Наименование дисциплины: Линейная алгебра
Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Автор: д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и математической логики .
1. Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является обеспечение фундаментальной подготовки в одной из основных областей современной математики, освоение языка и методов одного из наиболее мощных инструментов современной математики. Курс лежит в основе большей части численных методов алгебры, имеющих применение во многих областях естествознания. Его главной задачей является обучение основным методам решения алгебраических задач, ознакомление с историей развития линейной алгебры и вкладом в неё российских математиков.
Основная задача дисциплины – научить студентов пониманию языка линейной алгебры, воспитанию культуры вычислений с помощью матричной алгебры, умениям применять основной аппарат линейной алгебры в различном контексте, в том числе в полях положительной характеристики. Вместе с тем предполагается более глубокое освоение геометрических методов, лежащих в основе математической интуиции, скрепляющей содержание курса и являющейся базой для дальнейшего развития содержания дисциплины в специальных курсах.
2. Дисциплина входит в базовую часть цикла Б3.Б5профессиональных дисциплин.
Дисциплина «Линейная алгебра» – одна из основных дисциплин цикла «Общепрофессиональные дисциплины» Учебного плана по специальности «Математика и компьютерные науки». Она обеспечивает приобретение знаний в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов, содействует фундаментализации математического образования, формированию научного мировоззрения, логического мышления.
Она относится к числу основных разделов современной математики. Знание основ дисциплины является важной составляющей общей математической культуры выпускника. Знания дисциплины нужны как при проведении теоретических исследований в области математики и ее приложений, так и при решении практических задач в информатике, программировании, математической экономики, математической лингвистике, обработке сигналов и изображений, дифференциальных уравнений, криптографии. Для понимания необходимы лишь знание модуля «Алгебра» и знаний и умений, приобретенных в результате освоения школьного курса математики.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основные свойства линейных алгебраических структур;
основы теории линейных операторов, их спектральные характеристики;
линейное векторное пространство, сопряжённое пространство;
классификацию билинейных форм;
классификацию квадрик в аффинном и проективном пространствах;
метрические характеристики пространств, эрмитово и евклидово пространства.
Уметь:
решать задачи с помощью методов линейной алгебры;
находить канонический вид линейного оператора, в частности, Жорданову нормальную форму;
находить канонический вид матрицы билинейной формы, применять классификацию квадрик, в частности, распознавать свойства квадрики по её уравнению;
работать с понятиями факторпространства, ядра и образа оператора, фактороператора;
применять матричное исчисление для решения различных задач линейной алгебры.
Владеть:
математическим аппаратом линейной алгебры, методами доказательств утверждений в этой области, основными алгоритмами линейной алгебры, навыками исследования основных моделей линейной алгебры.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов.
5. Содержание дисциплины:
№ п/п | Раздел дисциплины |
1 | Предмет и методы линейной алгебры. Некоторые проблемы. Краткий исторический очерк. Основные периоды развития линейной алгебры. Группы и геометрии. Клейна. Место алгебры в системе математического знания. Алгоритмические вопросы линейной алгебры |
2 | Пространства и формы Векторные пространства. Определения. Примеры векторных пространств. Геометрическая интерпретация. Линейные оболочки. |
3 | Подпространства. Размерность векторного пространства и базис. Координаты. Изоморфизм линейных векторных пространств. |
4 | Сумма и пересечение подпространств. Размерность прямой суммы. Факторпространства |
5 | Линейные функционалы Линейные функционалы. Двойственное пространство и двойственный базис. |
6 | Рефлексивность. Пространство решений однородной системы линейных уравнений и линейные функционалы. |
7 | Полилинейные отображения. Билинейные формы. Задание билинейных отображений матрицами. |
8 | Связь между матрицами билинейного отображения в различных базисах. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы |
9 | Квадратичные формы. Полярная билинейная форма. Приведение симметрической квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. |
10 | Закон инерции квадратичных форм. Метод Якоби приведения невырожденной квадратичной формы к каноническому виду. Вещественные квадратичные формы. Положительно определённые квадратичные формы и матрицы. Критерий Сильвестра. |
11 | Кососимметрические квадратичные формы. Их классификация. Пфаффиан |
12 | Линейные отображения и действия над ними Линейные отображения и их матрицы. Ядро и образ линейного отображения. Определение и примеры линейных операторов. Размерность пространства линейных отображений одного пространства в другое. |
13 | Алгебра линейных операторов. Матрица линейного отображения в разных базисах |
14 | Ранг линейного оператора. Подобие матриц. Определитель и след линейного оператора. Критерии невырожденности линейного оператора. |
15 | Инвариантные подпространства. Примеры. Характеристический многочлен. Собственные векторы. Проблема собственных значений. Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора |
16 | Каноническая форма матрицы линейного оператора. Понятие о теореме Гамильтона-Кэли (частные случаи). Фактороператор и факторпространство. Теорема о треугольной форме. |
17 | Нильпотентный оператор. Теорема о представлении оператора в виде суммы нильпотентного и невырожденного. Теорема Гамильтона-Кэли (общий случай). Теорема о существовании жордановой нормальной формы для нильпотентного оператора Жорданова нормальная форма. Жорданова клетка. Корневые подпространства. Существование разложения в сумму корневых подпространств. Теорема о жордановой нормальной форме. Алгоритм нахождения жордановой нормальной формы. Форма Фробениуса. Размерность пространства F[A]. Другие подходы к жордановой нормальной форме. |
18 | Алгоритм нахождения жордановой нормальной формы. Форма Фробениуса. Размерность пространства F[A]. Другие подходы к жордановой нормальной форме |
19 | Векторные пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства Основные метрические понятия. Неравенство Коши-Буняковского. Его следствия. Теорема о существовании ортонормированного базиса. |
20 | Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Изоморфизм евклидовых пространств. Ортонормированные базисы и орто-нормированные матрицы. Симплектические пространства |
21 | Эрмитовы пространства и формы. Метрические соотношения. Ортогональность. Унитарные матрицы. Нормированные векторные пространства |
22 | Сопряжённый оператор. Линейность оператора, сопряжённого к линейному. Свойства операции сопряжения. Матрица сопряжённого и самосопряжённого оператора. Критерий равенства операторов на языке скалярных произведений. |
23 | Важные специальные классы линейных операторов и их приложения. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряжённого оператора. |
24 | Приведение квадратичной формы к главным осям. Матричная формулировка. Нормальный оператор. Канонический вид изометрий. |
25 | Спектральная теорема для нормального оператора. Теорема о разложении невырожденного оператора в произведение положительно определённого и ортогонального |
26 | Комплексификация и овеществление. Введение комплексной структуры на вещественном пространстве (комплексификация). Овеществление |
27 | Норма оператора. Свойства нормы. Связь между различными нормами. Ограниченность линейного оператора на конечномерном векторном пространстве. Функции от матриц и операторов |
28 | Аффинные и евклидовы точечные пространства Общие свойства. Определение аффинного пространства. Примеры. Изоморфизм аффинных пространств. Координаты. Аффинные подпространства. |
29 | Барицентрические координаты. Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений. Параметрическое задание плоскости. Взаимное расположение плоскостей |
30 | Евклидовы точечные пространства. Евклидова метрика. Расстояния и углы. Теорема Пифагора. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между плоскостями. Случай един-ственности перпендикуляра. Расстояние от точки до плоскости. |
31 | Объём параллелепипеда. Индефинитная метрика. Псевдоевклидовы пространства. Группа Лоренца. Аффинная группа. Группа изометрий. |
32 | Выпуклое множество. Теорема о выпуклой оболочке. Максимум линейной функции на выпуклом многограннике. Задача линейного программирования. Идея Левина-Хачияна |
33 | Квадратичные функции на аффинном пространстве. Центральные точки для квадратичной функции. Приведение квадратичной функции к каноническому виду. Квадратичные функции на евклидовом пространстве. |
34 | Квадрики. Центр квадрики. Канонические уравнения квадрик. Квадрики в евклидовом пространстве. |
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература:
1.Кострикин в алгебру. Линейная алгебра. М.: Физико-математическая литература, 2000, 2004.
2.Проскуряков задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984,2002,2003.
б) дополнительная литература:
1.Винберг алгебры. М.: Факториал, 1999.
2.Гельфанд по линейной алгебре.-- 5-е изд. М.: Наука, 1998
3.Кострикин в алгебру. М.: Наука, 1977.
4.Мальцев линейной алгебры. М.: Наука, 1956.
5.Сборник задач по алгебре./Под редакцией . М: Факториал, 1995.
6. К, Соминский задач по линейной алгебре. М: Наука, 1987.
7. Геометрическая алгебра. М.: Мир, 1970.
8., Манин алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
9.Прасолов и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1991.
10. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.
11. Алгебраическая алгоритмика /под ред. . М: Мир, 1999.
12.Фаддеев по алгебре. М: Наука, 1984.
13., Фаддеева методы линейной алгебры.
14.Халмош векторные пространства. М.: Мир, 1970.
15.Шилов в теорию линейных пространств. М.: Наука, 1956.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://mech. math. msu. su/department/algebra
