5 класс, решения и критерии (стр. 2 )

· Ответ с проверкой, но без обоснования, почему этот ответ единственный – 2 балла.

· Если задача решается с конца, но на конкретном примере («допустим, что в сосуде А было в итоге 15 литров…») – 4 балла. Если при таком же решении дописана фраза, что при других примерах будет аналогично – 5 баллов.

· Арифметические ошибки при правильном ходе решения – 5 баллов.

665	672	676
673	671	669
675	670	668

Задача 4. Расставьте в клетках квадрата 3´3 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждом столбце и в каждой строке была равна 2013.

–6	1	5
2	0	–2
4	–1	–3

Ответ: см. рис. Вариантов решения может быть много. Решение. На самом деле, так как 2013:3 = 671, то удобно (и при решении, и при проверке) вычесть из каждого числа в таблице 671. Тогда задача сведется к тому, чтобы получить таблицу из различных целых чисел с суммой 0 в каждой линии. Например, таблица, приведенная в ответе, соответствует второй таблице.

· КРИТЕРИИ. Любая верная расстановка (даже без проверки, но самому проверяющему надо вычислить, чтобы убедиться в правильности) – 7 баллов. Приведение упрощенной таблицы не обязательно.

· Арифметические ошибки – 0 баллов.

· Если в таблице встречаются одинаковые числа – 0 баллов.

Задача 5. Четыре натуральных числа заканчиваются различными цифрами. Известно, что среди всевозможных пар этих чисел есть ровно две пары, в которых произведение заканчивается на 0. Может ли сумма всех чисел заканчиваться на 5?

Ответ: нет. Решение. Если произведение заканчивается на 0, то либо один из сомножителей делится на 0, либо один из сомножителей делится на 5, а другой – на 2. Если бы у нас хотя бы одно число делилось на 10, то минимум 3 пары делилось бы на 10 (это те пары, в которых участвует данное число), а их всего две. Значит, в каждой из упомянутых двух пар есть число, заканчивающееся на 5, а другое – четное. Больше таких пар нет, значит, оставшееся четвертое число – нечетное. Итого мы имеем два четных числа и два нечетных, то есть их сумма четна, поэтому заканчиваться на 5 не может.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 0 баллов.

· Доказательство того, что нет числа, кратного 10, но есть число, кратное 5 – 2 балла.

· Доказательство того, что есть число, оканчивающееся на 5 и есть еще 2 четных числа – 4 балла.

7 класс, решения и критерии

Задача 1. Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 80 метров? Приведите пример, как справится за такое число прыжков и докажите, что за меньшее количество не справится.

Ответ: 13 прыжков. Решение. За 11 прыжков можно набрать максимум 77 метров, поэтому придется сделать минимум 12 прыжков. Если мы сделаем 11 прыжков по 7, то на последний прыжок останется дистанция в 3 м, а таких прыжков у Кенгуру нет. Если мы сделаем 10 прыжков по 7 м, то получается 70 м, и на оставшиеся 10 метров двух самых больших оставшихся прыжка нам не хватит. Тем более, если мы будем делать менее 10 больших прыжков. Таким образом, 12 прыжков не хватает. Пример на 13 прыжков 7×10+4+4+2=80.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования -1 балл.

· Ответ с примером на 13 прыжков, или просто пример на 13 прыжков – 3 балла.

· Оценка, что 11 прыжков мало, стоит 1 балл.

· Если при разборе случая 12 прыжков упущен случай, когда семиметровых прыжков меньше 10, снимается 1 балл.

Случай «меньше 10 прыжков» допустимо рассматривать так: рассматривается случай 9 прыжков, пишется «и так далее». Этот вариант считается полным разбором случая малого числа прыжков.

· Если при верном ходе решения в целом при разборе случая 12 прыжков упущен случай, когда семиметровых прыжков ровно 10 (или не больше 10), снимается 2 балла

Задача 2. Лёша, Ганс и Стас сложились и купили палатку. Стас заплатил 60% от её цены, Лёша 40% от оставшейся суммы, а Ганс – последние 30 долларов. Сколько стоила палатка?

Ответ: 125 долларов. Решение. Если палатка стоила x рублей, то Стас заплатил 0,6x, осталось 0,4x, поэтому Лёша заплатил 0,4×0,4x = 0,16х, а Гансу осталось 0,24х. Цена палатки в таком случае составляет 30:0,24 = 125 долларов.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Арифметические ошибки при верном ходе решения – 5 баллов.

Задача 3. Решите уравнение =0.

Ответ: решений нет. Решение. Пусть x<–6. Тогда уравнение принимает вид –x–5=0, откуда x=–5, но этот корень лежит вне рассматриваемого промежутка. Пусть –6<x<5, тогда уравнение принимает вид –x+5=0, откуда x=5, но такого значения x принимать не может. Пусть x>5. Тогда уравнение принимает вид x+5=0, откуда x=–5, но этот корень лежит вне рассматриваемого промежутка.

· КРИТЕРИИ. Если получен хотя бы один корень – 0 баллов.

· Если при решении не рассмотрен один промежуток или несколько промежутков – 0 баллов.

· Если в одном промежутке при раскрытии модуля неверно получен знак, при этом может получиться неверный ответ – 3 балла.

· Если модуль открыт неверно в двух или более промежутках, при этом допущен неверный ответ, но общий ход решения присутствует – 1 балл.

Задача 4. Покажите, как разрезать фигуру на рисунке на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Покажите, как складывать квадрат.

Ответ: см. рисунок. Решение. Площадь предложенной фигуры равна 20 клеткам, поэтому сторона полученного квадрата не может идти по линиям сетки. Значит, тот внешний край, который сейчас идет по линиям сетки, необходимо «спрятать». К счастью, таких краев целых два, они хорошо подходят друг к другу.

Кроме того, можно построить квадрат с площадью 20 ( например, 4 экземпляра квадрата площадью 5), заметить, как у него идут стороны, после чего понятно, что две стороны итогового квадрата у данной фигуры уже есть. Осталось сделать правильный разрез (так, чтобы разрез был гипотенузой прямоугольного треугольника с отношением катетов 2:1).

· КРИТЕРИИ. Для получения 7 баллов необходимо показать, как разрезать и как складывать (можно на двух рисунках, можно – на одном). Рассуждения, как школьник пришел к такому варианту, необязательны.

· Если есть разрезание, но нет рисунка, показывающего, как складывать квадрат – 5 баллов.

· Верный подсчет площади фигуры, далее ответ «невозможно сложить квадрат» - 1 балл.

Задача 5. Ваня выписал какие-то восемь подряд идущих натуральных числа, поставил перед каждым из них «+» или «–», после чего подсчитал результат. Докажите, что у него не могло получиться 2013.

Решение. Среди 8 подряд идущих натуральных чисел есть ровно 4 четных и ровно 4 нечетных. Тогда их сумма в любом случае будет четна, поэтому она не равна 2013. Если же часть «+» поменять на «–», четность результата не поменяется.

· КРИТЕРИИ.

· Возможно решение через уравнение (обозначим первое число за x, второе – за x+1 и т. д.), тогда надо обязательно внимательно следить, чтобы были разобраны или упомянуто, как разбирать, все случаи.

· Если разобран только случай суммы, без рассмотрения расстановки минусов, то ставится 2 балла.

· Правильно разобран только один или два случая расстановки знаков – 2 балла.

· Упомянута четность, больше никаких продвижений нет – 2 балла.

8 класс, решения и критерии

Задача 1. Малыш и Карлсон сели пить чай с тортом, разделив торт на две части. Малыш сказал, что ему достался слишком маленький кусок, и тогда Карлсон отдал Малышу четверть своего куска. При этом количество торта у Малыша увеличилось в 4 раза. Какая часть торта изначально досталась Малышу?

Ответ: 1/13. Решение. Четверть куска Карлсона составляет три куска Малыша, поэтому кусок Карлсона составляет 12 кусков Малыша. Отсюда получаем ответ.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Ответ с проверкой, ответ с рисунком, который можно считать проверкой – 3 балла.

· Арифметические ошибки в решении – 5 баллов.

Задача 2. Найдите наименьшее число x , для которого выражение (x–15)2(x-5)(x+3)(x+12) неотрицательно (докажите, что оно на самом деле наименьшее).

Ответ: x=–15. Решение. Заметим, что если x = –-15, то выражение равно 0, и оно неотрицательное. Если же x<–15, то первая скобка положительна, остальные три – отрицательны, поэтому значение выражения меньше 0

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

Задача 3. Докажите, что если взять произвольные последовательные восемь натуральных чисел, то их можно расставить в вершинах и серединах сторон квадрата так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих на одной стороне, была одна и та же.

Решение. Обозначим эти восемь натуральных чисел x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7. Таким образом, если мы расставим требуемым образом целые числа от 0 до 7, то потом можно к каждому прибавить x, получив требуемую расстановку. Требуемая расстановка приведена на рисунке.

· КРИТЕРИИ. Могут быть другие примеры расстановки.

· Если задача решена не в общем виде, а только для конкретного набора чисел – 2 балла.

При этом заметим, что для полного решения достаточно привести пример расстановки любого конкретного набора чисел, а затем сказать, что можно прибавить (или вычесть) сразу ко всем числам одну и ту же константу. Такое решение стоит 7 баллов.

Задача 4. В треугольнике со сторонами a, b, c наибольшей стороной является сторона с. Обозначим проведенную к ней высоту через h. Докажите, что c+h>a+b.

Решение. Заметим, что напротив наибольшей стороны в треугольнике лежит наибольший угол, значит, высота, проведенная из него (соответственно, высота к наибольшей стороне), попадает на сторону, а не вне неё. Обозначим основание высоты через D, получаем, что с+h = AB+CD, a+b = BC+AC. Запишем неравенства треугольника для треугольников ADC и BDC, получаем AD+CD > AC, BD+CD>BC. Сложив эти два неравенства и учитывая, что AD+BD = AB, получаем требуемое.

· КРИТЕРИИ. При отсутствии обоснования того, что высота h попадает внутрь стороны с, ставится 4 балла.

· На чертеже присутствует равнобедренный треугольник, но это вовсе не обязательно. В доказательстве равнобедренность вообще не нужна и не упоминается.

Задача 5. Назовём «острым» время, когда угол между прямыми, проходящими через часовую и минутную стрелки часов, не превосходит 45 градусов. Сколько «острого» времени в сутках?

Ответ: 6 часов. Решение. Будем рассматривать все относительно часовой стрелки. Пусть она стоит на месте, тогда минутная делает вокруг неё 11 оборотов, причем, так как она двигается равномерно, то «острое» время продолжается от того момента, когда она на 45° слева, до того момента, когда она на 45° справа. Это четверть всего времени оборота, таким образом, острое время составляет четверть всего времени.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Попытки вычислять моменты наступления «острого» времени с арифметическими ошибками и неправильным ответом при верном ходе вычисления – 4 балла. При этом способе решения обязательно в ходе вычисления возникнет дробь со знаменателем 11.

9 класс, решения и критерии

Задача 1. Каждый из девяти кандидатов в мэры – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда говорит ложь. Когда в ходе опроса первых троих спросили, кого среди кандидатов больше – рыцарей или лжецов, они все ответили, что лжецов. Какое наибольшее количество кандидатов из оставшихся могут с ними согласиться?

Ответ: 1 или 0. Решение. Заметим, что все трое опрошенных являются одним и тем же типом. Пусть это рыцари. Тогда они сказали правду, лжецов больше половины, но не больше 9–3 =6 значит, лжецов 5 или 6. В любом случае, каждый лжец скажет, что больше рыцарей, значит, согласится с этими тремя либо один кандидат из оставшихся, либо никто. Рассмотрим случай, когда все трое –лжецы, тогда они лгут, и рыцарей больше. Согласится с тремя первыми может только лжец, а он максимум 1. Или его вообще нет.

Решение 2. Заметим, что сказавшие кандидаты и согласные одного типа. Заметим, что согласных не может быть 2 и более (а всего 5 или более). Так как если они лжецы, то получается, что сказали правду, что их больше. А если рыцари, то солгали что их меньше. Поэтому согласных может быть только 0 ЛЛЛ(РРРРРР) или 1 ЛЛЛ(ЛРРРРР).

· КРИТЕРИИ. Оба верных ответа без обоснования – 2 балла.

· Один из верных ответов ( и никаких обоснований) – 0 баллов.

· При попытках обоснований рассмотрен только случай, когда первые трое – лжецы ( или наоборот, рыцари) – 3 балла.

· Если при обоснованиях упущен случай, когда есть еще один кандидат того же типа, как и опрошенные – 4 балла.

· Если из решения вытекает случай, когда согласных 0, но он пропущен с ответах, так как ребенок понял, что обязательно есть и рыцари, и лжецы – 5 баллов.

Задача 2. Обозначим через a ◊ b наибольшее из чисел 2a и a+b. Пусть a<b. Вычислите (a ◊ b) ◊ (b ◊ a).

Ответ: a+3b. Решение. Так как a<b, то 2a<a+b, поэтому a ◊ b=a+b. Из тех же соображений b ◊ a = 2b. В итоге нам надо вычислить выражение (a+b) ◊ (2b), то есть выбрать наибольшее из чисел 2a+2b и a+3b. Очевидно, что второе больше.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснований – 2 балла.

· Верно вычислена первая скобка – 1 балл, вторая скобка – 1 балл.

Задача 3. Библиотекарь выдает Васе шесть книг в следующем порядке – сначала 1, потом 2, потом 3, и так далее до последней, записывая каждую и складывая их стопкой, причем каждую следующую кладет строго сверху. Вася в произвольный момент берет из стопки верхнюю книгу. Самой первой он взял книгу 4. Сколько существует различных вариантов порядка, в котором Вася мог брать книги? Ответ обоснуйте.