Задания контрольной работы по дисциплине «Математика» (стр. 2 )

Приравняем все свободные переменные к 0, а базисные к bi

X2=(99; 45; 66; 0; 0)

W2(X)=40*99+30*45=5310

Найденное решение является опорным, так как все bi>=0.

Для того что б задача максимум имела оптимальное решение необходимо, что б все коэффициенты в строке оценки плана были не отрицательные :

Так как данное условие выполняется, то найденное решение является оптимальным.

Xорт=(99; 45)

Wопт(X)=40*99+30*45=5310

Вывод: для получения максимальной выручки необходимо производить продукцию А в размере х1=99 шт, а В в размере х2=45 штуки. При таком производстве прибыль будет максимальна и составит 5310 руб.

Задание 2.

На три базы поступил однородный груз в количествах a1, a2, a3. Груз требуется перевезти в четыре пункта в объеме b1, b2, b3, b4. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной, весь груз был вывезен. Матрица тарифов сij , запасы и потребности указаны в таблице.

Вариант 5

Пункты Базы	В1	В2	В3	В4	запасы
А1	2	5	4	6	120
А2	4	5	6	8	80
А3	2	6	3	1	60
потребности	100	70	70	20

Проверим, какого типа задача - открытая или закрытая. Сравним суммарные потребности потребителей и суммарные запасы производителей:

- суммарные потребности = 100+70+70+20=260

- суммарные запасы =120+80+60=260

Потребности и запасы совпадают, следовательно, мы имеем транспортную задачу закрытого типа.

Для нахождения оптимального плана поставок используем метод потенциалов. Недостатком данного метода является то, что необходимо иметь любой допустимый опорный план. Найдем опорный план, используя метод минимального тарифа.

РЕШЕНИЕ:

Находим допустимый план, методом «Минимального элемента»

Поставщик	В1	В2	В3	В4	Запас груза аj
А1	2 100	5 ---	4 20	6 ----	120
А2	4 ----	5 70	6 10	8 ----	80
А3	2 ---	6 ----	3 40	1 20	60
Потребность в грузе вi	100	70	70	20

Минимальный тариф = 1, соответствует ячейке (3;4), заполняем ее первой:

Х34=min{20; 60}=20

Потребность В4 удовлетворена, все ячейки этого столбца вычеркиваем

Тариф 2 соответствует сразу двум ячейкам (1;1) и (3;1)

Первой будем заполнять ту ячейку для которой перевозка больше:

Х11=min{100; 120}=120

Х31=min{100; 60-20}=min{100; 40}=40

100>40 поэтому первой заполняем ячейку (1;1)

Тариф = 3 соответствует ячейке (3;3)

Х33=min{70; 60-20}=min{70; 40}=40.

Тариф=4 соответствует ячейке (1;3)

Х13=min{70-40; 120-100}=min{30; 20}=20.

Тариф=5 соответствует ячейке (2;2)

Х22=min{70; 80}=70

Осталась одна ячейка (2;3)

Х23=min{; 80-70}=min{10; 10}=10.

Весь груз перевезен!

Стоимость найденного плана:

F= 2*100+4*20+5*70+6*10+3*40+1*20=830

Проверим найденный план на оптимальность с помощью метода потенциалов.

Метод “потенциалов”

Для поиска оптимального значения необходимо использовать метод потенциалов. Необходимое условие в этом методе - наличие любого допустимого решения (найденное любым из ранее рассмотренных способов).

Допустим, что перевозчик получает плату Ui- за вывоз единицы груза из каждого пункта отправления bi и плату Vj за доставку единицы груза в каждый пункт назначения Aj Назовем сумму платежей Sij- = Vj + Ui псевдостоимостью. (Vj, Ui- это не является фактической объективно обусловленной ценой, а только потенциалом цены). И если выполняются следующие условия:

то система потенциальна, и найденный план является оптимальным.

Проверим на потенциальность план полученный методом «минимального тарифа»

V1	V2	V3	V4
100	70	70	20
U1	120	2 100	5	4 20	6
U2	80	4	5 70	6 10	8
U3	60	2	6	3 40	1 20

Для данного плана рассчитаем условия потенциальности, для этого заполним таблицу:

Занятые ячейки	Свободные ячейки
U1+V1=2 U1+V3=4 U2+V2=5 U2+V3=6 U3+V3=3 U3+V4=1	Δ1,2 = c1,2 - (u1 + v2) Δ 1,4 = c1,3 - (u1 + v4) Δ 2,1 = c2,1 - (u2 + v1) Δ 2,4 = c2,4 - (u2 + v4) Δ 3,1 = c3,1 - (u3 + v1) Δ 3,2 = c3,2 - (u3 + v2)

Найдем чему равны потенциалы. Предполагаем U1 =0

Занятые ячейки	Свободные ячейки
U1=0 V1=2 V3=4 U2=6-4=2 V2 =5-2=3 U3=3-4=-1 V4 =1+1=2	Δ1,2 = 5 - (0+3)= 2>0 Δ1,4 = 6 - (0+2)= 4>0 Δ2,1 = 4 - (2+2)= 0=0 Δ2,4 = 8 - (2+2)= 4 >0 Δ3,1 = 2 - (-1+2)= 1>0 Δ3,2 = 6 - (-1+3)= 4>0

Так как все оценки пустых ячеек >0, то условие потенциальности выполняется и найденный план является оптимальным.

Минимальная стоимость доставки груза

По оптимальному плану следует перевозить груз по схеме:

От поставщика А1 перевозим 100 единиц груза потребителю В1

20 единиц груза потребителю В3

От поставщика А2 перевозим 70 единиц груза потребителю В2

10 единиц груза потребителю В3

От поставщика А3 перевозим 40 единиц груза потребителю В3

20 единиц груза потребителю В4

Задание 3.

Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р1, второй – с вероятностью р2, третий – с вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).