Течение вязкой несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления.
1. Введение
Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса. Если их записывают в переменных «скорость-давление», то на границах обычно ставят условия для скоростей, и в этом случае для существования решения не требуется дополнительных условий на давление. Однако, если исходная постановка задачи такова, что краевые условия заданы для давления (это, например, задача о движении крови в артерии) или учитывается фильтрация через границы, то в общем случае неясно, какие именно значения принимают на границах скорости или их производные. В данной работе предлагается в качестве краевого условия использовать выполнение на границе самого уравнения, описывающего движение жидкости.
В работах [1,2] доказана теорема существования и единственности сильного решения для уравнения Навье-Стокса, когда в качестве граничного условия задано давление и касательная составляющая скорости, которая, однако, трудноприменима в случае криволинейных каналов.
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о протекании вязкой однородной несжимаемой жидкости в криволинейном канале с заданным перепадом давления на входе и выходе (см. рис. 1).
На границе AB (входное отверстие) задано давление
, на границе CD (выходное отверстие) задано давление
, так что
. На твердых стенках BCи AD задано условие прилипания (скорость
). Также на входе и выходе поставим условие равенства нулю касательной составляющей скорости.
Рисунок 1.
3. Аппроксимация
Двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса:
где
,
- внутренняя область с границей 
,
- коэффициент кинематической вязкости.
На границе выполнено
Для решения поставленной задачи введем в области
прямоугольную сетку 
, согласующуюся с границей 
, с сеточной границей 
.
На
аппроксимируем систему уравнений разностной схемой
где 
- множество индексов 
, отвечающих внутренним точкам. Разностный оператор 
аппроксимирует оператор Лапласа
Краевое условие заменяется точными равенствами
где
- множества индексов , отвечающих 
соответственно.
Также на входе и выходе задана нулевая касательная составляющая скорости:
(3)
4. Метод решения
Полученная разностная задача является системой билинейных уравнений (т. е. системой нелинейных уравнений 
, где
,
- линейный оператор,
- билинейное отображение,
).
Для решения использовался метод неполной аппроксимации
(4)
где 
выбирается из условия 
, а 
- диагональная матрица, элементы которой 
выбираются последовательно из условия минимума нормы невязки, 
- вектор, все координаты которого равны 1.
Для нахождения введем вектор 
, где 
, 
- вектор с i-й компонентой, равной 1. Тогда
Обозначим
.
Очевидно 
- невязка схемы.
Получим:
Далее:
,
где
Так как
, то график зависимости 
от 
имеет вид:
Тогда 
найдем как решение кубического уравнения 
по явным формулам Кардано.
Параметр τ n+1 можно выбирать из условия минимума ||rn+1||2. В этом случае
и ||rn+1||2 =θ n+1||rn||2.
Схема (4) обладает асимптотическим свойством, которое позволяет построить ускоряющую процедуру в случае плохой сходимости.
5. Результаты
Если стенки канала параллельны, то реализация краевых условий (2) дает картину течения, совпадающую с течениями, приведенными в [2,4] (см. рис. 2,3). Аналогичная ситуация имеет место в трехмерном случае (см. рис. 4).
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Рисунок 4.
В случае, когда стенки канала не параллельны, задание на правой границе нормальной составляющей скорости приводит к течению, отличному от приведенного в [5] (рис 5).
Рисунок 5.
Задание на выходе из канала «мягких» краевых условий (мы использовали для этого аппроксимацию исходной системы уравнений (1) внутрь области решения) приводит к появлению возвратного течения в верхней части канала (см. рис. 6), что хорошо согласуется с результатами работы [5]. Аналогичная картина имеет место в разветвляющемся канале с расширением (см. рис. 7).
Рисунок 6.
Рисунок 7.
Аналогичные течения имеют место и в случае синусоидального канала (см. рис 8).
Рисунок 8.
Список литературы
1. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора. – в сб.: Динамика сплошной среды, вып. 27, Новосибирск, 1976, с. 78-92.
2. , , Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданных перепадах давления. – в сб. численные методы динамики вязкой жидкости, Новосибирск, 1983, с. 203-207.
3. , Градиентные методы решения задач гидродинамики, Новосибирск, Наука, 2004, 239с.
4. , Численное решение задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в разветвляющемся канале при задании перепадов давления между ответвлениями. – в сб. Численные методы механики сплошной среды, том 10, № 7, Новосибирск, 1979, с. 52.
5. , , Расчет течений вязкой жидкости в плоских каналах произвольной формы. – в сб. Численные методы механики сплошной среды, том 17, № 5, Новосибирск, 1986, с. 98.
