Математика (стр. 2 )

Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)

3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

2.2. Содержание учебной дисциплины (дидактические единицы)

ДЕ 1

Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Тема 1.1-1.2. Элементы линейной алгебры.

Аудиторное изучение.Матрицы. Действия над матрицами. Определители второго, третьего, n – порядка. Свойства определителей Обратная матрица, элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений, основные понятия. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

Самостоятельное изучение.Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Требования к знаниям. Студент должен знать: определители n – порядка, свойства определителей, матрицы, операции над матрицами, обратную матрицу, ранг матрицы, формулы Крамера, метод Гаусса.

Требования к умениям. Студент должен уметь: вычислять определители n – порядка (при n = 2,3,4), разлагать определитель по элементам любой строки и любого столбца, находить ранг матрицы, обратную матрицу, производить операции над матрицами, решать системы уравнений матричным методом, по формулам Крамера и методом Гаусса.

Тема 1.3.Прямая на плоскости.

Аудиторное изучение: Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, в канонической и параметрической формах, уравнение прямой, проходящей через точку и вектор нормали, через две точки.

Самостоятельное изучение: Угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Требования к знаниям: Студент должен знатьуравнения прямой на плоскости.

Требования к умениям: Студент должен уметь: составлять уравнения прямых, находить углы между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Тема 1.4.Уравнение второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Аудиторное изучение: Уравнение второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Самостоятельное изучение: Вывод уравнения гиперболы.

Требования к знаниям: Студент должен знать: определения и уравнения кривых второго порядка (окружность, парабола, эллипс, гипербола).

Требования к умениям: Студент должен уметь:составлять уравнения кривых второго порядка.

Тема 1.5.Плоскость и прямая в пространстве.

Аудиторное изучение: Уравнение прямой и плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве: в канонической и параметрической формах. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между прямыми.

Самостоятельное изучение: Угол между прямыми.

Требования к знаниям: Студент должен знать уравнение прямой и плоскости в пространстве.

Требования к умениям: Студент должен уметь составлять уравнения прямых, плоскостей в пространстве, находить углы между прямыми, расстояние от точки до прямой, плоскости в пространстве.

ДЕ 2

Раздел 2. Элементы математического анализа

Тема 2.1. Теория множеств. Множество комплексных чисел.

Содержание учебного материала (дидактические единицы):

Аудиторное изучение:

Понятие множества. Способы заданиямножеств. Примеры. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Свойства операций над множествами. Комплексные числа.

Самостоятельное изучение:

Счетные и несчетные множества. Решение задач на определение количества элементов множества.Мощность множества.

Тема 2.2.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Аудиторное изучение: Числовая последовательность. Предел числовой последовательности и некоторые его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел суммы, произведения, частного. Признак сходимости монотонной последовательности.

Самостоятельное изучение: Число е. Признак сходимости монотонной последовательности.

Тема 2.3. Функция. Предел функции.

Аудиторное изучение: Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса.

Самостоятельное изучение: Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Больцано - Коши и Вейерштрасса.

ДЕ 3

Раздел 3 Элементы дифференциального исчисления

Тема 3.1. Производная

Аудиторное изучение. Производная функции. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование функции заданной неявно. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.

Самостоятельное изучение. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Тема 3.2. Исследование функции с помощью производной

Аудиторное изучение. Правило Лопиталя. Исследование функции с помощью первой и второй производной на монотонность, экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функции.

Самостоятельное изучение.Исследование функций и построение графиков

ДЕ 4

Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной действительной переменной. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла.

Содержание учебного материала (дидактические единицы).

Тема 3.1.Неопределенный интеграл.

Аудиторное изучение.Неопределенный интеграл. Свойства. Таблица интегралов.. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Замена переменной и формула интегрирования по частям. Геометрические приложения интеграла.

Самостоятельное изучение. Приложения определенного интеграла в механике, физике.

Тема 3.2. Методы интегрирования

Аудиторное изучение. Метод непосредственного интегрирования. Методы интегрирования: метод подстановки, интегрирование по частям

Самостоятельное изучение.Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Замена переменной и формула интегрирования по частям. Геометрические приложения интеграла.

ДЕ 5

Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистикиТема 5.1. Теория вероятностей как наука. Случайное событие. Классическое определение вероятности

Содержание учебного материала (дидактические единицы):

Аудиторное изучение:

Предмет теории вероятностей. Определение случайного события, примеры. Исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей. Классификация событий: достоверные, невозможные и случайные. Виды случайных событий: совместные, несовместные, равновозможные, единственно возможные, образующиеполную группу, противоположные. Понятие вероятности. Субъективное определение вероятности. Классическое определение вероятности, свойства вероятности (вероятность достоверного события, вероятностьневозможного события, вероятность случайного события). Ограниченностьклассического определения. Статистическая вероятность. Геометрическиевероятности. Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей.

Самостоятельное изучение:

Статистическая вероятность. Геометрическиевероятности. Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей

Тема 5.2Основные теоремы теории вероятностей. Повторные событияСодержание учебного материала (дидактические единицы):

Аудиторное изучение.

Определение суммы и произведения событий, их иллюстрация с помощью диаграмм Венна. Теорема сложениявероятностей несовместных событий, примеры ее применения. Теоремао сумме вероятностей событий, образующих полную группу, примерыее применения. Теорема о сумме вероятностей противоположных событий, примеры ее применения. Условная и безусловная вероятности. Зависимыеи независимые события, события независимые в совокупности. Теоремыумножения вероятностей, примеры их применения. Теорема сложениявероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Определение гипотезы.

Самостоятельное изучение:

Формулы Байеса. Их применение к решению практических задач.

Тема 5.3..Случайные величины. Законы распределения случайных величин.

Аудиторное изучение:

Понятие случайной величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретнойслучайной величины. Понятие числовых характеристик. Определениематематического ожидания дискретной случайной величины. Определениедисперсии дискретной случайной величины. Определение среднегоквадратического отклонения. Определение функции распределения вероятностей. Нахождение функции распределения вероятностей дискретнойслучайной величины по известному закону распределения. Нахождениезакона распределения дискретной случайной величины по известнойфункции распределения. Определение непрерывной случайной величины. Определение плотности распределение вероятностей. известной функции распределения. Нахождение вероятности того, что случайная величинапримет значение из некоторого интервала. Нахождение математическогоожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.Законы распределения дискретной случайной величины (биномиальныйзакон, закон распределения Пуассона). Законы распределениянепрерывной случайной величины (равномерный и нормальный законы).

Самостоятельное изучение:

Определение непрерывной случайной величины. Определение плотности распределение вероятностей. известной функции распределения. Нахождение вероятности того, что случайная величинапримет значение из некоторого интервала. Нахождение математическогоожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения

Тема 5.4. Предмет и основные задачи математической статистики. Выборочный метод.Вариационные ряды и их характеристики.

Аудиторное изучение:

Математическая статистика как наука, ее основные задачи. Генеральная и выборочная совокупности. Общиесведения о выборочном методе (сущность выборочного метода,репрезентативная выборка, виды выборок, важнейшая задача выборочногометода). Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.Основные характеристики статистического распределения (выборочноесреднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение).

Самостоятельное изучение:

Основные характеристики статистического распределения (выборочноесреднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое

отклонение).

3. Материалы к промежуточному и итоговому контролю.

Контрольная работа. Тема «Матрицы и определители. Системы линейных уравнений».

Найти значение матричного многочлена :

, А=.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.

Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

Контрольная работа. Тема «Предел и непрерывность функции одной переменной».

Найти пределы:

5. Для данной функции f(x) требуется:

а) найти точки разрыва;

б) найти скачок функции в каждой точке разрыва;

в) сделать чертеж.

f(x)=

Контрольная работа. Тема «Дифференцирование функции одной переменной».

1. Найти производные функций:

а) б) в) .

2. Найти пределы используя правило Лопиталя::

а) б)

3. Исследовать и построить график функции:

Домашняя контрольная работа. Тема «Интегрирование функции одной переменной».

1.Найти интегралы:

а) б)

2. Вычислить определенный интеграл

a) б)

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, , ,;

Вопросы к экзамену.

1. Матрицы, действия над матрицами.

2. Определители, свойства определителей.

3. Обратная матрица, свойства обратной матрицы.

4. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

5. Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Матричный метод.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Теорема Кронекера – Капелли.

7. Линейная однородная система уравнений. Фундаментальная система уравнений.

8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

9. Предел функции по Коши.

10. Односторонние пределы.

11. Предел функции при.

12. Свойства пределов функции.

13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

14. Замечательные пределы.

15. Непрерывность функции в точке.

16. Точки разрыва, их классификация.

17. Свойства непрерывных функций на отрезке.

18. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали.

19. Производная суммы, произведения и частного функции.

20. Производные элементарных функций.

21. Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование.

22. Дифференциал функции.

23. Производные и дифференциалы высших порядков.

24. Правило Лопиталя.

25. Исследование функции на возрастание и убывание, точки экстремума.

26. Исследование функции на выпуклость - вогнутость, точки перегиба.

27. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенный интегралов.

28. Основные методы интегрирования: метод замены переменной, по частям.

29. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

30. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

31. Формула Ньютона – Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

32. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

5. Методические рекомендации по освоению учебного материала.

– регулярно прорабатывать теоретический материал, заучивать определения, формулировки теорем;

– разбирать теоретические задачи, предлагаемые на лекциях и на семинарских занятиях;

– повторять ранее изученный теоретический материал, который используется при решении упражнений и задач;

– регулярно выполнять домашние задания;

– при решении задач с прикладным содержанием повторять теоретический материал специальной дисциплины (экономическая теория, финансы и кредит и т. д.);

– использовать дополнительный материал.

Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:

Учиться преодолевать самый высокий уровень непонимания материала («непонятно, что непонятно»).

При разборе примеров в аудитории или при выполнении домашних заданий целесообразно каждый шаг обосновывать теми или иными теоретическими положениями.

При изучении теоретического материала не задерживать внимания на трудных и непонятных местах, смело их пропускать и двигаться дальше, а затем возвращаться к тому, что было пропущено (часто последующее проясняет предыдущее).

При чтении учебников и лекционных материалов активно отмечать карандашом непонятные места. Карандаш легко стирается, когда вопрос можно снять.

С первых студенческих дней конструировать собственный стиль понимания сути изучаемого материала. Математические дисциплины в этой ситуации являются наиболее успешным полигоном.

Самостоятельно изучать материал по дополнительным источникам, подбирать необходимые источники, заниматься поиском необходимой информации через Интернет.

5. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация программы дисциплины требует наличия учебного кабинета математики

Оборудование учебного кабинета: посадочные места по количеству обучающихся;рабочее место преподавателя.

Технические средства обучения: видеопроектор; компьютеры; программное обеспечение общего и специального назначения:

доступ к информационно-поисковой системе «Консультант плюс».

5.2.Информационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основная литература

1. Богомолов, Н. В. Практические задания по математике : Учебное пособие / . - 9-е изд., перераб. и доп.- М.: Высшая школа, 2c. 

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах В 2ч. : Ч.2: Учебное пособие для вузов / . - 6-е изд.- М.:: ООО "Издательство Оникс", 2c.

3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : В 2ч. ч.1 / . - испр.- М: Оникс; Мир и Образование, 2c.

Дополнительная литература

4. Высшая математика для экономистов: практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [и др.]; под ред. проф. . - 2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2c

5. Глейзер, Г. И. История математики в школе : IX-Xкл. Пособие для учителей / . - М.: Просвещение, 1c.

6. Интегральное исчисление функции одной и двух переменных: Учебно-методическое пособие / Авт. сост. . - Рубцовск: АлтГУ, 2c. 

7. Игошин, В. И.Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов : Учебное пособие / . - М.: Изд. центр "Академия", 2c. 

8. Колмогоров, А. Н. Математика в ее историческом развитии / . - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1c.