Вывод: мы не получаем информации в ситуации, когда происходит одно событие из одного возможного. Количество информации в этом случае равно нулю. Для того чтобы количество информации имело положительное значение, необходимо получить сообщение о том, что произошло событие как минимум из двух равновероятных. Такое количество информации, которое находится в сообщении о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, принято за единицу измерения информации и равно 1 биту.
1 Бит - количество информации, содержащееся в о или 1.
Итак, с помощью битов информация кодируется. С точки зрения кодирования с помощью 1 бита можно закодировать два сообщения, события или два варианта некоторой информации. С точки зрения вероятности 1 бит — это такое количество информации, которое позволяет выбрать одно событие из двух равновероятных. Согласитесь, что эти два определения не противоречат друг другу, а совершено одинаковы, но просто рассмотрены с разных точек зрения.
Еще одно определение 1 бита:
1 бит — это количество информации, уменьшающее неопределенность знаний в два раза.
Игра «Угадай число».
Пояснение: попросите кого-нибудь из учеников загадать число из предложенного вами интервала и отгадайте его, а затем расскажите, как вы это сделали. Интервал необходимо выбрать такой, чтобы он являлся степенью числа 2. Это условие упрощает объяснение материала, так как в этом случае правильная стратегия строится на получении максимального количества информации. Детям это пояснять пока не надо. В случае возникновения вопросов по поводу выбора интервала пояснить, что это связано с правильной стратегией игры.
Стратегия поиска:
Необходимо на каждом шаге в два раза уменьшать неопределенность знания, т. е. задавать вопросы, делящие числовой интервал на два. Тогда ответ «Да» или «Нет» будет содержать 1 бит информации. Подсчитав общее количество битов (ответов на вопросы), найдем полное количество информации, необходимое для отгадывания числа.
Например, загадано число 5 из интервала от 1 до 16.
Вопрос | Ответ | Неопределенность знаний | Полученное количество информации |
Число больше 8? | Нет | 8 | 1 бит |
Число больше 4? | Да | 4 | 1 бит |
Число больше 6? | Нет | 2 | 1 бит |
Число 5? | Да | 1 | 1 бит |
Итого: | 4 бита |
Пояснение: подготовьте таблицу заранее; неопределенность знаний перед угадыванием равна 16.
Вывод: количество информации, необходимое для определения одного из 10 чисел, равно 4 бита.
Упражнение 3 (устно)
Загадайте число (например, 8), сообщите детям интервал (например, от 1 до 32) и попросите их угадать число, воспользовавшись выше приведенной стратегией поиска. При этом объявите детям, что вы знаете, какое количество бит информации получится (5 бит), и запишите это количество где-нибудь на листе бумаги, чтобы потом показать детям.
Пояснение: ваш ответ совпадет с ответом учеников, но вы быстрее его получите, т.к. подсчитаете ответ по формуле.
- Почему я быстрее вас получила ответ? (Наверно есть какая-то формула, по которой можно быстро подсчитать количество информации.)
Действительно, существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий и количество информации.
N = 2I; где, N — количество возможных вариантов, I - количество информации.
Пояснение: попросите детей сравнить эту формулу с формулой, которая была дана на прошлом уроке и по которой можно определить, сколько информации можно закодировать с помощью заданного количества бит. Поясните, что формулы одинаковые, только применяются с разных точек зрения - кодирования и вероятности.
Если из этой формулы выразить количество информации, то получится
I = log2N.
Как пользоваться этими формулами для вычислений:
— если количество возможных вариантов N является целой степенью числа 2, то производить вычисления по формуле N = 2I достаточно легко.
Вернемся к примеру: N = 32; —> I = 5, т. к. 32 = 25;
— если же количество возможных вариантов информации не является целой степенью числа 2, т. е. если количество информации число вещественное, то необходимо воспользоваться калькулятором или таблицей значений степеней (см. учебник).
Количество информации в сообщении об одном из N равновероятных событий: I = log2N.
Например: Какое количество информации можно получить при угадывании числа из интервала от 1 до 11? В этом примере N = 11. Чтобы найти I (количество информации), необходимо воспользоваться таблицей. По таблице I = 3,45943 бит.
Решение задач, в условии которых события являются равновероятными
Пояснение: так как задач много, рекомендуется:
— либо ограничить время их решения (7 мин) и задать произвольный темп решения, т. е. часть детей решит задач больше, часть меньше в меру своих возможностей;
— либо выбрать задачи из следующих групп: №1 - №9, №10 - №14, №15 - №18.
Написать на доске формулу для расчета количества информации I = log2N и формулу для расчета количества возможных вариантов информации N = 2i.
Вопросы к задачам:
— Почему в задаче события равновероятные?
— Что нужно найти в задаче: количество информации или количество вариантов информации?
— Какую формулу нужно использовать в задаче?
— Чему равно N? Как найти I?
— Чему равно I? Как найти N?
№ 1
«Вы выходите на следующей остановке?» — спросили человека в автобусе. «Нет», — ответил он. Сколько информации содержит ответ?
Решение: человек мог ответить только «Да» или «Нет», т. е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2. Значит I = 1 бит.
Ответ: 1 бит.
№2
«Петя! Ты пойдешь сегодня в кино?» - спросил я друга. «Да», - ответил Петя. Сколько информации я получил?
Решение: Петя мог ответить только «Да» или «Нет», т. е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2, значит I = 1 бит.
Ответ: 1 бит.
№3
Сколько информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 8 раз?
Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 8 раз, следовательно, она было равна 8, т. е. существовало 8 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3 бита информации.
Ответ: 3 бита.
№4
Какой объем информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность в 4 раза?
Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 4 раз, следовательно, она было равна 4, т. е. существовало 4 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 2 бита информации (4 = 22).
Ответ: 2 бита.
№5
Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет. После этого загорелся зеленый. Какое количество информации вы при этом получили?
Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого) необходимо выбрать один - зеленый. Поэтому N = 2, а I = 1 бит.
Ответ: 1 бит.
№6
Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4 дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке номер 3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения?
Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну, т. е. N = 4. Значит по формуле I = 2, т. к. 4 = 22.
Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.
Ответ: 2 бита.
№7
На железнодорожном вокзале 8 путей отправления поездов. Вам сообщили, что ваш поезд прибывает на четвертый путь. Сколько информации вы получили?
Решение: из 8 путей нужно выбрать один. Поэтому N = 8, а I = 3, т. к. 8 = 2\ Пояснение: номер пути (4) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.
Ответ: 3 бита.
№8
В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из коробки достали красный кубик?
Решение: из 16 равновероятных событий нужно выбрать одно. Поэтому N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 24).
Пояснение: события равновероятны, т. к. всех цветов в коробке присутствует по одному. Ответ: 4 бита.
№9
Была получена телеграмма: «Встречайте, вагон 7». Известно, что в составе поезда 16 вагонов. Какое количество информации было получено?
Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать один, то N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 24).
Ответ: 4 бита.
№ 10
При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 9 бит информации. Чему равно N? Решение: N = 29 = 512.
Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до 512.
№ 11
При угадывании целого числа в некотором диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон? Решение: N = 28 = 256. Ответ: 256 чисел.
№ 12
Сообщение о том, что ваш друг живет на 10 этаже, несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме? Решение: N = 2" = 16 этажей.
Пояснение: события равновероятны, т. к. номера этажей не повторяются. Ответ: 16 этажей.
№ 13
Сообщение о том, что Петя живет во втором подъезде, несет 3 бита информации. Сколько подъездов в доме? Решение: N = 23 = 8 подъездов.
Пояснение: события равновероятны, т. к. номера подъездов не повторяются.
Ответ: 8 подъездов.
№ 14
В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил Пете, что нужная ему книга находится на пятом стеллаже на третьей сверху полке. Какое количество информации библиотекарь передал Пете?
Решение: существует 16-8 = 128 вариантов местонахождения книги. Из этого количеств вариантов необходимо выбрать один. Следовательно N = 128,а1 = 7,т. к. 128 = 27.
Ответ: 7 бит.
№ 15
Загадано слово из 10 букв. Вы просите открыть пятую букву. Вам ее открыли. Сколько информации вы получили?
Решение: N = 10, следовательно, I = log210. Смотрим по таблице и видим, что 1 = 3,32193 бит.
Ответ: 3,3 бит.
№ 16
В коробке лежат 6 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали синий фломастер?
Решение: N = 6, следовательно, I = log26. Смотрим по таблице и видим, что I == 2,58496 бит. Ответ: 2,5 бит.
№ 17
Какое количество информации несет сообщение: «Встреча назначена на май»?
Решение: так как месяцев в году 12, то из этого количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N = 16, а I = log212. Смотрим по таблице и видим, что I = 3,58496 бит.
Ответ: 3,5 бит.
№ 18
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
