Содержание разделов дисциплины
Алгебра.
1. Элементарные функции и тождественные преобразования выражений.
Элементарные функции: определения, свойства, графики. Различные способы определения элементарных функций. Построение графиков сложных функций.
2. Уравнения и неравенства.
Алгебраические, рациональные, иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Уравнения и неравенства с модулем и параметром.
Показательные, логарифмические уравнения и неравенства с параметрами.
3. Тригонометрия.
Преобразование тригонометрических выражений, доказательство тождеств. Интерпретация формул сложения. Тригонометрические тождества и неравенства для углов треугольника. Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы.
Обратные тригонометрические функции: определения, свойства, графики.
Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями, доказательство тождеств. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями.
Геометрия.
1.Планиметрия.
Аксиомы абсолютной геометрии и следствие из них. Основные планиметрические понятия. Треугольники. Метрические отношения в треугольнике. Площадь треугольника. Теоремы Стюарта, Чевы, Менелая.
Четырехугольники. Метрические отношения в четырехугольниках. Площади плоских фигур.
Окружность. Центральные, вписанные углы. Углы между хордами, секущимися и касательными.
Вписанные и описанные многоугольники. Теорема Птолемея.
Вневписанные окружности.
Геометрические построения на плоскости.
2. Стереометрия.
Аксиомы стереометрии. Основные понятия стереометрии.
Взаимное расположение прямых и плоскостей. Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.
Перпендикулярность прямых в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах. Скрещивающиеся прямые.
Многогранные углы. Теоремы косинусов и синусов для трехгранных углов. Признаки равенства трехгранных углов. Необходимое и достаточные условия существования трехгранных углов.
Многогранники, их свойства. Сечения выпуклых многогранников. Поверхности и объемы многогранников.
Тела вращения. Поверхности и объемы тел вращения.
Комбинации геометрических тел.
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Методические рекомендации преподавателю
По каждой теме дисциплины предполагается проведение аудиторных занятий и самостоятельной работы: чтение лекций, решение задач, разработки реферативных сообщений, вопросы для контроля знаний..
Для подготовки студентов к практическим занятиям преподаватель должен определить основные вопросы, проблемы, задачи, выносимые на обсуждение, рекомендовать дополнительную учебную и периодическую литературу, рассказать о порядке и методике их проведения.
Методы проведения практических занятий весьма разнообразны. Наиболее распространенными являются: решение задач и упражнений, вопросно-ответные, дискуссионные (поиск решения задач), научных сообщений по отдельным вопросам темы, реферирование, решение тестов, выполнение контрольных работ и другие.
Важное место занимает подведение итогов практических занятий: преподаватель должен не только раскрыть теоретическое значение изучаемой темы, но и выделить основные методы решения задач, приложение данных вопросов в школьном курсе математики.
Методические рекомендации студенту
В соответствии с учебным планом соответствующей специальности дисциплина «Элементарная математика» изучается студентами заочного отделения в 5-11 семестрах.
Успешное изучение курса требует от студентов посещения лекций, активной работы на практических занятиях, выполнения всех учебных заданий преподавателя, ознакомления с базовыми учебниками, основной и дополнительной литературой.
Запись лекции - одна из форм активной самостоятельной работы студентов, требующая навыков и умения кратко, схематично, последовательно и логично фиксировать основные положения, выводы, обобщения, формулировки. В конце лекции преподаватель оставляет время (5 минут) для того, чтобы студенты имели возможность задать уточняющие вопросы по изучаемому материалу.
Лекции имеют в основном обзорный характер и нацелены на освещение наиболее трудных вопросов, а также призваны способствовать формированию навыков работы с научной литературой. Предполагается также, что студенты приходят на лекции, предварительно проработав соответствующий учебный материал по источникам, рекомендуемым программой.
Практическое занятие - важнейшая форма самостоятельной работы студентов над научной, учебной и периодической литературой. Именно на практическом занятии каждый студент имеет возможность проверить глубину усвоения теоретического материала, показать умения решать задачи по определенным темам. Работа на практическом занятии позволяет студенту соединить полученные теоретические знания с решением конкретных задач.
Практические занятия в равной мере направлены на совершенствование индивидуальных навыков решения теоретических и прикладных задач, выработку навыков интеллектуальной работы, а также ведения дискуссий. Конкретные пропорции разных видов работы в группе, а также способы их оценки, определяются преподавателем, ведущим занятия.
Основным методом обучения является самостоятельная работа студентов с учебно-методическими материалами, научной литературой.
Основной формой итогового контроля и оценки знаний студентов по дисциплине «Элементарная математика» является экзамен в 8 и 11 семестрах.
Перечень примерных контрольных вопросов и заданий
для самостоятельной работы.
1. Задачи олимпиадного характера, основанные на применении основного свойства простого числа.
2. Возвратные, симметрические уравнения.
3. Классические неравенства.
4. Критерий обращения обыкновенной дроби в конечную, чисто периодическую и смешанную периодическую q-ичную дробь.
5. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.
6. Комбинаторные тождества.
7. Подобие треугольников, выпуклых многоугольников.
8. Теорема Ван-Обеля.
9. Геометрические построения на плоскости и в пространстве.
10. Правильные многогранники.
11. Теорема Эйлера для многогранников.
12. Сечения выпуклых многогранников.
13. Площади поверхностей и объемов сферы и ее частей.
14. Диофантовы уравнения.
15. Основная теорема арифметики и следствия из нее.
16. Алгоритм Евклида и его приложения.
17. Признаки делимости в различных системах счисления.
18. Задачи на составление уравнений, неравенств.
19. Классические неравенства и неравенства, связанные с ними.
Примерный перечень вопросов к экзамену 8 семестра.
1. Понятие системы счисления. Позиционная система счисления. Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Конечные и бесконечные систематические дроби.
2. Равносильность уравнений, уравнение - следствие данного уравнения. Теоремы равносильности.
3. Основные методы решения уравнений. Теоремы, обосновывающие эти способы решения. Функциональные уравнения.
4. Модуль, свойства модуля. Построение графиков функций, аналитические выражения которых содержат модуль.
5. Свойства суммы, произведение четных (нечетных), возрастающих (убывающих) функций.
6. Функции: y = ax4 +bx2 + c; y = x
; y = ax3 +bx2 +cx + d.
7. Показательная, логарифмическая, тригонометрические функции.
8. Формулы тригонометрии. Интерпретация формул сложения. Тригонометрические функции суммы трех слагаемых.
9. Тригонометрические тождества и неравенства для углов треугольника.
10. Обратные тригонометрические функции.
Примерный перечень вопросов к экзамену 11 семестра.
1. Решение линейных уравнений и неравенства с параметрами.
2. Решение квадратных уравнений и неравенства с параметрами.
3. Решение дробно-рациональных уравнений и неравенства с параметрами.
4. Решение иррациональных уравнений и неравенства с параметрами.
5. Решение уравнений и неравенства с параметрами, содержащих модуль.
6. Решение линейных уравнений и неравенства с параметрами.
7. Преобразования графиков функций.
8. Построение графиков сложных функций.
9. Системы неравенств с двумя переменными.
10. Решение систем неравенств с двумя переменными.
11. Построить графики функций:
а) 
б) 
Примерная тематика рефератов
1. Принцип Дирихле и его применение при решении задач.
2. Элементы теории графов в задачах.
3. Метод математической индукции и его применение.
4. Геометрические задачи на максимум и минимум.
5. Прогрессии.
6. Комбинаторные задачи в геометрии.
7. Геометрические неравенства.
8. Математические фокусы в задачах.
9. Задачи математических олимпиад.
10. Построение графиков сложных функций.
11. Пифагоровы тройки и треугольные числа.
12. Функциональные уравнения.
Перечень примерных контрольных заданий для зачета 5 семестра
Вычислить:
, если 
Доказать: 
Равносильны ли уравнения: 
и 
а) 
б) 
в) 
6. Решить неравенства:
а) 
б) 
в) 
7. Найти область определения функции: 
Примерный перечень вопросов к зачету 7 семестра.
1. Тождества, содержащие обратные тригонометрические функции.
2. Треугольники, метрические отношения в треугольниках, площадь треугольника.
3. Теоремы Стюарта, Чевы, Менелая.
4. Четырехугольники, метрические отношения в четырехугольниках. Площади четырехугольников.
5. Окружность. Центральные, вписанные углы. Углы между хордами, секущими и касательными.
6. Вписанные и описанные многоугольники. Теорема Птолемея.
7. Вневписанные окружности.
Примерный перечень вопросов к зачету 9 семестра.
1. Параллельность прямых.
2. Параллельность прямой и плоскости.
3. Параллельность плоскостей.
4. Скрещивающиеся прямые.
5. Перпендикулярность прямых.
6. Перпендикулярность прямой и плоскости.
7. Перпендикулярность плоскостей.
8. Двугранные углы.
9. Трехгранные углы.
10. Многогранники.
11. Тела вращения.
Критерии оценки знаний студентов на экзамене
Оценки "отлично" заслуживает студент, обнаруживший всестороннее и глубокое знание учебно-программного теоретическое материала, умение свободно решать задачи, предусмотренные программой: усвоивший основную литературу и знакомый с дополнительной литературой, рекомендованной программой. Как правило, оценка "отлично" выставляется студентам, усвоившим взаимосвязь основных понятий дисциплины в их значении для приобретаемой профессии, проявившим творческие способности в понимании, изложении и использовании учебно-программного материала.
Оценки "хорошо" заслуживает студент, обнаруживший полное знание учебно-программного теоретического материала, успешно решающий предусмотренные в программе задачи, усвоивший основную литературу, рекомендованную в программе. Как правило, оценка "хорошо" выставляется студентам, показавшим систематический характер знаний по дисциплине и способным к их самостоятельному пополнению и обновлению в ходе дальнейшей учебной работы и профессиональной деятельности.
Оценки "удовлетворительно" заслуживает студент, обнаруживший знания основного учебно-программного теоретического материала в объеме, необходимом для дальнейшей учебы и предстоящей работы по специальности, справляющийся с решением задач, предусмотренных программой, знакомый с основной литературой, рекомендованной программой. Как правило, оценка "удовлетворительно" выставляется студентам, допустившим погрешности в ответе на экзамене и при решении экзаменационных заданий, но обладающим необходимыми знаниями для их устранения под руководством преподавателя.
Оценка "неудовлетворительно" выставляется студенту, обнаружившему пробелы в знаниях основного учебно-программного теоретического материала, допустившему принципиальные ошибки в решении предусмотренных программой задач. Как правило, оценка "неудовлетворительно" ставится студентам, которые не могут продолжить обучение или приступить к профессиональной деятельности по окончании вуза без дополнительных занятий по соответствующей дисциплине.
Критерии оценки знаний студентов на зачете
1. Оценка «зачтено» выставляется студенту, который
- прочно усвоил предусмотренный программный материал;
- правильно, аргументированно ответил на все вопросы;
- показал глубокие систематизированные знания, владеет приемами решения
нестандартных задач;
- правильно решает задачи олимпиадного уровня.
Дополнительными условиями получения оценки «зачтено» могут стать хорошие результаты при выполнении самостоятельных, контрольных работ, активная работа на семинарских занятиях, успешное участие в предметной олимпиаде по элементарной математике.
2. Оценка «не зачтено» выставляется студенту, который не справился с 50% вопросов и задач билета, в ответах на другие вопросы допустил существенные ошибки. Студент не может ответить на дополнительные вопросы, предложенные преподавателем.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1.Харди, Неравенства [Текст] / Г. Харди ; , Г. Полиа; пер. с англ. ; с доп. , . - 3-е изд. - М. : КомКнига : УРСС, 20с. - Список лит.: с. 442-456. - ISBN -1 : 333.00.(Библиотека университета).
2., Неравенства. Методы доказательства. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://knigafund.ru / books55410.)
3. Элементарная математика. Часть 1: Теория чисел. Алгебра: Учебное пособие для старшеклассников и абитуриентов.
Издательство: Издательство МГУ, 2010 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://knigafund.ru / books55410.)
Дополнительная литература
1.Быльцов, Сергей Федорович.Занимательная математика для всех [Текст] / . - СПб. : Питер, 20,[2] с. : ил. - ISBN -1 : 92.00.
(Библиотека университета).
2.Глухова, Людмила Уриковна. Практикум по решению задач элементарной математики [Текст] : (пособие для студентов физ.-мат. факультета) / ; ; Ульян. гос. пед. ун-т им. . - Ульяновск : УлГПУ, 20с. - ISBN -204-6 : 50.00. (Библиотека университета).
3. Ионова математика: Учебно-методические материалы для
студентов физико-математического факультета. – Ульяновск: УГПУ им. , 2006. (Библиотека университета)
4. Ионова математика: Учебно-методические материалы для
студентов физико-математического факультета. – Ульяновск: УГПУ им. И. Н.
Ульянова, 2010. (Библиотека университета)
5.Гусев, Валерий Александрович. Практикум по элементарной математике. Геометрия [Текст] : учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. / ; , , . - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Просвещение, 19[1] с. : ил. - ISBN -6 : 17.00. (Библиотека университета).
6.Математика. ЕГЭ 2008.Типовые тестовые задания [Текст] : 10 вариантов решений, ответы и решения, бланки ответов, критерии оценок : [для общ. и проф. образования] / . , , . - М. : Экзамен, 2008. – 78c.
7.Попов, Г. Н. Исторические задачи по элементарной математике [Текст] / . - 2-е изд. - М. : Вузовская книга, 20,[1] с. : ил. - ISBN -8: 244.50.(Библиотека университета)
8.Шарыгин, Игорь Федорович. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами [Текст] / ; . - : Астрель ; : АСТ, 20,[1] с. : ил. - ISBN -2 : 74.00. (Библиотека университета).
9.Нестандартные и олимпиадные задачи по неэлементарной и высшей математике: Учебное пособие Издательство: МИСиС, 2004 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://knigafund.ru / books55410.)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
