Вопросы к экзамену по дисциплине «Алгебра и теория чисел»
3 курс направления подготовки «Физико-математическое образование»,
6 семестр, уч. г., ОЗО
1. Скалярное произведение в векторных пространствах и его свойства.
2. Евклидовы векторные пространства. Норма вектора и угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Примеры.
3. Процесс ортогонализации. Примеры.
4. Кольцо многочленов от одной переменной над областью целостности с единицей.
5. Теорема о делении с остатком. Примеры.
6. Следствия из теоремы о делении с остатком. Теорема Безу. Схема Горнера. Примеры.
7. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. НОК многочленов. Примеры.
8. Линейное разложение НОД. Взаимно простые многочлены, их свойства. Примеры.
9. Неприводимые над полем многочлены, их свойства. Примеры.
10. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.
11. Формальная производная многочлена. Разложение многочлена по степеням двучлена. Примеры.
Составила ст. преподаватель
Контрольная работа по дисциплине «Алгебра и теория чисел»
3 курс направления подготовки «Физико-математическое образование»,
6 семестр, уч. г., ОЗО
Вариант 1
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х + 2
.делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена х4 – 5×х3 + 9×х2 – 7×х + 2 найти кратность корня х = 1.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х + 1, найти значение многочлена и значения его производных при х = –1.
4. Вычислить НОД(x4 + 9×x3 + 26×x2 + 29×x + 20, x3 + 8× x2 + 17×x + 42) и его линейное разложение.
5. Найти НОК (x4 + 9×x3 + 26×x2 + 29×x + 20, x3 + 8× x2 + 17×x + 42).
Вариант 2
Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х + 1 делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
1. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4–5x3–9x2+81x–108 найти кратность корня х = 3.
2. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х - 2, найти значение многочлена и значения его производных при х = 2.
3. Вычислить НОД(x4 + 7×x3 + 17×x2 + 19×x + 12, x3 + 6× x2 + 10×x + 3) и его линейное разложение.
4. Найти НОК (x4 + 7×x3 + 17×x2 + 19×x + 12, x3 + 6× x2 + 10×x + 3).
Вариант 3
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х – 3 делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4–10x3+33×x2–40×x+16 найти кратность корня х = 4.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х + 3, найти значение многочлена и значения его производных при х = –3.
4. Вычислить НОД( x4 + 5×x3 + 10×x2 + 11×x + 6, x3 + 4×x2 + 5×x + 2) и его линейное разложение.
5. Найти НОК( x4 + 5×x3 + 10×x2 + 11×x + 6, x3 + 4×x2 + 5×x + 2).
Вариант 4
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х – 2 делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4–4×x3–12×x2+32×x+64 найти кратность корня х = 4.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х - 4, найти значение многочлена и значения его производных при х = 4.
4. Вычислить НОД(x4 + 3×x3 + 5×x2 + 5×x + 2, x3 + 2×x2 + 2× x + 1) и его линейное разложение.
5. Найти НОК( x4 + 3×x3 + 5×x2 + 5×x + 2, x3 + 2×x2 + 2× x + 1).
Вариант 5
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х + 3 делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4–2x3–3x2+4x+4 найти кратность корня х = - 1.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х + 5, найти значение многочлена и значения его производных при х = –5.
4. Вычислить НОД(x4 – 3×x3 + 2×x2 – x + 2, x3 – 4×x2 + 5×x – 2) и его линейное разложение.
5. Найти НОК (x4 – 3×x3 + 2×x2 – x + 2, x3 – 4×x2 + 5×x – 2).
Вариант 6
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х + 4 делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4+2×x3–3×x2–4×x+4 найти кратность корня х = 1.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х - 5, найти значение многочлена и значения его производных при х = 5.
4. Вычислить НОД(x4 – 3×x3 + 2×x2 – x + 2, x3 – 4×x2 + 5×x – 2) и его линейное разложение.
5. Найти НОК( x4 – 3×x3 + 2×x2 – x + 2, x3 – 4×x2 + 5×x – 2).
Вариант 7
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х – 4. делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4–x3–3×x2–5×x–2 найти кратность корня х = 1.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х + 4 , найти значение многочлена и значения его производных при х = - 4.
4. Вычислить НОД(x4 – 5×x3 + 5×x2 + x + 6, x3 – 6× x2 + 10×x – 3) и его линейное разложение.
5. Найти НОК(x4 – 5×x3 + 5×x2 + x + 6, x3 – 6× x2 + 10×x – 3).
Вариант 8
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х + 5 делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4–14×x3+73×x2–168×x+144 найти кратность корня х = 3.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х - 3, найти значение многочлена и значения его производных при х = 3.
4. Вычислить НОД(x4 – 7×x3 + 10×x2 + 5×x + 12, x3 – 8× x2 + 17×x – 4) и его линейное разложение.
5. Найти НОК(x4 – 7×x3 + 10×x2 + 5×x + 12, x3 – 8× x2 + 17×x – 4).
Вариант 9
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х – 1 . делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4+2×x3–23×x2–24×x+144 найти кратность корня х = 3.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х + 2, найти значение многочлена и значения его производных при х = –2.
4. Вычислить НОД(x4 – 9×x3 + 17×x2 + 11×x + 20, x3 – 10×x2 + 26× x – 5) и его линейное разложение.
5. Найти НОК(x4 – 9×x3 + 17×x2 + 11×x + 20, x3 – 10×x2 + 26× x – 5) .
Вариант 10
1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8×х3 – 3×х2 + 5×х + 4 на х – 5. делением столбиком и с помощью схемы Горнера.
2. Пользуясь схемой Горнера, для многочлена x4+13×x3+60×x2+112×x+64 найти кратность корня х = - 4.
3. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен x5 – 5×x4 + 10×x3 – 10×x2 + 5×x – 1 по степеням х – 1 найти значение многочлена и значения его производных при х = 1.
4. Вычислить НОД( x4 + 11×x3 + 37×x2 + 41×x + 30, x3 + 10×x2 + 26× x + 5) и его линейное разложение.
5. Найти НОК( x4 + 11×x3 + 37×x2 + 41×x + 30, x3 + 10×x2 + 26× x + 5).
Составила ст. преподаватель
