ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ
«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА »
Занятие 1
Примеры решения задач
Задача 1. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол 
,
,
- середина сторон ВС и АС. Выразить векторы 
через 
- единичные векторы направлений 
.
В М С
N
O A
Решение. 
. Так как 
. Найдем
вектор 
. Из треугольника ОСА 
, а так как 
, а
, вектор 
. Найдем 
из треуголь-
ника ONC 
, а так как 
, 
, 
.
Из треугольника OMN 
.
Задача 2. Даны векторы 
и 
, приложены к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между 
.
Решение. Диагональ четырехугольника совпадает с биссектрисой, если этот четырехугольник – ромб (квадрат). Найдя 
, получим угол с одинаковыми по длине сторонами, равными единице. Таким образом, вектор 
направлен по биссектрисе угла между .
, 
,
.
Найдем длину вектора 
, тогда орт биссектрисы равен 
.
Задача 3. Разложить вектор 
по трем некомпланарным векторам: 
.
Решение. 
. 
.
Приравняем коэффициенты справа и слева:
тогда 
и 
.
Задача 4. Даны точки 
Разложить вектор 
по ортам 
и найти его длину, направляющие косинусы, орт вектора 
.
Если известны координаты точек 
и 
, то координаты вектора 
Разложение этого вектора по ортам 
: 
Длина вектора находится по формуле 
а направляющие косинусы равны 
Орт вектора 
Найдем координаты векторов:
и 
Вектор 
Занятие 2
Скалярное произведение векторов
Примеры решения задач
Задача 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, где 
таковы, что 
.
Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы 
и 
. Вычислим длину вектора : 
.
Аналогично вычисляется длина вектора 
.
Задача 2. Найдите вектор 
, коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
.
Решение. Обозначим вектор 
, тогда из условий задачи
или 
,
тогда 
. Итак: 
.
Задача 3. Даны вершины треугольника 
Найти угол при вершине А и проекцию вектора 
на сторону АС. С
Внутренний угол при вершине А образован векторами 
,
А В
Тогда 
Проекция на направление вектора : 
.
Задача 4. На материальную точку действуют силы 
. Найти работу равнодействующей этих сил 
при перемещении точки из положения 
в положение 
.
Решение. Найдем силу и вектор перемещения 
. 
, тогда искомая работа 
.
Занятие 3
Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов
Примеры решения задач
Задача 1. Найти координаты векторного произведения 
, если 
, 
.
Решение. Найдем 
и 
. Векторное произведение, по определению, равно 
.
Задача 2. Силы 
и 
приложены к точке 
. Вычислить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки 
.
Решение. Найдем силу и плечо : 
. Момент
сил 
вычисляется по формуле
, а его модуль 
.
Задача 3. Даны вершины треугольника 
Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.
. Находим векторы 
Векторное произведение 
Так как 
где 
длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, 
. 
Задача 4. Даны координаты вершин параллелепипеда: 
. Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.
Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:
.
Объем этого параллелепипеда 
.
С другой стороны, объем параллелепипеда 
, 
- это площадь параллелограмма: 
.
, тогда высота 
.
Угол между вектором и гранью 
найдем по формуле
.
так как вектор 
перпендикулярен грани, в которой лежат векторы 
. Угол между этим вектором и вектором 
находим по известной формуле
. Очевидно, что искомый угол 
.
Итак: 
.
Задача 5. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки 
, 
. Найти линейную зависимость вектора 
, если это возможно.
Решение. Найдем три вектора: 
.
.
Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: 
. Следовательно, эти три вектора линей-
но зависимы. Найдем линейную зависимость от 
.
.
Решая эту систему, получим 
, т. е. 
.
Задача 6. При каком ненулевом значении t вектор 
будет еди-
ничным, если 
Вектор будет единичным, если его длина будет равна единице, т. е. 
.
Задача 7. Даны координаты вершин пирамиды 
; 
.
1. Найти длину вектора .
2. Найти угол между векторами 
.
3. Найти проекцию вектора на вектор 
.
4. Найти площадь грани АВС.
5. Найти объем пирамиды ABCD.
Координаты векторов: 
1. Длина вектора 
2. 
|
|
3. Проекция вектора на вектор 
4. 
5. 
 |
