5 класс, решения и критерии (стр. 3 )

Ответ: 14 вариантов. Решение. Если он взял первой книгу 4, то книги 1,2 3, причем в обратном порядке, поэтому и брать он их мог только в таком порядке. После 4 книги появятся 5 и 6 книги, причем Вася сначала может взять 5, а потом – 6, или наоборот. Рассмотрим случай, когда он сначала возьмет 6. Тогда под ней сразу лежит книга 5, так как книги 1, 2, 3, лежали раньше, их поднять было нельзя. Таким образом, мы получаем варианты 4(65)321, 43(65)21, 432(65)1, 4321(65).

Теперь рассмотрим случай, когда он сначала взял 5, потом – 6. Понятно, что 5 книгу библиотекарь мог положить в любой момент, а книгу 6- - в любой последующий момент. Итого в варианте 45321 вставить книгу 6 можно в 4 разных места ( 453216), в варианте 43521 – в три места, в 43251 – в два места, и в последнем варианте 43215 для книги 6 осталось только последнее место. Итого 4+3+2+1 = 10 вариантов. И еще 4 варианта, которые рассмотрены выше.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Просто полное перечисление вариантов без обоснований – 5 баллов.

· При переборе вариантов случайно пропущен один случай, причем аналогичный ему рассмотрен, или есть арифметические ошибки при сложении, описки – 6 баллов.

· Упущены существенные случаи – 3 балла.

Задача 4. На сторонах правильного шестиугольника во внешнюю сторону построены 6 квадратов. Докажите, что 12 новых вершин образуют правильный 12-угольник.

Решение. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника составляет 180°×(6–2)/6=120°, а правильного 12-угольника 180°×(12–2)/12=150°. Заметим, что ÐB1A1B2 = 360°–ÐA6A1A2–ÐA6A1B1–ÐA2A1B2 = 360°–120°–90°–90° = 60°. Заметим также, что A6A1=A1B1 = A1A2 = A1B2, поэтому треугольник B1A1B2 – равнобедренный с углом при вершине в 60°, поэтому он равносторонний, B1B2=A1B1=B12B1. Аналогично равны все остальные стороны 12-ти угольника.

Кроме того, ÐB12B1B2 = ÐB12B1A1 +ÐA1B1B2 = 90°+60° = 150°, что равно углу правильного 12-ти угольника. Аналогично со всеми остальными углами.

· КРИТЕРИИ. Если доказано или только то, что у 12-ти угольника все стороны равны, или то, что все углы равны - 3 балла.

· Арифметические ошибки про подсчете углов шести - и 12-ти угольников – 5 баллов. Если же при этом из-за арифметической ошибки решение не сошлось, то все равно ставится 5 баллов.

· Аналогично предыдущему пункту, но при этом ошибка в формуле для подсчета углов – 4 балла.

Задача 5. Натуральные числа от 1 до 100 выписаны по одному на карточках. Вася составляет наборы из трех карточек так, чтобы в каждом наборе одно из чисел равнялось произведению двух других. Какое наибольшее количество таких наборов могло получиться у Васи? Приведите пример и докажите, что большее количество получит невозможно.

Ответ: 8 наборов. Решение. Допустим, что мы получили более 9 таких наборов. Так как однозначных чисел всего лишь 9, то в каком-то наборе все числа не меньше 10, значит, если взять два наименьших из них, то они не меньше 10 и 11 соответственно. Но в этом случае их произведение не меньше 110, а третье число не более 100. Противоречие.

Если же наборов ровно 9, то в каждом из них есть ровно одно однозначное число, причем оно участвует в произведении. Значит, в каком-то наборе есть число 1. Но тогда остальные два числа из этого набора должны быть равны, а у нас каждое число участвует в произведении ровно один раз.

Пример 8 наборов. (2, 18, 36); (3, 17, 51); (4, 16, 64); (5, 15, 75); (6, 14, 84); (7, 13, 91); (8, 12, 96); (9, 11, 99).

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 1 балла.

· Ответ и правильный пример (он не обязательно должен совпадать с приведенным) – 3 балла.

· Пример может быть приведен словесным описанием, например, 9 и 11, 8 и 12 и так далее по возрастанию двузначных чисел.

· Если в описании примера не проверено, что каждое произведение меньше 100 ( например, такие слова « в каждом наборе есть одно однозначное число, к нему всегда можно подобрать двузначное, чтобы всё сошлось») – снимается 1 балл.

· Оценка того, что 10 и более наборов быть не может – 2 балла (баллы могут суммироваться с баллами за ответ и пример).

· Оценка того, что 9 наборов быть не может или в каком-то контексте замечание того, что 1 не может участвовать в наборе – 2 балла.

10 класс, решения и критерии

Задача 1. Найдите такое минимальное натуральное число N, что 99N записывается с помощью одних единиц.

Ответ: N = . Решение. Число 99N должно делиться на 9, поэтому число единиц в нем должно быть кратно 9. Кроме того, это число должно делиться на 11, значит, знакопеременная сумма цифр должна быть кратна 11. Так как все цифры равны, то знакопеременная сумма должна быть равна 0, то есть в числе – четное количество цифр. Минимальное такое число состоит из 18 единиц. Делим его на 99 столбиком, получаем ответ.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования – 2 балла.

· Обоснование минимальности (того, что в 99N 18 цифр), далее сразу записан ответ без деления столбиком или иного способа получения ответа – 6 баллов.

· Арифметические ошибки при делении (возможно при этом получение неверного ответа) – снимается 2 балла.

· Обоснование того, что количество единиц делится на 9, т. е. применение признака делимости на 9 (отдельно от остальных достижений в решении) – 2 балла

· Обоснование того, что количество единиц четно, т. е. применение признака делимости на 11 (отдельно от остальных достижений в решении) – 3 балла.

· Возможно, решение с конца восстановлением последовательно каждой цифры. Если в этом процессе появились арифметические ошибки, которые повлияли на итоговый ответ = 3 балла.

O

Задача 2. Даны две окружности разного радиуса, но с общим центром. В большей из них провели хорду, которая оказалась касательной для меньшей окружности. Найдите площадь кольца между окружностями, зная, что длина этой хорды равна 10.

Ответ: 25p. Решение. Пусть О – общий центр обеих окружностей, A – точка касания хорды, В – один из концов хорды. Тогда AOB – прямоугольный треугольник, причем AO = r, BO = R, AB2 = BO2–AO2 = R2–r2. С другой стороны, AB – ровно половина хорды (чтобы это доказать, надо провести радиус к другому концу хорды B1, а далее равенство прямоугольных треугольников AOB и AOB1 следует из общего катета AO и равенства гипотенуз). Значит, AB2 = R2–r2= 25. Найдем разность площадей кругов pR2–pr2 =25p.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснования = 2 балла.

· Факт, что точка касания является серединой хорды, считать известным и не требующим доказательства.

Задача 3. Слесарь обработал металлическую заготовку таким образом, что она сохранила форму параллелепипеда, но уменьшилась в размерах. Оказалось, что площадь одной грани уменьшилась на 28%, другой – на 37%, а третьей – на 44%. На сколько процентов уменьшился объём заготовки?

Ответ: 49,6%. Решение. Пусть измерения параллелепипеда равны a, b, c. Тогда площади его граней равны ab, bc, ac, а объём – abc. С другой стороны, , то есть , где S1, S2, S3 – площади трех взаимно перпендикулярных граней. Заметим, что = 0,504V, откуда получаем, что объём уменьшился на 49,6%.

· КРИТЕРИИ. Верный ответ без обоснования – 2 балла.

· Верное решение, ответ записан с округлением до целых – снимается 1 балл.

· Арифметические ошибки при подсчетах – снимается 2 балла.

· Проценты берутся от других величин – 0 баллов.

· Формулу можно применять без доказательства.

Задача 4. Найдите все решения уравнения x2+y2+|x+y|=x+y–0,5.

Ответ: решений нет. Решение. Перенесем всё в левую часть, и 0,5 представим как 0,52+0,52. Получим x2–x+0,52+y2–y+0,52+|x+y|= (x–0,5)2+(y–0,5)2+|x+y|=0. Так как все три слагаемых неотрицательны, то равенство возможно тогда и только тогда, когда они все три равны нулю. Но тогда x=0,5, y = 0,5, в этом случае |x+y| = 1 ¹ 0, поэтому решений нет.

· КРИТЕРИИ. Ответ без обоснований – 1 балл.

	0
2
			1
		*

Задача 5. Все клетки таблицы 4´4 заполнили числами так, что в каждой строке и в каждом столбце получилась арифметическая прогрессия. На рисунке показано, как заполнены три клетки. Какое число должно стоять в клетке, отмеченной звездочкой?

–d	0	d	2d
2
d+4			1
2d+6		3	1,5–d

Ответ: 3. Решение. Допустим, что в верхней левой клетке таблицы стоит число –d. Тогда разность арифметической прогрессии в верхней строке равна d, и верхняя строчка выглядит как –d, 0, d, 2d. Тогда, чтобы вычислить разность прогрессии в правом столбце, вычтем из 1 число 2d и разделим пополам, получив 0,5–d. Тогда число в нижней правой клетке равно 1+0,5–d = 1,5–d. Рассмотрим теперь левый столбец. Разность в нем равна 2+d, поэтому число в нижней левой клетке равно 2+2×(2+d) = 2d+6.