Успенский район с. Успенское
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 села Успенского муниципального образования Успенский район
Модульный урок по алгебре
на тему: «Тригонометрические уравнения»
Выполнила
учитель
МАОУСОШ №2
С. Успенское, 2013
Цели уроков:
1) Образовательные - систематизировать знания и создать разноуровневые условия контроля ( самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.
2) Развивающие - способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать математическое мышление, речь.
3) Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться.
Оборудование: мультимедийное оборудование, набор карточек тина домино для устной разминки, магнитная доска, карточки с заданиями па 4 варианта, 4 листа учета знаний для судей, копирка, табло для подведения итогов урока, таблицы с формулами и рекомендациями.
Ход урока.
I. Оргмомент (2 мин.)
Задания первого уровня.
Цель: решать простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму.
II. Любое соревнование начинается с разминки.
Учебный элемент № 1.
Ребятам предлагается устная работа «Домино» (на магнитной доске) (6 мин.)
Цель: самоконтроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.
ДОМИНО.
Начальная карточка:
Cosx=0 Sinx=0
π/4 + πn tgx = -1 6,28 πn π/2 + 2 πn 2 π 0
sinx = -1 tgx = 1 30º ½ 2 π/3 π/2 + πn cos π/2 √2/2
cosx = -1 - π/2 + 2 πn sin π/6 120º cosx = 1 π + 2 πn 3π/4 + πn
cos π/4 90º sinx = 1 2 πn π/2 π/6 -π/4 + πn ctgx=- 1
Учебный элемент № 2.
III. Самостоятельная работа через копирку (12 мин.)
Цель: система упражнений предназначена для закрепления навыков решения несложных тригонометрических уравнений, а также для развития умений работать с получающимися в результате решения уравнений сериями корней. В каждом варианте:
- уравнения 1-3 необходимы для закрепления навыков работы с усложненным (линейным) аргументом;
- уравнения 4-6 позволяют научиться исключать из одной серии корней другую - постороннюю;
- уравнение 7 позволяет отработать навыки объединения двух серий корней и записывать их в виде одной серии;
- уравнение 8 позволяет научиться видеть, что одна серия содержится в другой, и выбирать в этом случае для записи правильного ответа нужную серию.
Вариант 1 Вариант 2
tg (3x/2) = 0 tg (x/2) = - √3/3
sin (3x/4 + π/3) = -1 sin (4x – π/6) = 0
2cos (2x - π/4) = 1 √2cos (2x/3 + π/4) = 1
[2sinx + 1] / [ 2cosx + √3] =0 [2sinx +√2] / [ 2cosx - √2] =0
[2cosx + 1] / [ 2sinx + √3] =0 [ 2cosx - √3] / [ 2sinx + 1] = 0
[cosx] / [1 - sinx] = 0 [sinx] / [cosx - 1] = 0
[sin (x/2)] [cosx + 1] = 0 [cos2x + 1] [ tgx (x + π/4) – 1 ] = 0
[cosx - 1] [ tgx (x - π/4) +1 ] = 0 [cos3x - 1] [sin (x/2)] = 0
Листочки с копиями работ собираются и проверяются учителем, а оригинал работы остаётся у ученика в тетради.
IV Проверка этой самостоятельной работы в тетрадях с помощью мультимедийного оборудования в парах (4 мин.)
Карточки с заданиями на оценку «3»
Указание учителя
Вам предложена карточка с заданиями на оценку «3», по которой
необходимо решить тригонометрические уравнения по заданному
алгоритму.
В каждом варианте:
• Уравнения 1-3 решаются методом сведения к квадратному уравнению, который состоит в том, что, пользуясь формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t
• Уравнения 4-5 решаются методом разложения на множители. Одним из самых распространенных способов разложения на множители являются способы вынесения за скобки общего множителя, группировки, применение формул сокращенного умножения.
• Уравнения вида 6-7 являются однородными. Однородными называются уравнения вида asinx+ cosbx= 0- первой степени,
asinx+ bsinxcosx+ccosx=0- второй степени и т. д., где a,b,c-некоторые числа.
В 10 классе мы с вами решали кроме этих и однородные уравнения высших степеней, но для первого уровня изучения материала необходимо решать только однородные уравнения первой и второй степеней. Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx. Но предварительно нужно доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль.
Учебный элемент № 3.
Цель: Проверить и закрепить умение решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
Решите уравнения методом сведения к квадратному (10 мин.)
Вариант 1 Вариант 2
tg2x- 3tgx + 2 = 0 2 + cos2x- 3 cosx = 0
2cos2x + 5 sinx -4 = 0 4 - 5cosx - 2sin2x = 0
[1 - cos2x] /2 + 2sinx = 0 [1 + cos2x] /2 + 2cosx = 0
Вариант 3 Вариант 4
8cos2x- 6cosx -5 = 0 2tg2x - tgx – 3 = 0
2sin2x - 5cosx +1=0 2cos2x + sinx – 3 = 0
[1 - cos2x] /2 + 3sinx = 4 [1 + cos2x] /2 - 3cosx = 4
Учебный элемент №4
Цель: проверить и закрепить решения тригонометрических уравнений методом разложения не множители.
Решите уравнения методом разложения на множимин)
Вариант 1
Вариант 2
sin2x - sinx = 0
ctg2x - 4ctgx = 0
3cosx + 2sin2x = 0 5sin2x - 2sinx = 0
Вариант 3 Вариант 4
cos2x - cosx = 0 cos2x - cosx = 0
3sin2x - cosx = 0 2cosx + 3sin2x = 0
Учебный элемент № 5
Цель: проверить и закрепить навык решения однородных уравнений.
Решить однородные тригонометрические уравнения (6 мин)
Вариант 1 Вариант 2
sinx - cosx = 0 5sinx + 6cosx = 0
2sin2x - 5sinxcosx + 4cos2x = 0 3sin2x - 4sinxcosx - 5cos2x = 0
Вариант 3 Вариант 4
2sinx + 5cosx = 0 4sinx - 9cosx = 0
2sin2x - 5sinxcosx + 3 cos2x = 0 4sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0
Учебный элемент № 6
Цель: проверить и закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента.
Решить уравнения методом введения вспомогательного аргумент (6 мин)
Вариант 1 Вариант 2
sinx - cosx = 1 sinx + cosx = √2
√3sinx - cosx = 2 √3sinx - cosx = 1
Вариант 3 Вариант 4
sinx - cosx = √2 sinx + cosx = 1
√3sinx + cosx = 1 √3sinx + cosx = 2
Выполнив все задания первого уровня и сдав их судье, учащиеся получают оценку «3».
Задания второго уровня.
Карточки с заданиями на оценки «4» и «5».
Учебный элемент №7.
Цель: решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения.
Указание учителя.
Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбирать метод решения уравнений. Перед вами на платках основные тригонометрические формулы и рекомендации по решению тригонометрических уравнений.
Решить уравнения (20 мин)
Вариант 1 | Вариант 2 | ||
l)cos2x - 5sinx -3=0 | 1 балл | 1) cos2x + 3 sinx = 2 | |
2) 1+ 7cos 2x= 3sin2x | 2 балла | 2) 3+ sin2x = 4sin2x | |
3) cos2x - cos2x= sinx | 2 балла | 3) sin2x+cos2x=l | |
4) sinx - cos3x=0 | 2 балла | 4) cosx - sin3x=0 | |
5) 5-5cos(π/2-x) = 2 cos2(π-x) | 2 балла | 5) cos2 (π/2+x)-cos2(2π+x) =√3/2 | |
Вариант 3 | Вариант 4 | ||
1) cos2x-7cosx + 4= 0 | 1 балл | l)cos2x+9sinx + 4 = 0 | |
2) 4sin2x - sin2x = 3 | 2 балла | 2) sin2x + 4 cos2x = 1 | |
3)cos 2x = 2cosx - 1 | 2 балла | 3) sin2x + sin2x = 1 | |
4)sin2(2π+x) – sin2 (π/2+x)=1/2 | 2 балла | 4)2-4sin2(π-x) = 4sin(π/2+x) | |
5) sin2x - cos4x = 0 | 2 балла | 5) sinx + cos3x = 0 | |
Самостоятельная работа оценивается следующим образом:
1)если ученик набрал 0,1,2 баллов, то оценка остается «3»;
2)если набрано 3,4 балла, то оценка ставится «4»;
3)если набрано 5 баллов и более, то оценка ставится «5» и можно переходить к следующему учебному элементу.
Задания третьего уровня.
Учебный элемент № 8
Цель: применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Учащимся выдается карточка с заданиями повышенной сложности на дополнительную оценку «5». Задания даются в двух вариантах, так как их решают далеко не все учащиеся и проверяются учителем, и за них ставится дополнительная оценка «5», если учащийся набрал 5 баллов и более за любые предложенные задания.
Вариант 1 | Вариант 2 | |
1) cosx + 1 = ctgx + cosxctgx | 2 | 1) tgx — sinxtgx = 1 – sinx |
2) cos3xsinx - sin3xcosx = 1/4 | 2 | 2) sin3xcosx - cos3xsinx = - 1/4 |
3) 4cosxsinx+ (tgx + ctgx) = 0 | 3 | 3) 2sin2x = tgx + ctgx |
4) cos9x - cos7x +cos3x - cosx=0 | 3 | 4) sinx - sin2x +sin5x+sin8x = 0 |
5) 2tg2x+ 4cos2x = 7 | 3 | 5) 9ctg2x+ 4sin2x = 6 |
6) (cos6x - l)ctg3x = sin3x | 3 | 6) 3cosx + 2tgx = 0 |
VII Домашнее задание.
Исходя из результатов подведения итогов уроков, учащиеся получают карточки с индивидуальными заданиями для отработки навыков решения тригонометрических уравнений.
Анализ уроков.
Очень важно, что при такой форме определяется время и место промежуточной и итоговой диагностики и учебной коррекции. Модульная технология проведения уроков помогает осуществлять индивидуальный подход к учащимся, включать каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самообучения и самоорганизации.
