Курсовая работа по дисциплине «Прикладная математика» (стр. 5 )

Zmax = 93 тыс. рублей

X4* = X4(700) = 200 тыс. рублей

X3*+X2*+X1*=700–200=500 тыс. рублей

В табл.5.

Х3* = X3(700- X4*) = X3(500) =100 тыс. рублей

Х2*= X2(700- X4*- Х3*) = X2(400) =100 тыс. рублей

В табл.3.

Х1*=700- X4*- Х3*- Х2*= 700–=300 тыс. рублей

Самопроверка:

f1(X*1)+f2(X*2)+f3(X*3)+f4(X*4)=Zmax

38+10+11+34=93 тыс. рублей

Ответ: Оптимальная производственная программа имеет вид:

Х1* = 300 ; Х2* = 100 ; Х3* = 100 ; Х4* = 200 , при этом максимальная прибыль составляет 93 тыс. руб.

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах а1, а2, ... аm единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1, b2, ... bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна сij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов.

Пусть исходные данные задачи имеют вид

А(а1, а2, а3) = (70; 40; 60); В(b1, b2, b3, b4) = (27; 39; 48; 40);

C =

Общий объем производства åаi = 70+40+60= 170 больше, требуется всем потребителям åbi = 37+39+48+40=164, т. е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 170-164 = 6 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу ²северо-западного угла².

Транспортная таблица 1

Потребление	b1=37	b2 =39	b3 =48	b4 =40	b5 =6
Производство
a1= 70	2 37	1 33	6	5	0	p1=
a2= 40	5	3 6	- 7 34	6	*+0	p2=
a3= 60	3	2	+ 4 14	2 40	-0 6	p3=
	q1=	q2=	q3=	q4=	q5=

Следует иметь в виду, что по любой транспортной таблице можно восстановить соответствующий предпочитаемый эквивалент системы уравнений (3), (4), а в таблице записаны лишь правые части уравнений, причем номер клетки показывает, какая неизвестная в соответствующем уравнении является базисной. Так как в системе (3), (4) ровно m + n - 1 линейно независимых уравнений, то в любой транспортной таблице должно быть m + n - 1 занятых клеток.

Обозначим через m)

вектор симплексных множителей или потенциалов. Тогда

Dij = mAij - сij i = 1,m; j = 1,n

откуда следует Dij = pi + qj - cij i = 1,m; j = 1,n (6)

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе (3), (4) одно уравнение линейно зависит от остальных. Положим, что р1 = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем

D11 = 0, p1 + q1 - c11 = 0, 0+q1 –2 = 0, q1 = 2

D12 = 0, p1 + q2 - c12 = 0, 0+q2 –1 = 0, q2 = 1

D22 = 0, p2 + q2 – c22 = 0, p2+1 –3 = 0, p2 = 2

D23 = 0, p2 + q3 - c23 = 0, 2 + q3–7 = 0, q3 = 5

D33 = 0, p3 + q3 – c33 = 0, p3 + 5–4 = 0, p3 = -1

D34 = 0, p3 + q4 – c34 = 0, -1 + q4 -2= 0, q4 = 3

D35 = 0, p3 + q5 – c35 = 0, -1 + q5–0 = 0,q5 = 1

Затем по формуле (6) вычисляем оценки всех свободных клеток:

D21 = p2 + q1 - c21 = 2+2-5=-1

D31 = p3 + q1 - c31 = -1+2-3=-2

D32 = p3 + q2 – c32 = -1+1-2=-2

D13 = p1 + q3 – c13 = 0+5-6=-1

D14 = p1 + q4 – c14 = 0+3-5=-2

D15 = p1 + q5 – c15 = 0+1-0=1

D24 = p2 + q4 – c24 = 2+3-6=-1

D25 = p2 + q5 – c15 = 2+1-0=3

Находим наибольшую положительную оценку max () = 3 =

Для найденной свободной клетки 25 строим цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в занятых клетках. Это будет . Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

34				34-r		r		28		6
14	40	6		14+r	40	6-r		20	40

= 6

Получаем второе базисное допустимое решение:

Транспортная таблица 2

Потребление	b1=37	b2 =39	b3 =48	b4 =40	b5 =6
Производство
a1= 70	2 37	1 33	6	5	0	p1=0
a2= 40	5	3 6	7 28	6	0 6	p2=2
a3= 60	3	2	4 20	2 40	0	p3=-1
	q1=2	q2=1	q3=5	q4=3	q5=1

Находим новые потенциалы.

D11 = 0, p1 + q1 - c11 = 0, 0+q1 -2 = 0, q1 = 2

D12 = 0, p1 + q2 - c12 = 0, 0+q2 -1 = 0, q2 = 1

D22 = 0, p2 + q2 – c22 = 0, p2+1 -3 = 0, p2 = 2

D23 = 0, p2 + q3 – c23 = 0, 2+ q3-7 = 0, q3 = 5

D25 = 0, p2 + q5 – c25 = 0, 2 + q5-0 = 0, q5 = -2

D33 = 0, p3 + q3 – c33 = 0, p3 + 5-4 = 0, p3 = -1

D34 = 0, p3 + q4 – c34 = 0, -1+ q4-2 = 0, q4 = 3

Находим новые оценки.

D21 = p2 + q1 - c21 = 2+2-5=-1

D31 = p3 + q1 – c31 = -1+2-3=-2

D32 = p3 + q2 – c32 = -1+1-2=-2

D13 = p1 + q3 – c13 = 0+5-6=-1

D14 = p1 + q4 – c14 = 0+3-5=-2

D15 = p1 + q5 – c15 = 0-2-0=-2

D24 = p2 + q4 – c24 = 2+3-6=-1

D25 = p2 + q5 – c25 = 2-2-0=0

Пришли к таблице, для которой все Dij £ 0 i = 1,m; j = 1,n

Оценки удовлетворяют условию оптимальности, следовательно решение….

 

37

X=

…оптимально.

Общая стоимость перевозок =37*2+33*1+6*3+28*7+20*4+40*2=481 ед.

Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Первый и Второй игроки играют в матричную игру с матрицей А = (aij). Стратегия первого есть P, а стратегия второго – Q. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца. Если 1-ый загадал 2-ую строку, а второй – 3-ий столбец, то выигрыш первого составляет 2 рубля.

В нашем случае имеем:

Седловой точки нет, что легко видеть:

					min aij
	1	-3	-5	0	-5
	2	0	2	-5	-5
max aij	2	0	2	0

-5 ≠ 0

Для начала необходимо свести нашу игру (2*4) к игре 2*2. Для этого необходимо графическое решение (рис.5)

Рисунок 5

Отсюда видно, что данная матричная игра сводится к следующему варианту:

-5	0	p1
2	-5	p2
q1	q2

Имеем

Понятно, что p1 = 1 – p2. Отсюда

-5 + 5p2 + 2p2 = – 5p2

12p2 = 5 => p2 = 5/12, p1 = 7/12

Аналогично с q1 и q2.

Имеем

Понятно, что q2= 1 –q1. Отсюда

2q1-5+5q1=-5q1

12 q1 = 5 => q1 = 5/12, q2 = 7/12

Оптимальные стратегии игроков:

P* = (7/12, 5/12)

Q* = (5/12, 7/12)

Рассчитаем цену игры υ, получаем:

n m

v = ∑∑ aij * pi * qj =

j=1 i=1

Рассчитаем среднюю дисперсию и риск:

n m n m n m

D* = ∑∑ aij2 * p*i * q*j - (∑∑aij * p*i * q*j)2 = ∑∑aij2 * p*i * q*j - v2 =

j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1

=

r = √ D* = √1225/144 = 35/12 = 2,9

Рассчитаем риски игры r для Первого и Второго игроков:

n

Dj = ∑ai2 * p*i - v2

i=1

D1 =

D2 =

r1(1) = √ 1715/144 = =3,5

r1(2) = √ 875/144 = = 2,5

Зависимость риска Первого в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на Рисунке 6.

 

r1(2) = 2,5 r= 2,9 r1(1) = 3,5

Рисунок 6

Как видно из Рисунка 4, при отходе Первого от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности выбора им 1-ой строки, Второй отвечает своей 1-ой чистой стратегией и риск Первого скачком увеличивается до r1(1) = 3,5, а при отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй отвечает своей 2-ой чистой стратегией и риск Первого скачком снижается до r1(2) = 2,5.

Аналогично - в отношении второго:

n

Di = aj2 * q*j - v2

j=1

D1 =

D2 =

r2(1) = √875/144 = 2,5

r2(2) = √ 1715/144 = 3,5

Зависимость риска Второго в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на Рисунке 7.

 

r2(1) = 2,5 r = 2,9 r2(2) = 3,5

Рисунок 7

Как видно из Рисунка 5, при отходе Второго от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности выбора им 1-го столбца, Первый отвечает своей 2-ой чистой стратегией и риск Второго скачком увеличивается до r2(2) = 3,5, а при отходе Второго от своей оптимальной стратегии влево его риск скачком снижается до r2(1) = 2,5.

Величина r* = min(r1(1), r1(2), r2(1), r2(2)) - риск всей игры.

r* = min(3,5, 2,5, 2,5, 3,5) = 2,5.

С таким риском можно играть только при сотрудничестве обеих сторон. Для достижения такого риска игроки должны играть следующим образом: Первый игрок использует свою оптимальную стратегию P*(7/12, 5/12), а Второй отвечает своей 2-ой чистой стратегией, либо Второй игрок использует свою оптимальную стратегию Q*(5/12, 7/12), а Первый отвечает своей 1-й чистой стратегией.

Литература:

1. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Прикладная математика” / Сост.: , , ; ГУУ, М., 20с.

2. Математические методы принятия решений в экономике: Учебник / Под ред. / ГУУ. – М.: , 1999. – 386 с.