5 класс, решения и критерии (стр. 4 )

Теперь посмотрим на нижнюю строчку. Разность в ней равна ((1,5–d)–(2d+6))/3 = (–4,5–3d)/3 = –1,5–d. Но тогда число в клетке, отмеченной звездочкой, равно 1,5–d–(–1,5–d) = 3.

Все клетки, которые упомянуты в решении, находятся в итоговой таблице

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования и примера -1 балл.

· Ответ без обоснования, но с каким-либо правильным примером – 2 балла.

· Решение на конкретном примере, даже если рассуждения верны, но изначально берется конкретное число – 2 балла.

· Арифметические ошибки в преобразованиях, приведшие к неверному ответу ( в том числе не сократится d) – 3 балла.

· Факт, что любой член арифметической прогрессии является средним арифметическим своих соседей, считается известным (использование этого факта может сократить вычисления).

· За лишние вычисления и другие восстановленные значения баллы не снимаются.

· Если вместо вычислений приведена итоговая таблицы, где есть все необходимые значения, за решение ставится 6 баллов, если не упомянуты разности прогрессий, и 7 баллов, если они где-то в решении хотя бы записаны.

11 класс, решения и критерии

4	1	2	3	4
4	1	2	3	4
2	3	4	1	2
2	3	4	1	2
4	1	2	3	4

Задача 1. Вася закрашивает клетки квадрата 5´5 . Он хочет, чтобы для каждой клетки все соседние (имеющие с ней общую сторону) были закрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов он должен использовать? Приведите пример раскраски и обоснуйте, почему меньшим количеством цветов не обойтись.

Ответ: 4. Решение. Понятно, что раз есть клетка, у которой 4 соседа, то меньше чем четырьмя цветами не обойтись. Пример раскраски в 4 цвета – см. рис.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 1 балл.

· Ответ и оценка на 4 – 2 балла.

· Ответ и пример раскраски – 5 баллов.

Задача 2. На реке А пловец, плывя по течению, проплывает некоторое расстояние за 18 минут, а обратно – ровно за 1 час. На реке Б, течение в которой немного медленнее, оказалось, что точно такое же расстояние он, плывя по течению, проплывает за 20 минут. Сколько ему времени потребуется, чтобы вернуться обратно?

Ответ: 45 минут. Решение. Примем расстояние, которое надо проплыть, за S (можно принять его за 1). Скорость пловца обозначим за v, скорости рек – a и b соответственно. Время будем измерять в минутах. Тогда S/(v+a) = 18, откуда v+a = S/18, аналогично v–a = S/60. Сложив оба равенства и поделив на 2, получим, что . С другой стороны, v+b = S/20, поэтому b = S/20–13S/360 = S/–13) = 5S/360 = S/72. Нам же нужно найти величину S/(v–b). v–b = 13S/360–S/72 = 8S/360 = S/45, откуда получаем ответ.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Арифметические ошибки, которые не повлияли на ход решения (но могли привести к неверному ответу) – снимается 2 балла. Точно так же оцениваются ошибки с единицами измерения в этой задаче.

· Если время, затраченное на путь в стоячей воде (то есть с собственной скоростью пловца) считается как среднее арифметическое ( а не гармоническое, как в задаче) от времени туда и времени обратно, то за такое «решение» ставится 0 баллов ( это не арифметическая, а грубая логическая ошибка.)

· Верно составленная, но не решенная система уравнений – 3 балла

Задача 3. Известно, что sin b = tg α, а tg b = cos α. Найдите все такие α и b, если 0≤α, b≤p/2.

Ответ: , b . Решение. Заметим, что, так как рассматриваются тангенсы углов, то α, b¹p/2. Далее, cos b = sin b/ tg b = tg α/cos α. Теперь запишем основное тригонометрическое тождество 1=sin2b+cos2b = tg2α +( tg α/cos α)2 = tg2α×(1+1/cos2α) = tg2α (2+tg2α). Обозначив tg2α за х, получаем уравнение x(2+x) =1, или, что то же самое, x2+2x–1=0, откуда, учитывая, что x>0, отбираем корень Отсюда, с учетом того, что оба угла лежат в I четверти, получаем ответ

· КРИТЕРИИ. Ответ без каких-либо обоснований – 2 балла.

· Ответ без учета первой четверти ( с периодом или с попаданием в IV четверть) – снимается 2 балла.

· Арифметические ошибки при правильном ходе решения – снимается 2 балла.

Задача 4. На медиане BD треугольника ABC выбрана такая точка E, что AE=BC. Прямая AE пересекает сторону BC в точке F. Докажите, что BF=FE.

Решение. Пусть ÐAED = ÐBEF =α, ÐADE = b, тогда ÐBDC= 180°–b. Запишем теорему синусов для треугольника AED. AE/sin b = AD/sin α. Так как AE = BC и AD = CD, получаем, что BC/sin b = CD/sin α. Запишем теперь теорему синусов для треугольника BDC BC/sin(180°–b) = CD/sin ÐCBD. Сравнив два полученных выражения и с учетом того, что sin b= sin (180°–b), получим, что sin ÐCBD = sin α= sin ÐBEF. Эти два угла находятся в одном треугольнике BEF, поэтому не могут в сумме составлять 180°, значит, они равны. Получаем, что ÐBEF = ÐFBE, откуда BF = EF.

· КРИТЕРИИ. Возможны другие решения, не через теорему синусов.

· Если из равенства синусов двух углов сразу делается вывод о равенстве самих углов без объяснения, почему они в сумме не могут давать 180°, снимается 2 балла.

	0
2
			3
		1

Задача 5. Дана таблица, в которой уже расставлены некоторые числа. Можно ли поставить в каждую пустую клетку некоторое число так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце получилась арифметическая прогрессия?

–d	0	d	2d
2
d+4			3
2d+6		1

Ответ: нет. Решение. Допустим, что в верхней левой клетке таблицы стоит число –d. Тогда разность арифметической прогрессии в верхней строке равна d, и верхняя строчка выглядит как –d, 0, d, 2d. Чтобы вычислить разность прогрессии в правом столбце, вычтем из 3 число 2d и разделим пополам, получив 1,5–d. Тогда число в нижней правой клетке равно 3+1,5–d = 4,5–d.

Теперь пойдем другим путем и рассмотрим теперь левый столбец. Разность в нем равна 2+d, поэтому число в нижней левой клетке равно 2+2×(2+d) = 2d+6. Теперь посмотрим на нижнюю строчку. Разность в ней равна (1–(2d+6))/2 = (–5–2d)/2 = –2,5–d. Но тогда число в правой нижней клетке равно 1–(–2,5–d) = 3,5–d.

Таким образом, должно выполняться равенство 4,5–d = 3,5–d, что невозможно.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования и примера – 0 баллов.

· Решение на конкретном примере, даже если рассуждения верны, но изначально берется конкретное число – 2 балла.

· В решении присутствуют части верных вычислений (например, верно вычислено значение правой нижней клетки, исходя из верхней строки и правого столбца), остальное неверно или отсутствует – 4 балла

· Арифметические ошибки при вычислениях при верном ходе решения – снимается 2 балла.

· Факт, что любой член арифметической прогрессии является средним арифметическим своих соседей, считается известным (использование этого факта может сократить вычисления).

· За лишние вычисления и другие восстановленные значения баллы не снимаются.