Научный раздел (стр. 6 )

, (2.26)

Разобьем диапазон значений выборки (ранжированный ряд) на интервалы. Величину интервала h определим по формуле Стержесса

, (2.27)

где У max, Уmin – максимальный и минимальный элементы выборки;

n – объем выборки.

Величина интервала округляется до значений, кратных цене деления измерительного инструмента. Результаты расчетов приведены в таблице 2.11.

Таблица 2.11

Границы интервалов

Границы интервалов, мм	Частота попадания в интервал, mi	Относительная частота, Рi
1,38 – 1,4	23	0,122
1,4 – 1,42	17	0,09
1,42 – 1,44	15	0,079
1,44 – 1,46	35	0,186
1,46 – 1,48	42	0,223
1,48 – 1,50	51	0,271
1,50 – 1,52	5	0,026

Гистограмма распределения границ интервалов представлена на рис. 2.6

Рис.2.6. Гистограмма распределения в границах интервалов

Вывод: в результате статистической обработки данных установлено, что среднее значение шпона, поступающего на участок починки находится в диапазоне 1,44…1,50 мм.

2.9. Определение доверительных границ для математического

ожидания генеральной совокупности

Была взята выборка толщины сухого шпона n=200. После отбрасывания грубых ошибок n=188, среднее арифметическое У=1,4591 мм, среднее квадратическое отклонение S=0,0368, Уmin=1,38; Уmax=1,52.

Определим максимально возможную ошибку ∆ для математического ожидания Му генеральной статистической совокупности производится по формуле

=0,0368/ =0,00268.

1. Определение табличного значения критерия Стьюдента (методом линейной интерполяции) при уровне значимости q =0, 05 для числа степеней свободы выборки f = n- 1 = 188

∆ = 1,96 ∙ 0,00268 = 0,0052.

2.Определение доверительных границ математического ожидания МУ производится по формуле

, (2.28)

1,4591-0,0052=1,4539;

1,4591+0,0052=1,4643;

1,4539 ≤ Му ≤1,4643.

3. Определение параметров Z1 и Z2 для границ доверительного интервала стандарта генеральной совокупности. Для уровня доверительной вероятности р = 0,95 и объема выборки n = 188

z1 = 0,907;

z2 = 1,116.

4.Определение доверительных границ для стандарта генеральной совокупности для уровня доверительной вероятности р = 0,95 и объема выборки n = 188 производится по формуле

, (2.29)

где Z1, Z2 – параметры для определения границ доверительного интервала, определённые по уровню доверительной вероятности р = 1-q и числу замеров n.

5. Определение доверительных границ для стандарта генеральной статистической совокупности

0,0368·0,907=0,0334;

0,0368·1,116=0,0411;

0,0334≤σ ≤0,0411.

2.10. Проверка нормальности распределения

При выполнении многих статистических процедур предполагается, что выходная величина подчиняется нормальному закону распределения. Это предположение можно проверить различными способами. Наиболее строгим из них является применение критерия Пирсона χ2 который рассчитывается по формуле

χ2 = , (2.30)

где mi – частота попадания случайной величины в i-й интервал, i = 1…к;

Pi – вероятность попадания случайной величины Уi в i интервал,

i = 1…к;

n – объём выборки.

Pin –теоретическая частота попадания случайной величины в i-й интервал.

Вероятность Pi того, что случайная величина Уx попадает в интервал от У1 до У2 определяется по формуле:

Pi = Ф(Z2) – Ф(Z1), (2.31)

Z2 = ; Z1 = , (2.32)

Ф(Z) – нормированная функция Лапласа, функция нечётная, т. е.

Ф(-Z) = - Ф(Z).

Теоретическая частота попадания случайной величины У в i-й интервал должна быть не менее пяти. Если для какого-либо интервала Pi * n < 5, такой интервал объединяют с соседним.

Сумма последнего столбца даёт расчётное значение критерия Пирсона .

Из таблиц распределения Пирсона по уровню значимости q и числу степеней свободы f = k – 3 (к – число интервалов, на которые разбита выборка) определяется табличное значение критерия Пирсона . Если < , [4] на данном уровне значимости можно принять гипотезу о том, что выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Расчет критерия Пирсона представлен в табл. 2.12.

=1,4591; S=0,0368; n=188

Таблица 2.12

Расчет критерия Пирсона

Интервал, мм	mi	Z1	Z2	Ф(Z1)	Ф(Z2)	Pi	Pin
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1,38 – 1,4	23	-2,14	-1,61	-0,4841	-0,4466	0,0375	7,05	36,08
1,4 – 1,42	17	-1,61	-1,06	-0,4466	-0,3554	0,0912	17,15	0,0013
1,42 – 1,44	15	-1,06	-0,52	-0,3554	-0,1955	0,1599	30,06	7,54
1,44 – 1,46	35	-0,52	0,02	-0,1955	0,0080	0,2035	38,26	0,28
1,46 – 1,48	42	0,02	0,57	0,0080	0,2157	0,2077	39,05	0,22
1,48 – 1,50	51	0,57	1,11	0,2157	0,3664	0,1507	28,33	18,14
1,50 – 1,52	5	1,11	1,65	0,3664	0,4505	0,0841	15,81	7,39
Сумма	188							69,65

Расчетное значение критерия Пирсона =69,65, табличное значение критерия определяем при уровне значимости q =0,05 по числу степеней свободы f=7-3=4, =9,49, > , следовательно, гипотеза о том, что выборка подчиняется закону нормального распределения, отвергается на уровне значимости q =0,05. Причиной этого может быть то, что случайная величина подчиняется другому закону распределения. При наличии априорной информации о том, что данная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, отклонение от нормальности распределения может быть вызвано влиянием неслучайных, дестабилизирующих факторов.

2.11. Определение процента брака в выборке

1.Имеется выборка сухого шпона толщиной 1,5 (по ГОСТ 99 – 96 "Шпон лущеный. Технические условия" предельные отклонения –0,1/+0,1 мм). Минимально допустимая толщина – 1,4 мм, максимально допустимая – 1,6 мм. Браком является шпон толщиной меньше 1,4 мм и больше 1,6 мм. Объем выборки n=188. Параметры выборки: =1,4591, S=0,0368 представлены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Параметры выборки

Интервалы, мм	Абсолютная частота, mi	Относительная частота, Рi
1,38 – 1,4	23	0,122
1,4 – 1,42	17	0,09
1,42 – 1,44	15	0,079
1,44 – 1,46	35	0,186
1,46 – 1,48	42	0,223
1,48 – 1,50	51	0,271
1,50 – 1,52	5	0,026
Сумма	188	0,997

Минимально допустимая толщина шпона У=1,5 – 0,1=1,4 мм;

Максимально допустимая толщина шпона У=1,5+0,1=1,6 мм.

Имеем два интервала брака в выборке:

У1…У2

3. от Уmin до 1,4;

4. от 1,6 до Уmax.

2. Для каждого интервала по формуле (2.15) рассчитывается вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Интервал 1.

У1=Уmin=1,38; У2=1,4мм

Z1= = –2,15; Z2= = –9,76;

Р1= – 0,499999– (– 0,4744)= – 0,025599.

Интервал 2.

У1=1,6; У2=1,51

Z1= = 4,71; Z2= = 1,01;

Р2= 0.49998 – 0,3439 = 0,15608.

Процент брака в выборке:

% бр. = 0

Рис. 2.7 Процент брака в выборке

Вывод: Разброс полученных значений Уmax и Уmin составляет 0,1, что свидетельствует о достаточно точной работе лущильного станка. Анализ наличия брака в данной выборке показал, что в данной выборке брака нет.

Выводы и рекомендации