Введение в анализ производных финансовых инструментов (стр. 2 )

Аналогично Американский и Европейский put опцион дает право продать акцию по фиксированной цене, следовательно:

P <= X и p <= X

Для Европейского опциона последнее выражение можно усилить, а именно

P <= X exp(-r(T-t))

Нижние границы для call опионов на бездивидентную акцию

S - X exp(-r(T-t)) <= c, C

Поясним почему это имеет место сначала на числовом примере, а потом дадим доказательство.

Пусть S = 20$, X=18$, r=10%, T-t = 1 year. Тогда предположим, что с = 3$, что меньше, чем дает последняя оценка. Арбитражер, заметив это, мгновенно коротко продаст акцию и купит call опцион. Это ему обеспечит доход 20$ - 3$ = 17$ и положит эти деньги под безрисковый доход сроком на год. Через год он получит 17*exp(0.1) = 18.79$, Если акции будут стоить больше 18$ то он реализует свое право, купит акцию по 18$ и получит окончательно доход 18.79 – 18 = 0.79$. Если же акции через год будут стоить меньше 18, например 17, то он не будет реализовывать опцион и все равно получит доход 18.79 – 17 = 1.79

Формальное док-во

Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))

Портфель B Одна акция.

В момент времени Т, если S(T) > X, тогда цена портфеля будет S(T). Если же S(T)<X, то опцион не реализуется и мы имеем X денег. В любом случае в момент времени Т мы будем иметь маx(S(T),X)

Портфель B. Стоит S(T) в момент времени T.

Следовательно для момента времени Т портфель А будет не дешевле, чем портфель В.

Отсюда (из-за невозможности арбитража) следует, что это должно быть справедливо и для произвольного момента времени. Последнее означает, что

c + X exp(-r(T-t)) >= S

или

c > S - X exp(-r(T-t))

или

c >max (S - X exp(-r(T-t),0)

Что и требовалось доказать.

Нижние границы для put опионов на бездивидентную акцию

X exp(-r(T-t)) - S <= p

Пример.

Пусть S = 37$, X=40$, r=5%, T-t = 0.5 year и пусть p = 1.0$

Тогда

X exp(-r(T-t)) - S = 40*exp(-0.05*0= 2.01$

Арбитражер занимает 38$ на 6 месяцев, покупает на них акцию и put опцион. Через 6 месяцев он должен вернуть денег 38*exp(0.05*0.5) = 38.96. Если акция стоит меньше 40, то он реализует опцион и продает свою акцию по 40$. В результате его доход составит

40 - 38.96 = 1.04

Если же акции стоят больше 40, например 42, то он не реализует опцион, а продает акцию и получает 42 - 38.96 = 3.04

Формальное док-во

Один Eвропейский put и одна акция

Портфель D. Деньги в размере X exp(-r(T-t)).

Первый портфель. Если S(T) < X, то портфель стоит X. Если же S(T) > X, то портфель стоит S(T)

В любом случае он стоит маx(S(T),X).

Второй портфель в момент T стоит X

Следовательно для произвольного момента времени t имеем

p + S > X exp(-r(T-t))

или

p > X exp(-r(T-t)) – S

или

p > max (X exp(-r(T-t)) – S,0)

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

Если инвестор обладает Американским call на на бездивидентную акцию, то преждевременное исполнение не всегда является наиболее оптмальной стратегией.

Пример. Пусть в какой-то момент времени S = 50 при X = 40. Тогда возникает желание реализовать опцион и получить доход. Однако это не всегда правильное решение. Предположим инвестору нужна еще и акция, которую он собирается держать больше чем 1 месяц. В этом

случае лучшей является стратегия держать опцион до конца.

Портфель E. один Американский call и деньги X exp(-r(T-t))

Портфель F. Одна акция

В момент T денег станет X, а в момент tau < T их будет X exp(-r(T-tau)). Если в момент времени tau реализовать опцион то портфель E будет стоить

S – X + X exp(-r(T-tau))

И это естественно всегда меньше, чем S

Если же дождаться окончания опциона, то стоить портфель E будет

маx(S(T),X) , что уже не меньше чем цена портфеля F.

Величина портфеля F всегда равна S(T) И всегда имеется шанс, что S(T) < X . Поэтому обладание портфелем E всегда лучше, чем F.

Отсюда возникает гипотеза, что С = с

Действительно. Ранее было показано, что

c > S - X exp(-r(T-t))

отсюда. Так как с <= С

С > S - X exp(-r(T-t))

Так как r > 0, то

С > S - X

Если было бы оптимально реализовать опцион до момента окончания, то С должно = S – X, но

раньше времени не имеет смысла реализовывать.

Преждевременное исполнение put на бездивидентную акцию.

Такая стратегия может быть и оптимальной

Рассмотрим пример.

Пусть S = 0, X = 10. Тогда опцион имеет смысл реализовать, так как меньше 0 стоимость акции все равно уже не будет.

Портфель G. один Американский put и одна акция

Портфель H. деньги в размере X exp(-r(T-t))

Если реализовать опцион в момент tau < T, то стоимость портфеля G будет X, в то время как портфель H стоит только

X exp(-r(T-tau))

В момент T портфель G стоит

маx(S(T),X).

А портфель H стоит только X.

Put & Call Паритет

Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))

Один Eвропейский put и одна акция

В момент Т оба портфеля стоят

маx(S(T),X).

Значит (в силу невозможности арбитража) они должны быть равны и в произвльный момент t. Итак

c + X exp(-r(T-t)) = p + S (1)

Соотношение между ценами American call & Put

Put & Call Паритет имеет место только для Европейских опционов, однако понятно, что

P > p это следует из (1) и

P > c + X exp(-r(T-t)) – S

Так как с = С, то

P > С + X exp(-r(T-t)) – S

Или

С - P < S - X exp(-r(T-t)) (2)

Связь между С и P

Портфель I. Один Eвропейский call и деньги в размере X

Портфель J. Один Американский put и одна акция

Инвестируем X из первого портфеля под безрисковый процент r. Ecли второй портфель не реализовать до момента времени T, то в момент Т он будет стоить

маx(S(T),X).

А первый портфель будет

маx(S(T),X) + Xexp(r(T-t)) – X

что заведомо больше, чем первый портфель. Пусть второй портфель реализован раньше, чем T Это означает, что он превосходил X в момент времени tau. А первый портфель в этот момент стоил

Xexp(r(tau - t)),

что также больше чем второй портфель

Итак

c + X > P + S

или ( с = С)

С + X > P + S

Или

С – P > S – X

Комбинируя с (2), получим

S – X < С – P < S - X exp(-r(T-t))

Эффект дивидентов

Изменим портфель А с учетом выплат дивидентов в размере D

Один Eвропейский call и деньги в размере D +X exp(-r(T-t))

Портфель B Одна акция.

Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что

c > S – D - X exp(-r(T-t))

Теперь получим соответствующее неравенство для Европейского put опциона.

Один Eвропейский put и одна акция

Портфель D Деньги в размере D + X exp(-r(T-t)).

Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что

p > D + X exp(-r(T-t)) – S

Call&Put Paritet

C + D + X exp(-r(T-t)) = p+S

Лекция 4. Модель поведения цен акций.

Винеровском процесс.

Случайный процесс

называется процессом с независимыми приращениями если для любых моментов времени

случайные величины

независимы.

Процесс называется Гауссовским , если все его конечномерные распределения нормальные.

Гауссовский однородный процесс с независимымы приращениями называется винеровским (или процессом Броуновского движения)

Модели поведения цен акций обычно выражают в терминах так называемого Винеровского процесса. Винеровский процесс – частный случай Марковких процессов. Поведение случайной переменной, следующей Винеровскому процессу можно представить как изменение ее величины за бесконечно маленький интервал времени. Пусть Dt – небольшой интервал времени. Определим Dz как изменение z за время Dt.

Существуют два основных свойства, которым должно удовлетворять Dz для процесса z , который является Винеровским.

1. Dz связано с Dt соотношением

Dz = e Ö(Dt)

где e - случайная величина со стандартным нормальным распределением

2. Величины Dz для двух различных интервалов времени стохастически независимы.

Из своства 1. Следует, что

E[Dz] = 0

и

D[Dz] = Dt;

Из свойства 2 вытекает, что процесс z – Марковский.

Рассмотрим измениние величины z за относительно продолжительный период времени T.

z(T) – z(0)

Из свойств винеровского процесса и бесграничной делимости нормального распределения следует, что оно может быть представлено как сумма изменений за N небольших интервалов длины Dt, где N = [T/Dt];

Итак

z(T) – z(0) = å e Ö(Dt).

Здесь e - независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением.

E[z(T) – z(0)] = 0

и

D[z(T) – z(0)] = NDt = T

Винеровский процесс это предельный процесс при Dt -> 0, что будем записывать как

dz = e Ödt

Обобщенный Винеровский процесс.

Обобщенным Винеровским процессом для переменной x называется процесс определяемый как.

dx = a dt + b dz

a носит название коэффициента сноса, а b – диффузии.

Для лучшего понимания записей такого рода рассмотрим отдельно слагаемые правой части.

Без второго слагаемого получим обыкновенное дифференциальное уравнение

dx = a dt

или

dx/dt = a

решение которого

x = x0 + at

здесь x0- начальное значение процесса. Последнее соотношение означает, что за время T , x увеличится на величину aT.

Второй слагаемое это b раз Винеровский процесс. За промежуток времени Dt изменение x составит:

Dx = aDt + b e Ö(Dt).

Так как e - стандартная нормальная случайная величина, то Dx также имеет нормальное распределение со среднем

E[Dx ] = aDt

и дисперсией

D[Dx ] = b^2Dt

Процесс Ито.

Обобщенный Винеровский процесс у которого коэффициенты сноса и диффузии могут зависить от времени и состояния называются процессами Ито

dx = a(x, t) dt + b a(x, t) dz

Процесс для цен акций.

Предположим, что процесс цены акций следует обобщенному Винеровскому процессу, т. е. имеет постоянный снос и постоянную диффузию. Однако, это не совсем адекватное предположение. Действительно, пусть цена акции 10$ и инвестор ожидает роста 14%. Естественно ожидать 14% и если цена акции станет 50$. Ясно, что предположение о постоянном сносе требует изменения на то, что ожидаемый рост пропорционален цене акции - Sm где m некоторый постоянный параметр.

Приращение цены акции за небольшой промежуток времени составит mSDt. Если предположить, что поведение цены акций не случайно мы получим следующее соотношение

Или

откуда

где S0 – цена акции в момент времени 0

На практике поведение цены акций имеет случайность. И разумным предположением можно считать, что дисперсия составляет некоторый процент от текущей цены акции. Определим s^2 уровень пропорционального изменения цены акции. Это означает, что s^2S^2Dt – дисперсия изменения цены акции за интервал времени Dt. Итак мы приходим к уравнению

Или

Уравнение (1) это наиболее широко применяемая модель поведения цен акций. Эту модель часто называют геометрическим Броуновским движением.

Дискретная версия модели будет

Из (2) видно, что

- нормально распределенная случачайная величина

На этом основывается моделирование поведения цен акций методом Монте-Карло.

Предположим, что волатильность составляет 20% в год. И ожидаемый уровень роста составляет 14% в год. Пусть Dt = 0.01 Тогда

Траектория цены акции может быть смоделирована использованием датчика стандартного нормального распределения f(0,1), а именно если случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина h = 0.0014 + 0.02x также будет иметь нормальное распределение, но уже с параметрами

Предположим, что в настоящее время цена акции составляет 20$, тогда приращение цены акции за время Dt = 0.01 составит DS = 20 * h.

Биномиальная модель.

Довольно часто для оценки цен акций, или производных финансовых инструментов применяются так называемые Биномиальные модели.

Под Биномиальной моделью понимают следующее. Предположим, что в начальный момент времени цена акции составляет S. Тогда через время Dt она может оказаться в состоянии Su с вероятность p или в Sd с вероятность 1-p.

Еще через время Dt она может оказаться в состоянии Suu или Sud или Sdu или Sdd и так далее

Suu

Su

S Sud

Sdu

Sd

Sdd

Переменные u, d и p выбираются такими, чтобы процент ожидаемого роста составил mDt и уровень изменения дисперсии s^2Dt. Одним из возможных путей сделать это – положить

Нетрудно убедиться, что при Dt->0 Биномиальная модель стремится к модели геометрического Броуновского движения.

Анализ Блэка-Шольца

В 1970 году Блэка и Шольц сделали важнейший прорыв в решении дифференциальных уравнений, описывающих поведение цены производного финансового инструмента от цены базового актива. Одним из основных математических инструментов, при этом явилась так называемая

Лемма Ито

Пусть случайный процесс x следует процессу Ито

.

dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz

И пусть G(x, t) – функция от x и t

Тогда

Таким образом процесс для G (x, t) также Ито процесс со сносом

И коэффициентом диффузиии

Для описания поведения акции нами был предложен процесс (1)

Из леммы Ито мы получим, что для процесса G(S, t)

В частности для процесса изменения цен форвардного контракта

Будем иметь

В результате получим

Или

Применение к логарифму цены

Пусть теперь G(x, t) = lnS

Так как

Следовательно

Логнормальное свойство цен акций

Случайная величина имеет логнормальное распределение если логарифим сл. величины имеет нормальное распределение. Из формулы (2) следует, что изменение за время от t до T логарифма G имеют нормальное распределение с математическим ожиданием