 050202 «Информатика» с доп. спец. 050201 «Математика» | |||
Квалификация: | учитель информатики и математики | |||
Срок обучения: | 4 года |
| ||
Форма обучения: | заочная |
| ||
Факультет: | физико-математический |
| ||
Вопросы по дисциплине «Математический анализ»
1. Понятие функции. График функции. Способы задания функций. Обратная и сложная функции.
2. Числовые последовательности (основные понятия; предел, свойства). Число е.
3. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.
4. Непрерывность функции, точки разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.
5. Определение производной, ее механический и геометрический смыслы. Правила дифференцирования. Дифференциал.
6. Исследование функций с помощью производной (возрастание и убывание, минимум и максимум, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, выпуклость).
7. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных выражений.
8. Интегрируемость простейших иррациональных и трансцендентных функций.
9. Определенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Приложение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, длины дуги.
11. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и интегральный.
12. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
13. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
14. Степенные ряды. Интервал сходимости. Выражение коэффициентов степенного ряда.
15. Формула и ряд Тейлора.
16. Определение и свойства степени. Степенная функция.
17. Показательная функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
18. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
19. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение в степенной ряд синуса и косинуса.
20. Функции нескольких переменных. Дифференцируемость и частные производные функций нескольких переменных. Дифференциал.
21. Кратные интегралы (определение, основные свойства, сведения к повторному).
22. Криволинейный интеграл I и II рода (определение, основные свойства, вычисление).
23. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел.
24. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
25. Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости.
26. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
27. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
«Математический анализ»
1) Найдите область определения функции 
.
2) Вычислите: а) 
; б) 
.
3) Вычислите пределы функций: а) 
; б) 
.
4) Исследуйте на непрерывность функцию и постройте её график: 
5) Найдите 
от функций: а) 
; б) 
; в) 
6) По прямой движутся две материальные точки по законам 
и 
. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?
7) Напишите уравнение нормали и касательной к кривой 
в точке 
.
8) Исследуйте на экстремум функцию 
.
9) Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующей кривой: 
.
10) Вычислить интегралы: а) 
; б) 
.
11) Вычислите интегралы: а) 
; б)
; в) 
.
12) Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
.
13) Найдите длину дуги кривой в пределах от 
до 
.
14) Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями 
.
15) Вычислите несобственный интеграл (или установите его расходимость): 
.
16) Исследуйте на сходимость: а) 
; б) 
.
17) Исследуйте на сходимость и определите интервалы сходимости рядов: а) 
; б) 
.
18) Разложить в ряд Тейлора функцию 
в окрестности точки 
.
19) Вычислите 
.
20) Найти частные производные первого и второго порядков от следующих функций: а) 
; б) 
.
21) Вычислите двойной интеграл 
, если область интегрирования (S) ограничена линиями 
, 
, 
.
22) Решить дифференциальные уравнения: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Литература
1. , , Лащенов математического анализа. Т.1. , Т.2. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. ин.-тов. Под ред. проф. .- М.: Просвещение,1972.-511 с.
2. , Куницкая анализ. Введение в анализ. Учебное пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. ин.-тов.- М.:МГЗПИ,1973.-270 с.
3. , , Мордкович анализ. Дифференциальное исчисление. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. ин.-тов.-М.: Просвещение, 1978.-160 с.
4. , , Мордкович анализ. Интегральное исчисление. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. факультетов пед. институтов. - М.: Просвещение, 19с.
5. Зорич анализ, ч.1.- М.: Наука, Главная редакция физико - математической литературы, 1981.-544с.
6. , Позняк математического анализа. Ч.1.,Ч.2 - М.: Наука, 1971, 1982.
7. Коровкин анализ. Ч.1.,Ч.2 - М.: Гос. учебно-метод. изд-во Мин. просвещения РСФСР, 1963.-399 с.
8. Кудрявцев анализ. Т.1., Т.2- М: Высшая школа, 1970.-588 с.
9. Никольский математического анализа. – М.: Наука 1973 г., т. 1-2.
10. Райков математический анализ. М.: Высшая школа,1982г.
11. Фихтенгольц математического анализа. Т.1., Т.2 - М.: Наука, 196с.
.
Вопросы по теории и методике обучения математике
1. Методика изучения вопросов дифференциального исчисления в школьном курсе математики.
2. Методика изучения вопросов интегрального исчисления в школьном курсе математики.
3. Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии.
4. Методика изучения геометрических преобразований ( осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, преобразования подобия).
5. Методика изучения длин, площадей и объёмов в школьном курсе математики.
6. Методика изучения неравенств в средней школе.
7. Методика изучения параллельных прямых и плоскостей в пространстве.
8. Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии.
9. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
10. Методика изучения темы «Векторы».
11. Методика изучения темы «Метод координат».
12. Методика изучения темы «Многогранники».
13. Методика изучения темы «Равенство фигур».
14. Методика изучения тождественных преобразований в средней школе (тождественные преобразования рациональных, целых, и иррациональных алгебраических выражений).
15. Методика изучения тригонометрических функций в курсе математики средней школы.
16. Методика изучения уравнений в средней школе.
17. Методика изучения числовых систем в школьном курсе математики.
18. Методика изучения элементов пределов в школьном курсе математики.
19. Методические аспекты изучения систематического курса геометрии.
20. Функциональная линия в школьном курсе математики (методика изучения).
Литература
1.Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред. шк. / , , и др.; Под. ред. . - М.: Просвещение, 1989.
2.Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / , , и др.; Под ред. . - М.: Просвещение, 1989.
3.Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / , , и др.; Под ред. . - М.: Просвещение, 1990.
4.Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. / , и др.; Под ред. . -М.: Просвещение, 1990.
5.Алгебра и начала анализа в 9-10 кл.: Пособие для учителей , , и др. - М.: Просвещение, 1982.
6. Из опыта подготовки к ЕГЭ// Математика в школе. -2005. - №3. - с.34-39.
7.Болотов интервью: «Родители, чьи дети успешно сдали ЕГЭ, вздохнули с облегчением» // Математика в школе. -2005. - №2. - с.21-25.
8., , Шварцбурд : Учеб. для 5 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1990.
9., , Таврткиладзе в школьном курсе математики и методика работы над ними // Математика в школе. -1984. - №4. - с. 43-47.
10., , Шварцбурд : Учеб. для 6 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1991.
11.Внеклассная работа по математике в 4-5 классах / Под ред. . - М.: Просвещение, 1974.
12.Воспитание учащихся при обучении математике: Кн. для учителя (Сост. ). - М.: Просвещение, 1987.
13.Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. школы / , , и др. - 3-е изд, - М.: Просвещение, 1992.
14.Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / , , и др. - М.: Просвещение, 1992.
.
Вопросы по дисциплине «Геометрия»
Раздел 1. Элементы векторной алгебры
1. Направленные отрезки. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
2.Линейная зависимость векторов. Координаты вектора относительно данного базиса.
3.Скалярное произведение 2-х векторов.
Раздел 2. Метод координат на плоскости
1. Аффинная система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
Расстояние между двумя точками.
2. Преобразование декартовой системы координат в полярную.. Полярные координаты. Взаимосвязь между полярными и декартовыми координатами.
3.Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Геометрический смысл коэффициента при текущих координатах в общем уравнении прямой.
Типовые задачи по геометрии
Раздел 1. Элементы векторной алгебры
1.Выяснить коллинеарны ли следующие пары векторов:
а) 
и 
;
б)
и 
2.Даны векторы 
; 
Определить коэффициенты разложения вектора 
по векторам 
и 
.
3.
и 
- единичные векторы, 
= 
. Найти скалярное произведение 
*
.
4.Даны векторы = 
; 
и 
. Найти проекцию вектора 
на ось вектора 
.
Раздел 2. Метод координат на плоскости
1.Даны смежные вершины А(1,-2) и В(3,2) параллелограмма АВСД и точка Р(1,1) пересечения его диагоналей. Составить уравнение сторон параллелограмма.
2.Точка Н (-2,5) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую l. Написать уравнение прямой l .
3.Треугольник АВС задан полярными координатами вершин А(5;
); В (8; 
); С(3; 
). Доказать, что данный треугольник равнобедренный.
4.В треугольнике АВС сторона СВ разделена точкой М в отношении 1:4, считая от точки А. Разложить вектор 
по векторам 
и 
.
ЛИТЕРАТУРА
К разделу «Геометрия»
1. , , Иваницкая , ч.1 М.:Просвещение, 1974
2. ,Базылев , ч.1-М.:Просвещение,1987.
3. Погорелов . -М.:Наука,1984.
4. Атанасян . - ч.1 М.:Просвещение,1973.
5. Атанасян задач по геометрии. ч.1 - М.:Просвещение,1973.
6. Базылев задач по геометрии. - М.:Просвещение, 1980.
7.Беклемищев аналитической геометрии и линейной алгебры. Учеб. для вузов.-10-е изд.-М.: Физматлит,2003
8. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.- М.: Физматлит, 2003.
9., Манин алгебра и геометрия. – С-ПБ.:Издательство «Лань» 2006.
Вопросы по дисциплине «Аналитическая геометрия и
линейная алгебра»
Раздел 1. Метод координат в пространстве. Векторное и смешанное произведение векторов.
1.Аффинная система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат. Условие компланарности 3-х векторов.
2. Векторное произведение и его свойства. Вычисление площади треугольника.
3. Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема тетраэдра.
Раздел 2. Плоскости и прямые в пространстве.
1.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл знака многочлена Ax+By+Cz+D.
2. Взаимное расположение 2-х плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
3.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
Раздел 3. Многочлены от одной переменной.
1.Простое трансцендентное расширение области целостности.
2. Теорема о делении с остатком. Деление многочлена на двучлен х-а и корни многочлена. Схема Горнера.
3. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное.
4. Разложение многочлена по степеням двучлена х-а. Кратные корни многочлена.
Раздел 4. Многочлены от нескольких переменных.
1. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах и следствие из нее.
2. Результант двух многочленов. Исключение переменной из системы двух уравнений с двумя переменными.
Раздел 5. Многочлены над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел.
1.Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Формулы Виета. 2.Решение уравнений третьей и четвертой степеней.
Раздел 6. Многочлены над полем рациональных чисел и алгебраические числа.
1.Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
2.Простое расширение поля. Алгебраические и трансцендентные числа. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Типовые задачи по аналитической геометрии и линейной алгебре
К разделу 1
1.На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух точек А(1, 2, 3) и В(-2, 1, 3).
2.Дан параллелепипед АВСDA’B’C’D’, построенный на векторах 
Найти объем параллелепипеда и площадь всех его граней.
3.Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(0;-1;1),С(2;5;2) и D(3;0;-2). Найти объем пирамиды.
4.Найти площадь треугольника, построенного на векторах 
и 
.
К разделу 2
1.Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1,1,2) и перпендикулярно плоскостям σ1:2х+3z=0, σ2:x-y+z-1=0.
2.Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(2,-3,3) и перпендикулярно к плоскости σ: х-3у+4z-1=0.
3.Выяснить взаимное расположение двух прямых в пространстве
и 
.
4.Показать, что плоскость σ:2х+7у+3z-12=0 и прямая d:
взаимноперпендикулярны.
К разделу 3
1.Найти НОД многочленов f(x)= 2x4 -x3 + 3x2 - 2x + 1 и g(x)= 3x3 + 2x2 - 2x + 3 и выразить его линейно.
2.Разложить многочлен f(x)= 3x5 + 3x4 - 12x3 + 9x2 - 8x + 2 по степеням двучлена (х + 4).
3.Найти значения полинома f(x) и его производных при x=x0:
f(x)=x5-4x3+6x2-8x+10, x0=2;
4.Чему равен показатель кратности корня x0 полинома f(x)=x5-5x4+7x3-2x2+4x-8, x0=2.
К разделу 4
1.Представить многочлен f(x1 ;x2 ;x3)=3x1+x2+x3)(3x2+x3+x1)(3x3+x2+x1) в виде элементарных симметрических многочленов.
2.Используя результант, решить систему уравнений
К разделу 5
1. Построить полиномы наименьшей степени с комплексными (действительными) коэффициентами по данным корням
а) двойной корень 1, простые 2, 3, 1+i
2. Решить уравнения по формулам Кардано
а) x³-6x-9=0 б) x³+3x²-9x+5=0
3. Используя метод Феррари решить уравнения четвёртой степени
а) x4-2x³+4x²-2x+3=0 б) x4+2x²-24x+72=0
К разделу 6
1. Найти целые корни многочлена f(x)=x6-15x4+8x³+51x²-72x+27
2. Определите рациональные корни многочлена f(x)=18x³-27x²-2x+3
3.Используя критерий Эйзенштейна определить приводимость многочлена над полем Q: f(x)=4x5-12x³+6x²-72-6
4. Доказать, что число 
является алгебраическим, и найти минимальный многочлен числа :
а) =1;
б) =i;
в) 
;
г) 
.
5.Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби 
.
ЛИТЕРАТУРА
Геометрия:
1. , , Иваницкая , ч.1
2. , Дуничев , ч.2 - М.:Просвещение,1975.
3. ,Базылев , ч.1-М.:Просвещение,1987.
4. ,Базылев , ч.2 - М.: Просвещение,1987.
5. Погорелов . -М.:Наука,1984.насян . - ч.1 М.:Просвещение,1973.
6. Атанасян . ч.2.-М.:Просвещение,1973.
7. Атанасян задач по геометрии. ч.1 - М.:Просвещение,1973.
8. , Атанасян задач по геометрии. ч.2.-М.:Просвещение,1973.
9. Базылев задач по геометрии. - М.:Просвещение, 1980.
10. Александров геометрия выпуклых поверхностей.
11. , Манин алгебра и геометрия.
12. Цубербиллер Задачи и упражнения по аналитической геометрии.32-е изд.,стер.-СПб.:Издательство «Лань»,2005.
13., ,Еремеев : Учебник для вузов.-СПб:Издательство «Лань»,2003.
Алгебра:
1.Беклемищев аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов.- 10-е изд. – М.:Физматлит,2003.
2. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.:Физматлит,2003.
3., Прокуратова многочленов. :Учеб.-метод. пособие для вузов.-ЕГУ,2005.
4., Манин алгебра и геометрия. – СПб.:Издательство «Лань»,2006.
5.Куликов и теория чисел. М., Высшая школа, 1979.
6.Курош высшей алгебры. – СПб. :Издательство «Лань», 2006.
7.Фаддеев по алгебре. Учебное пособие для вузов -4-еизд., СПб: Лань,2005.
8., Соминский задач по высшей алгебре. – СПб.:Издательство «Лань», 2005.
Вопросы по дисциплине «Алгебра»
РАЗДЕЛ 1 Алгебры
1.Основные алгебраические структуры. Алгебры, группы, кольца и их простейшие свойства.
РАЗДЕЛ 2 Система действительных чисел и поле комплексных чисел.
1.Поле, его простейшие свойства. Примеры полей. Поле рациональных чисел.
2.Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.
РАЗДЕЛ 3 Системы линейных уравнений
1.Системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Понятие общего решения системы линейных уравнений.
2.Неоднородная система линейных уравнений; линейное многообразие решений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных
3. Пространство решений системы однородных уравнений.
РАЗДЕЛ 4 Матрицы и определители.
1.Операции над матрицами, их свойства. Обратимые матрицы. Условия обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы.
2.Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.
3.Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме. Правило Крамера.
РАЗДЕЛ 5 Векторные пространства.
1.Понятие векторного пространства, арифметическое векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность векторного пространства.
2.Векторное пространство со скалярным умножением. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации.
3.Евклидовы пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис евклидова пространства.
РАЗДЕЛ 6 Линейные отображения
1.Линейные отображения векторных пространств; примеры. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного оператора.
2.Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение. Линейные операторы с простым спектром.
Типовые задачи по алгебре
К разделу 1
1) Доказать, что множество натуральных чисел относительно обычного сложения не является группой.
2) Доказать, что множество целых чисел, кратных четырём, образует группу относительно обычного сложения чисел.
К разделу 2
1.Решить уравнение x4 + 81 = 0.
2. Изобразить на комплексной плоскости множество |z-2+i|<4 , i2=-1, zÎC.
3.Вычислить (1-i)23, где i2=-1 .
К разделу 3
1. Решите систему методом последовательного исключения переменных
2.Решите однородную систему линейных равнений
К разделу 4
1.Используя формулы Крамера, найти решение системы
.
2. Вычислите определитель
3.Найдите матрицу, обратную матрице А=
.
К разделу 5
1.Исследовать на линейную зависимость систему векторов: (2; 2; -2; 3);
(3; -2; -3; 2); (-3; -2; -3; -3) .
2.Исследуйте на ортогональность векторы (2,1,-4,2) и (4,8,2,-4), заданные своими координатами в некотором ортонормированном базисе пространства R4 . Пронормируйте эти векторы.
К разделу 6.
1. Найдите собственный вектор матрицы 
, соответствующий собственному значению λ=2.
2.Выясните, будет ли отображение φ линейного вещественного пространства в себя линейным, если φ
.
Литература
1. Воеводин линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ.
2. , Вл. В. Воеводин – СПб.: БХВ – Петербург, 2006.
3. Курош по общей алгебре: Учебник. – СПб.: Издательство «Лань», 2005.
4. Курош высшей алгебры. М. Наука, 1975
5. Беклемищев аналитической геометрии и линейной алгебры:Учеб. для вузов. – 10-е изд., испр. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003.
6. , , Чубаров задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие /Под. ред. . 2-е изд., перераб. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003.
7. Фаддеев по алгебре: Учеб. пособие. 4-еизд.,стер. – СПб.:Издательство «Лань», 2005.
8. Фаддеев Д. К., Соминский по высшей алгебре: Учеб. пособие. 15е.,стер. – СПб.:Издательство «Лань», 2005.
9. Кострикин алгебра [Текст]:Учебник для вузов-М.:Физико-математическая литература, 2000.
10. Кострикин структуры алгебры [Текст]: Учебник для вузов.-М. : Физико-математическая литература, 2001.
11. Куликов и теория чисел. М., Высшая школа, 1979.
12. Постников алгебра. М. 1986.
