5 класс, решения и критерии (стр. 1 )

5 класс, решения и критерии

Задача 1. Собрались несколько рыцарей и лжецов, все разного роста (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый заявил: «Среди тех, кто выше меня, есть лжецы». Сколько лжецов могло быть среди них?

Ответ: 1. Решение. Самый высокий, очевидно, лжец. Остальные ниже его, поэтому говорят правду, значит, рыцари.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Замечание, что самый высокий – лжец, и сразу ответ – 3 балла.

Задача 2. У Васи есть два квадрата – 3´3 и 4´4. Он должен разрезать один из них или оба так, чтобы в сумме после разрезов получилось не больше 4 частей, и сложить из этих частей один квадрат. Помогите ему это сделать.

Ответ: см. рис.

· КРИТЕРИИ. Для получения 7 баллов достаточно одного правильного рисунка. Правильные рисунки могут отличаться от вышеприведенных.

Задача 3. У бедного Зязяки не было денег, и он взял взаймы у богатого Бябяки и купил в магазине 2 зяки и 3 бяки. После этого он продал на рынке каждую зяку по цене, равно стоимости четырех бяк в магазине, а каждую бяку – по цене, равно стоимости половины зяки в магазине. После возврата долга денег ему как раз хватило на покупку трех бяк в магазине. Во сколько раз в магазине зяка дороже бяки?

Ответ: в 4 раза. Решение. Зязяка получил после рынка сумму, равную 2×4=8 бякам и 3×0,5=1,5 зякам. После того, как он отдал долг, у него осталось сумма, равна 5 бяк МИНУС 0,5 зяки. А это цена оказалась равна цене 3 бяк, то есть половина зяки равна 2 бякам, поэтому зяка в 4 раз дороже.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования, ответ без обоснования, но с проверкой – 2 балла.

· Если решение в целом верно, но где-то допущены арифметические ошибки – 5 баллов.

· Если где-то в решении перепутаны + и –, поэтому получен неверный ответ – 4 балла.

Задача 4. Вася выписывает двузначные числа в строку, при этом соблюдая следующие условия. Во-первых, каждое число строго больше предыдущего, во-вторых, оно начинается с той цифры, на которую заканчивается предыдущее. Какое наибольшее количество чисел может выписать Вася? Приведите пример и докажите, что большего количества не получится.

Ответ: 17. Решение. Числа, где десятков меньше чем единиц, взять нельзя, так как тогда следующее число будет меньше, а чисел, где обе цифры равны, в каждом десятке по одному. Из-за этого из каждого десятка можно взять максимум два числа ( одно – вида другое - причем a<b). Кроме того, после числа 99 нельзя выписать ни одного двузначного числа, поэтому из последнего десятка можно выписать только одно число. Всего десятков 9, итого чисел максимум 2×9–1 = 17. Пример 11, 12, 22, 23, 33, 34, 44, 45, 55, 56, 66, 67, 77, 78, 88, 89, 99.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 1 балл.

· За упоминание и доказательство того факта, что из каждого десятка можно выбрать максимум два числа – 1 балл.

· Ответ с примером – 3 балла.

· Ответ с оценкой, но без примера – 5 баллов.

· В этой задаче пример может быть выписан неявно, например, в виде b = a+1, или аналогичное построение описано словами. Надо при этом следить, что учтена особая ситуация в последнем десятке.

· Если нет примера, есть ошибка в оценке (например, забыто, что из последнего десятка можно взять только одно число) – 3 балла.

Задача 5. У алхимика 3 колбы: с ртутью, серой и кислотой. Если смешать одну меру ртути и одну меру другого вещества, то на выходе получится три меры этого вещества. Если смешать меру серы и меру кислоты, получится мера ртути. Для приготовления зелья алхимику необходимо взять 10 мер ртути, 20 мер серы и 30 мер кислоты. А у него есть только 5 мер ртути, 50 мер серы и 10 мер кислоты. Сможет ли алхимик изготовить зелье?

Ответ: да. Решение. Сначала берем 5 мер ртути и 5 мер кислоты, получаем в общей сумме 50 серы, 10–5+15 = 20 кислоты. Теперь из 10 мер серы и 10 мер кислоты получаем 10 мер ртути, итого 10 ртути, 40 серы и 10 кислоты. Теперь берем 10 ртути и 10 кислоты, получаем 30 кислоты. Из 20 мер серы и 20 кислоты получаем 20 ртути, на данный момент имеем 20 ртути, 20 серы и 10 кислоты. На последнем шаге, используя 10 ртути и 10 кислоты, получаем 30 кислоты. В краткой записи

(5, 50, 10)®(0, 50, 20)®(10, 40, 10)®(0, 40, 30)®(20, 20, 10)®(10, 20, 30).

· КРИТЕРИИ. Любой правильный пример – 7 баллов.

· Примеры могут отличаться от вышеприведенного.

· Рассуждения с ответом «нет» или примеры с арифметическими ошибками – 0 баллов.

6 класс, решения и критерии

Задача 1. Библиотекарь выдает Васе пять книг А, Б, В, Г, Д по порядку – сначала А, потом Б и так далее. Выданные книги он складывает в стопку, причем каждую следующую кладет строго сверху. Вася в произвольный момент берет из стопки верхнюю книгу. Оказалось, что четвертой он взял книгу А. Какую книгу он взял пятой?

Ответ: Д. Решение. Книгу А библиотекарь положил самой первой, она лежала в самом низу стопки, поэтому, когда Вася взял книгу А, в стопке не осталось ни одной книги. А он должен взять еще одну, пятую, значит, библиотекарь должен её туда положить. При этом библиотекарь 4 книги уже положил, иначе Васе нечего было бы брать. Поэтому последней он положит книгу Д.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Ответ с пояснением, что после того, как взяли книгу А, на столе ничего не осталось – 4 балла.

Задача 2. Разрежьте фигуру на рисунке на две равные части. Части называются равными, если они совпадают при наложении, разрешается поворачивать и переворачивать фигурки. Разрезать можно и не по линиям сетки.

Ответ: см. рисунок.

· КРИТЕРИИ. Верный рисунок без пояснений – 7 баллов. Если приводится несколько вариантов, то баллы не добавляются.

Задача 3. Две бутылки A и B заполнены водой. Сначала 1/4 воды из A перелили в B , а затем 1/3 воды из B перелили в A, после чего количество воды в них сравнялось. Найдите первоначальное отношение количества воды в этих бутылках.

Ответ: в B в 2 раза больше. Решение. Пойдем с конца. Пусть в итоге количество воды в каждой бутылке x, в сумме в двух бутылках – 2x. Тогда это – две трети того, что было в B, поэтому до второго переливания (и после первого) в B было x:2×3=1,5х, а в А– 0,5x. В то же время в А осталось ¾ от первоначального объема, то есть в самом начале в А было x/2 :3×4 = 2/3 x, тогда в B было 2x–2/3x = 4/3 x, то есть в 2 раза больше, чем в A.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 1 балла.