Учебно-методический комплекс учебной дисциплины Математика (линейная алгебра)

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

Институт математики и информатики

Математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

учебной дисциплины

МАТЕМАТИКА (ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА)

050100 ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Квалификация (степень) выпускника – БАКАЛАВР

Профиль подготовки «ИНФОРМАТИКА»

Форма обучения ОЧНО-ЗАОЧНАЯ

Москва

2011

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО, утвержденным приказом Минобрнауки России от 01.01.01 г. № 000с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Информатика»

Автор: кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания ИМИ ГОУ ВПО МГПУ

Рецензенты:

_______________________________

_______________________________

Программа одобрена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания ИМИ ГОУ ВПО МГПУ 28 июня 2011 года, протокол

Заведующий кафедрой

алгебры, геометрии и методики их преподавания

доктор педагогических наук,

профессор

Учебно-методический комплекс дисциплины предназначен для преподавания курса «Математика (линейная алгебра)» вариативной части профессионального цикла студентам, обучающимся по направлению подготовки «Педагогическое образование» профиль «Информатика».

Учебно-методический комплекс составлен с учетом Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки «Педагогическое образование» профиль «Информатика», утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации.

ЧАСТЬ I. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель курса «Математика (линейная алгебра)» состоит в освоении теоретических положений и математического аппарата основных разделов линейной алгебры, имеющих приложения при решении прикладных задач, встречающихся при анализе больших массивов информации в информатике, экономике, социологии, техническом мониторинге и других исследованиях.

Задачи курса:

* дать современное базовое теоретическое обоснование обязательных разделов курса линейной алгебры, необходимых для формирования компетенций обучаемого;

* сформировать навыки активного применения теоретических знаний к практическим приложениям, в особенности, к решению задач прикладного характера;

* ознакомить с основными концепциями и направлениями развития линейной алгебры с целью последующей успешной адаптации к возможным изменениям формы и содержания действующих стандартов образования.

* сформировать уровень математической культуры, достаточный для осознанной ориентации в многообразии учебной литературы по школьному и вузовскому курсу геометрии;

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО

Дисциплина «Математика (линейная алгебра)» относится к вариативной части профессионального цикла математических и естественнонаучных дисциплин.

Освоение дисциплины «Математика (линейная алгебра)» опирается на пройденные разделы школьного курса математики и является необходимой основой для последующего изучения дисциплин вариативной части профессионального цикла.

3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению. В результате обучения по дисциплине «Математика (линейная алгебра)» студент

а) в области общекультурные компетенции:

- готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);

- готов к толерантному восприятию социальных и культурных различий, уважительному и бережному отношению к историческому наследию и культурным традициям (ОК-14);

б) в области профессиональные компетенции:

- владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);

- способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания (ОПК-6);

- способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания (ОПК-5);

в) в области компетенции педагогической деятельности:

- способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);

- применяет современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);

- способен использовать возможности образовательной среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-5);

г) в области компетенции культурно-просветительской деятельности:

- разрабатывает и реализовывает культурно-просветительские программы для различных категорий населения, в том числе с использованием современных информационно-коммуникационных технологий (ПК - 8);

д) в области компетенции научно-исследовательской деятельности:

- способен разрабатывать современные педагогические технологии с учетом особенностей образовательного процесса, задач воспитания и развития личности (ПК-12);

е) в области специальные компетенции:

- владеет основными положениями базовых разделов математической науки, идеями и методами математики, системой основных математических структур (СК-1);

- владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания (СК-2);

- способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики (СК-3);

- владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4);

- владеет основными положениями истории развития математики, эволюции математических идей и концепциями современной математической науки (СК-7).

В результате изучения дисциплины студент должен знать: Основные понятия и методы решения систем линейных уравнений. Понятие линейной независимости системы векторов, базиса системы векторов. Алгебраические операции с матрицами, ранг матрицы, понятия обратимой и обратной матриц. Подстановки и их знаки. Определители, их свойства. Векторные пространства; базис и размерность; подпространства; сумма и пересечение подпространств; прямые суммы. Билинейные и квадратичные формы; приведение квадратичной формы к нормальному виду; положительно определенные квадратичные формы. Евклидовы векторные пространства, ортонормированные базисы; процесс ортогонализации. Линейные операторы; собственные векторы и собственные значения

В результате изучения дисциплины студент должен уметь: решать системы линейных уравнений методом Гаусса; находить сумму и произведение матриц, ранг матрицы; обратную матицу; вычислять определитель, пользуясь определением, приводя матрицу к диагональному виду, раскладывая его по строке (столбцу); решать системы линейных уравнений по формулам Крамера; устанавливать линейную зависимость или независимость систем векторов; находить базис и размерность векторных пространств и их подпространств, координаты векторов; строить ортонормированный базис евклидовых векторных пространств; применять векторную алгебру к решению задач.

В результате изучения дисциплины студент должен иметь представление: о неравенствах, связанных со свойствами скалярного произведения (Коши – Буняковского и др.), о законе инерции квадратичных форм; об ортогональных и унитарных матрицах; о линейном операторе, сопряженном к данному; о симметрических линейных операторах и их спектре; о жордановой нормальной форме.

В результате изучения дисциплины студент должен владеть: способами ориентации в профессиональных источниках информации (журналы, сайты, образовательные порталы и т. д.); способами взаимодействия с другими субъектами образовательного процесса; различными средствами коммуникации в профессиональной педагогической деятельности; способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем использования возможностей информационной среды образовательного учреждения, региона, области, страны.

4. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Виды учебной работы	В часах (зач. ед.)
Общая трудоемкость дисциплины	зач. ед.)
Самостоятельная работа	72
Лекции	18
Практические занятия	18
Контроль за самостоятельной работой (КСР)	43
Экзамен	36

5. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

МАТЕМАТИКА (ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА)

Распределение тематических разделов курса математика (линейная алгебра) по семестрам

№ п/п	Наименование разделов	№ семестра	Форма промежуточного контроля	Форма итогового контроля
1.	Математика (линейная алгебра)	3		Экзамен

Содержание разделов курса

Модуль 1. Элементы теории множеств.

Множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Отношения.

Модуль 2. Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.

Модуль 3. Арифметические векторы

Арифметическое n-мерное векторное пространство . Линейная зависимость. Теоремы о линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов. Матрица, ее строчный и столбцовый ранги. Совпадение строчного и столбцового рангов. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальный набор решений.

Модуль 4. Матрицы и определители

Операции над матрицами. Свойства умножения матриц. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы для невырожденной матрицы. Подстановки. Четные и нечетные подстановки. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей n-го порядка. Условие невырожденности квадратной матрицы. Теорема об определителе произведения. Условие существования ненулевого решения однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Модуль 5. Векторные пространства

Система аксиом векторного пространства. Подпространство. Базис векторного пространства. Координаты векторов. Изоморфизм векторных пространств. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма. Линейные многообразия. Евклидовы пространства.

Модуль 6. Линейные операторы

Линейные отображения. Представление линейных операторов матрицами. Собственные векторы и собственные значения. Характеристические уравнения.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а) Основная литература

1. и др. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. М.: ЮНИТА-ДАНА, 2007.

2. . Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1968.

3. . Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.

4. , , . Сборник задач по алгебре и теории чисел. — М.: Просвещение, 1993.

5. , . Задачник-практикум по курсу высшей алгебры. — М.: Просвещение, 1965.

6. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. — М.: Рольф, 2001.

7. Клименко математика для экономистов: теория, примеры, задачи. — М.: Изд-во «Экзамен», 2005.

8. Шевцов алгебра: теория и прикладные аспекты: учебное пособие. М.: Магистр, ИНФРА-М, 2010.

б) Дополнительная литература

1. , , Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для студентов I-IV курсов заочных отделений физико-математических факультетов педвузов. М.: МГОПИ, «Альфа», 1994 г., - 223 с.

2. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов. – М.: Высшая школа, 1979 г. – 559 с.

3. Ван дер Варден / Б. Л. ван дер Варден. – М.: Лань, 2004. – 624 с.

4. Алгебра / С. Ленг. – М.: Мир, 1968. – 564 с.

5. Мальцев системы / . – М.: Наука, 1970. – 392 с.

6. Шнеперман задач по алгебре и теории чисел. Лань, 2008. – 224 с.

7. , Соминский по высшей алгебре. Изд. 13.-СПб.: Изд-во "Лань", 2001.-288 с.

8. , , Ушаков (программа курса): первая часть учебно-методического комплекса для преподавателей и студентов Московского городского педагогического университета, обучающихся по специальности «математика». – М.: МГПУ, 2011 – 12 с.

в) Программное обеспечение

Системное прикладное программное обеспечение (операционные системы, антивирусы);

1. Прикладное программное обеспечение общего назначения (текстовые процессоры, электронные таблицы, браузеры);

2. Прикладное программное обеспечение специального назначения (Живая математика, Cabri 3D, GeoGebra).

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Для проведения лекционных занятий требуется аудитория на курс, оборудованная меловой или интерактивной доской, мультимедийным проектором и экраном.

Для обеспечения практических занятий по данному курсу необходимы специальным образом оборудованные аудитории и/или компьютерные классы; персональные компьютеры; технические и аудиовизуальные средства обучения.

ЧАСТЬ II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И План ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ План

ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

№	Тема	Общая трудоемкость	Самостоятельная работа	Всего аудиторных часов	Лекции	Практические занятия	Контроль самостоятельной работы
1.	Модуль 1. Элементы теории множеств.			4	2	2	3
2.	Модуль 2. Системы линейных уравнений			8	4	4	10
3.	Модуль 3. Арифметические векторы			6	3	3	8
4.	Модуль 4. Матрицы и определители			8	4	4	8
5.	Модуль 5. Векторные пространства			6	3	3	8
6.	Модуль 6. Линейные операторы			4	2	2	6
7.	Итого за семестр (часов)	144 (4 зач. ед.)	72	36	18	18	43

1.1. ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ

Модуль 1. Элементы теории множеств.

Лекция 1. Вводная лекция. Элементы теории множеств.

Модуль 2. Системы линейных уравнений

Лекция 2 Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

Литература [1] § 2.1-2.

Лекция 3. Метод Гаусса. Система m линейных уравнений с n переменными. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Литература [1] § 2.3-5.Модуль 3. Арифметические векторы

Лекция 4-5.1. Векторы на плоскости и в пространстве. n-й вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.

Литература [1] § 3.1-3.

Модуль 4. Матрицы и определители

Лекция 5.2-7.1. Матрицы. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами. Перестановки и подстановки. Четные и нечетные подстановки. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Определитель произведения матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Литература. [1] § 1.1-6.

Модуль 5. Векторные пространства

Лекция 7.2-8. Переход к новому базису. Подпространства и фактор-пространства. Теорема о гомоморфизме для векторных пространств. Евклидово пространство.

Литература. [1] § 3.4-5. [2] § 32

Модуль 6. Линейные операторы

Лекция 9. Линейные отображения. Примеры. Матрица линейного отображения. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация. Показательная форма

Литература. [2] § 31, [1] § 3.6-8, дополнительные главы

1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Модуль 1. Элементы теории множеств.

Занятие 1. Вводное занятие. Основные понятия из математической логики и теории множеств.

Литература [2, 3].

Модуль 2. Системы линейных уравнений

Занятие 2-3. Система n линейных уравнений с n переменными. Система m линейных уравнений с n переменными. Метод Жордана-Гаусса. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

В аудитории [6] № 2.1-5, 2.35-36, № 2.49,2.54

Самостоятельно [6] № 2.6-32, 2.37-48 , № 2.50-53,2.55-60

Модуль 3. Арифметические векторы

Занятие 4-5.1. Векторы на плоскости и в пространстве. n-й вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.

Евклидово пространство.
В аудитории [6] № 3.1-5,3.23-29
Самостоятельно [6] № 3.6-22, 3.30-53

Модуль 4. Матрицы и определители

Занятие 5.2-7.1. Матрицы. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
В аудитории [6] № 1.1-5, № 1.24-28, №1.51-53
Самостоятельно [6] № 1 .6-2, № 1.29-50, № 1.54-65

Модуль 5. Векторные пространства

Занятие 7.2-8. Понятие векторного пространства, примеры. Переход к новому базису. Подпространства и фактор-пространства. Теорема о гомоморфизме для векторных пространств.

В аудитории [6] № 1.70-73
Самостоятельно [6] № 1.74-79

Модуль 6. Линейные операторы

Занятие 9. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Квадратичные формы.
В аудитории [6] № 3.54-57 , № 3.71-73
Самостоятельно [6] № 3.58-70, № 3.74-121

2. СИСТЕМА МЕЖСЕССИОННОЙ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИЙ

2.1. ТЕМЫ ДОКЛАДОВ И/ИЛИ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

1. Исторический обзор развития линейной алгебры.

2. Перспективы использования систем компьютерной алгебры в решении задач линейной алгебры.

3. Вычислительные методы линейной алгебры.

4. Алгоритмы линейной алгебры.

5. Решение систем линейных уравнений на компьютере.

6. Приложения линейной алгебры.

7. Приложения матриц в дискретной математике.

2.2. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

1. Аудиторная контрольная работа по материалам занятий 1-8.

2. Аудиторная контрольная работа по материалам занятий 9-18.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Определение СЛУ и ее решения. Совместные и несовместные СЛУ. Равносильные преобразования СЛУ.
2. Метод Гаусса решения СЛУ.
3. Арифметическое n-мерное пространство . Линейные операции над n-векторами и их свойства.
4. Линейная независимость СВ.
5. Базис СВ.
6. Векторные подпространства . Линейная оболочка СВ.
7. Ранг матрицы.
8. Теорема Кронекера-Капелли.
9. Критерий определенности СЛУ.
10. Фундаментальная система решений однородной СЛУ. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной СЛУ.
11 Сложение и умножение матрицы на число, и их свойства.
12. Умножение матриц. Ассоциативность умножения матриц.
13. Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения.
14. Невырожденные и обратимые матрицы.
15. Вычисление обратной матрицы.
16. Перестановки и подстановки.
17. Четные и нечетные подстановки.
18. Определение определителя n-го порядка.
19. Свойства определителей.
20. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке.
21. Крамеровы СЛУ. Теорема Крамера.
22. Определение векторного пространства. Примеры.
23. Базис векторного пространства.
24. Линейные отображения. Примеры.
25. Матрица линейного отображения.
26. Линейные операторы. Примеры.
27. Критерий обратимости линейного оператора.
28. Подпространства и фактор-пространства.
29. Теорема о гомоморфизме для векторных пространств.
30. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
31. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора.
32. Линейные операторы с простым спектром.
33. Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм.
34. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма комплексная числа. Геометрическая интерпретация.

Вопросы для консультаций и КСР:
1. Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.
2. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
3. Решение контрольных заданий и тестов.
4. Решение задач с экономическим содержанием.

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и информатики

Математический факультет

Наименование дисциплины / курса	Уровень образования	Статус дисциплины в рабочем учебном плане	Количество зачетных единиц	Форма отчетности	Курс, семестр
Математика (линейная алгебра)	бакалавриат	Б3 вариативная часть	4	экзамен	2 курс, 3 семестр

Смежные дисциплины по учебному плану:
ВВОДНЫЙ МОДУЛЬ (проверка «остаточных» знаний по смежным дисциплинам)
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудиторная или внеаудиторная	Минималь-ное количество баллов	Максимальное количество баллов
Итого:

БАЗОВЫЙ МОДУЛЬ (проверка знаний и умений по дисциплине)
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудитор-ная или внеауди-торная	Минималь-ное коли-чество баллов	Максима-льное количест-во баллов
Посещение лекционных занятий–дисциплинированность, культура поведения	Посещаемость (на каждом занятии 1 балл)	Аудитор-ная	5	9
Ведение записей лекций – академическая компетенция	Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно)	Аудитор-ная	-	5
Выполнение самостоятельных работ– академическая компетенция	Письменная работа	Внеауди-торная	5	15
Посещение практических занятий–дисциплинированность, культура поведения	Посещаемость (на каждом занятии 2 балла)	Аудитор-ная	5	18
Активная работа на лабораторных занятиях – академическая и коммуникативная компетенция	Выступления, дополнения, вопросы	Аудитор-ная	-	5
Итого:	15	52
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудитор-ная или внеауди-торная	Минималь-ное коли-чество баллов	Макси-мальное количест-во баллов
Защита выполненной индивидуальной работы по темам раздела	Устные ответы на вопросы минимально 2 балла за работу, максимально 4 баллов за работу	Аудитор-ная	5	20
Коллоквиум	Выполнение задания и устный ответ	Аудитор-ная	10	14
Экзамен	Выполнение задания и устный ответ	Аудитор-ная	10	14
Итого:	25	48
Итого максимум:	40	100

Примечания.

Работа, выполненная менее чем на 30%, считается неудовлетворительной и оценивается в 0 баллов.

Студент обязан выполнять задания дополнительного модуля.

Необходимый минимум для допуска к промежуточной аттестации 40 баллов.

Дополнительные требования для студентов, отсутствующих на занятиях по уважительной причине: устное или письменное собеседование по тематике пропущенных занятий, выполнение заданий практических занятий, выполнение контрольных и письменных работ.

Форма промежуточной аттестации: экзамен.

ФИО преподавателя:

Утверждено на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания 28 июня 2011 года.

Протокол № 11.

Заведующий кафедрой: