Методическая разработка для преподавателя к занятию по дисциплине « Математика». Тип занятия: комбинированное занятие. Тема: Первообразная и неопределённый интеграл (стр. 2 )

1) F(x) – первообразная для f(х) на множестве Х, если F¢(x) = f(x) для всех xX.

Если F(x) – первообразная для f(х) на множестве Х, то F(x) + С – множество всех первообразных для f(x) множестве Х. Это множество первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают .

2) Таблица первообразных и производных

Производная	Функция	Первообразная	Промежуток
0	K	kx + C	R
nxn-1	xn, n≠-1		nN, xR -nN, x(-∞;0) (0;∞) nZ: n>0, x[0; ∞) n<0, x(0; ∞)
0	1	x+C	R
–sinx	cosx	sinx + C	R
Cosx	sinx	–cosx + C	R
		tgx + C
		-ctgx + C
-2 х3		– + C	x(-∞;0) (0; ∞)
		2 + C	x>0
			x>0
		ln	R+
ex	ex	ex + C	R
axlna	ax (a>0)		R

3) Правила вычисления первообразных

– Если F – первообразная для f, а G – первообразная для g, то F +G есть первообразная для f + g.

– Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

– Если F(x) – первообразная для f(x), аk, b – постоянные, причем k≠0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx + b).

4) – формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций f1(x) и f2(x) таких, что f2(x)≥ f1(x) для всех x[a;b] вычисляется по формуле .

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой

у = f (х), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = в вокруг осей Ох или Оу, вычисляются соответственно по формулам:

в в

VХ = pò ¦2(х)dx или Vy = 2pò x¦(х)dx

a a

Приложение 2.

Применение интеграла.

Величины	Вычисление производной	Вычисление интеграла
s – перемещение, – скорость, a – ускорение	(t) = s¢ (t) a(t) = ¢ (t)	s = =
A – работа, F – сила, N – мощность	F(x) = A¢ (x); N(t) = A¢ (t)	A= A=
m – масса тонкого стержня – линейная плотность	(x) = m¢ (x)	m =
q – электрический заряд, I – сила тока	I(t) = q¢ (t)	q =
Q – количество теплоты c – теплоемкость	c(t) = Q¢ (t)	Q =

Приложение 3.

Вопросы по теме «Первообразная. Интеграл».

Дайте определение первообразной. Сформулируйте основное свойство первообразных. В чем заключается геометрический смысл основного свойства первообразной? Сформулируйте три правила нахождения первообразных. Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. Объясните, что такое интеграл? В чем заключается геометрический смысл интеграла? Запишите формулу Ньютона-Лейбница. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

11. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования?

Приложение

Часть А

А1. Среди данных функций выберите ту, производная которой равна f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 – 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.Для функции f(x) =8x – 3 найдите первообразную, график которой проходит через точку М (1; 4).

3) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 – 3x +3

A4. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 2/x3

3) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. Первообразной для функции f(x) = sin x + 3x2 является функция

3) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = - cos x – x2 -1
3) F(x) = - cos x + x3 -2
4) F(x) = - x3cos x -3

A6. Первообразной для функции f(x) = 3sin x является функция

3) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. Первообразной для функции f(x) = cos 2x является функция

3) F(x) = 0,5sin 2x
2) F(x) = 0,5sin x
3) F(x) = 2 sin 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Первообразная для функции f(x) = 2 sinx cosx для функции

3) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

A9. Для функции f(x) = 6/cos23x + 1найддите первообразную, график которой проходит через точку М (П/3; П/3).

3) F(x) = 2 tg 3x + x +П/3
2) F(x) = 2 tg 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + П/3
4) F(x) = 6 tg 3x + x

Часть В

В1. Функция F(x) является первообразной для функции f(x) = x5 – 3x2 – 2. Найдите F(1), если F(- 1) = 0.

3-я и 4-я группы – исправить ошибку.

А) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
б) F(x) = 4x – х3 , a f(x) = 1/6x6
в) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
г) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
д) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 на (0 ; + )
ж) Для функции f(x) = 10 sin 2x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (-3/2П; 0)

Тест.

Вариант 1.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

№	Задание	Ответы
А	В	С
1
2
3
4
5

Ответы: 1-В, 2-С, 3-В,4- В, 5-В

Вариант 2.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

№	Задание	Ответы
А	В	С
1
2
3
4
5

Ответы 2 вариант: 1 – А, 2 – С, 3 – А, 4 – В, 5 – В.

ЛИТЕРАТУРА

Для обучающихся

и др. Алгебра и начала анализа.кл. – М., 2000.

и др. Геометрия.кл. – М., 2000.

Башмаков и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.

Башмаков и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

Башмаков (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.

Башмаков : 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

Башмаков : учебник для 10 кл. – М., 2004.

и др. Алгебра и начала анализа.кл. – М., 2000.

и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.

, Луканкин . Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.

Пехлецкий : учебник. – М., 2003.

Смирнова .кл. – М., 2000.

Для преподавателей

, , Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. 2005.

, , и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. – М., 2005.

, В, и др. под ред. Жижченко и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2005.

, , и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М., 2006.

, , и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2006.

Шарыгин (базовый уровень) 10—11 кл. – 2005.