Введение в анализ производных финансовых инструментов (стр. 3 )

И дисперсией

Или это можно записать так

Или

Отсюда следует, что само S(T) имеем логнормальное рапределение.

Случайная величина, которая имеет логнормальное распределение, принимает значения от 0 до бесконечности. Из свойств нормального и логнормального распределения следует, что математическое ожидание случайной величины S(t) равно

И диспресия S(t) равна

Логнормальное свойство цен акций может быть использовано для получения информации о распределении непрерывно начисляемой доходности h акции.

Действительно, определим годовой начисляемый доход по акции равным h. Или

Отсюда

Так как ln(S(T)) – ln(S) = ln(S(T)/S), то из формул (3) и (4) следует, что h имеет нормальное распределение с параметрами

Оценивание волатильности из исторических данных.

Пусть n+1 Количество наблюдений

S(i) – цена акции в конце i-го интервала времени

t - длина интервала времени в годах.

Обозначим через u(i) = ln(S(i)/S(i-1))

Так как S(i) = S(i-1)exp(u(i)), то u(i) – можно рассматривать как непрерывно начисляемая доходность, но не привиденная к годовым, в единицу интервала между наблюдениями. В качестве оценки волатильности обычно используют следующую формулу

Но чуть ранее мы показали, что ln(S(T)/S имеет нормальное распределение с дисперсией s^2*(T-t), поэтому стандартное отклонение для u(i) будет равно s*sqrt(t). Отсюда следует, что само s может быть оцененно как

Стандартная ошибка оценки составляет

Пример. Рассмотрим последовательность цен на акции за 20 дней. Пусть Su(i) = 0.09531 и Su^2(i)= 0.00333. Тогда оценка стандартного отклонения (дневного) будет

Sqrt(0.00333/19 – 0.09531^2/380) = 0.0123

Предположим, что время измеряется в торговых днях, тогда в год 250 рабочих дней т. е. t=1/250. Отсюда оценка годовой волатильности будет

0.0123*sqrt(250) = 0.194 или 19.4 процента.

Стандартная ошибка составит 0.194/sqrt(2*20) =0.031 или 3.1 процента.

Вычисление цены опциона с помощью простой биномиальной модели.

Вычисление цены опициона рассмотрим на примере Европейского опициона. Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию. Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0.

Рассмотрим портфель состоящий из длинной позиции в a акций и короткой позиции из одного call опциона. Тогда стоимость портфеля составит 22a-1, если цена акции будет 22, и 18a если цена акции упадет до 18$. При a=0.25 эти две величины совпадают

18a = 22a-1 = 4.5. При таком a=0.25 наш портфель становится безрисоковым. В начальный момент времени величина портфеля равна

20*0.25-f = 5-f

Где f – цена опциона. Безрисоквый портфель должен быть и относительно безрисокового вложения в государтвенный ценный бумаги. Предположим, что величина безрисовой доходности составляет 1 процент в месяц, тогда

1.01(5-f)=4.5

отсюда

f = 5 – 4.5/1.01 = 0.5445

Это и есть текущая цена call опциона. Удивительно то, что при этом никак не использовались вероятности перехода в рассмотренный два состояния.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шольца

Будем использовать следующие предположения при выводе и решении дифференциального уравнения Блэка-Шольца

- Цена акции меняется согласно случайного процесса

с постоянными m и s.

- Разрешена короткая продажа.

- Транзакции бесплатны.

- Все инстументы в нужном количестве делимы.

- Нет выплат дивидентов во время жизни опциона

- Невозможен безрисковой арбитраж

- Торговля происходит при непрервном времени

- Безрисовая доходность r – постоянна для всех матеростей.

Позднее некоторый из сделанных предположений будут ослаблены. В частности m , s и r

могут быть известными функциями от времени.

Итак, пусть f – цена производного финансового инструмента на бозовый актив S. И пусть f – некоторая функция от S и t.

Тогда согласно леммы Ито

Соответственно дискретный версии для формул (1) и (2) будут

И

Согласно леммы Ито процесс Dz=e * sqrt(Dt) тот же самый. Это приводит к тому, изменением портфеля акции и производного инструмента можно добиться так, что Винеровский процесс сократится. Таким портфелем будет:

Портвель А 1 производный инструмент

Портфель B

акций.

Держатель такого портфеля имеет короткую позицию по финансовой производной и длинную позицию по акциям. Определим P - как стомость такого портфеля

Дискретное изменение его стоимости составит

Подставляя выражения (3) в выражение (4) получим

Обратим внимание на то, что Dz-сокращается. Таким образом изменения портфеля можно сделать безрисковым. Из сделанных выше предположений об отсутствии арбитража имеем

DP=rPDt.

Вычитая последнее выражение из формул (4) и (5) получим

Или

Полученное дифференициальное уравнение и есть уравнение Блэка-Шольца. Оно имеет много решений в соответствии различным производным инструментам на базовый актив S. Учет граничных условий позволяет найти частные решения. Например в случае Eвропейского call опциона эти граничные условия будут

f = max(S-X,0) при t=T

а для put опциона

f = max(X-S,0) при t=T

В качестве примера можно рассмотреть форвардный контракт на бездивидентную акцию. Мы уже знаем, что величина форфардного контракта

f = S – Kexp(-r(T-t))

где К – цена открытия форфардного контракта.

Тогда

¶f/¶t=-rKexp(-r(T-t))

¶f/¶S = 1

¶^2f/¶S^2 =0

Подстановка в левую часть (6) дает

-rKexp(-r(T-t)) +rS

и это должно быть равно rf, но это так и есть.

Риск-нейтральные вычисления

Риск-нейтральные вычисления без всякого сомнения являются наиболее важным средством для анализа финансовых производных. Это возникает из одного ключевого свойства дифференциального уравнения (6). Свойство это в том, что уравнение не включает в себя рисковую переменную. Переменные участвующие в уравнении это текущая цена акции, время, волатильность, безрисковая доходность. Все они не зависят от риска.

Уравнение Блэка-Шольца не было бы независимым от риска если бы оно включало в себя ожидаемую доходность по акции m, так как m может зависить от риска. Но к счастью m сократилось при выводе. Но если рисковые переменные не входят в уравнение, то они не влияют на его решение. Однако некоторое множество рисковых переменных может входить в f, однако можно сделать одно простое предположение, а имеено все инвесторы находятся в одинаковых условиях и все их инвестиции предполагаются риск-нейтральны. В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r и поэтому все текущие величины будущих выплат могут быть получены дисконтированием их ожидаемых значений (математического ожидания) на величину безрисковой доходности.

Для примера вернемся к биномиальной модели получения цены call опциона, которую мы рассматривали ранее.

Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию. Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0.

Напомним, что мы вычислии цену опциона 0.5445 без использования вероятностей перехода цены акции в 22$ и 18$.

Сейчас мы покажем как можно использовать предположения о риск-нейтральном мире для получения этой же цены.

В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r = 1% в месяц. Вероятность p, того что акция будет стоить 22$ должна удовлетворять соотношению

22p+18(1-p) = 20*0.01

отсюда p = 0.55

Математическое ожидание call опциона в риск нейтральном мире составит

0.55*1+0.45*0 = 0.55

Тогда дисконтирование к сегоднешнему времени приводит

0.55/1.01 = 0.5445

И это то же самое значение, что и было получено ранее

Применение к форвардному контракту

Мы также ранее получали величину форвардного контрата на бездивидентную акцию. Теперь мы ее получим заново, изпользуя понятие риск-нейтрального мира.

Пусть безрисковая доходность постоянна для всех матеростей и равна r. Рассмотрим длинный форвардный контракт на время T с ценой открытия K. Тогда выплаты в момент истечения составят

S(T) – K

C точки зрения риск нейтральности величина форвардного контракта в момент времени t есть математическое ожидание его величины в риск нейтральном мире дисконтированное к времени t. Таким образом

f = exp(-r(T-t)) E[S(T) – K]

Здесь символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире

f = exp(-r(T-t))( E[S(T)] – K)

Или

f = exp(-r(T-t)) E[S(T)] - exp(-r(T-t))K

Так как

E[S(T)] = Sexp(r(T-t))

То подстановка этого выражения нам дает

f =S-Kexp(-r(T-t))

что и требовалость доказать. Мы также показывали, что последнее выражение удовлетворяет уравнению Блэка-Шольца.

Решение дифференициального уравнения Блэка-Шольца для Европейских опционов.

Математическое ожидание выплат по call опциону в момент окончания составит

E[max(S(T)-K,0],

Где символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире

Из соображений риск нейтральности для цены c Европейского call опциона имеем

с=exp(-r(T-t)) E[max(S(T)-K,0]

В риск нейтральном мире вероятностное распределение ln(S(T)) – нормальное

ln(S(T))

это та же самая формула (3), что и вначале лекции, но заменой m на r.

Вычисляя математическое ожидание E[max(S(T)-K,0]

Получим

c = SN(d1)-Xexp(-r(T-t))N(d2)

Где

D1=[ln(S/X)+(r+s^2/2)(T-t)]/ s * sqrt(T-t)

D2=[ln(S/X)+(r-s^2/2)(T-t)]/ s * sqrt(T-t)=d1- s * sqrt(T-t)

Где N(x) – функция распределения стандартного нормального закона

Так как с=С это есть также цена и американского опциона

Цена европейского put можно получить из call-put pariteta

p = Xexp(-r(T-t))N(-d2)- SN(-d1)

К сожалению нет точной формулы для вычисления Американского put опциона

Имплайд волатильность.

Один из параметров формулы цены опциона не является наблюдаемым. Это параметр волатильности. Ранее мы получали оценку волатильности по историческим данным. Однако, так как цены опционов присутствуют на рынке (торги то идут) , то можно получить оценку волатильности непосрдственно из формулы цены опциона, обращая ее. Полученная волатильность носит название Имплайд волатильности. Она может быть в частности использована для получения цен опционов, которые на рынке не представлены

Финансовые институты продавая опционы клиентам сталкиваются с необходимостью управления возможными рисками. Если, например, опцион на обменный курс, то финансовый институт может нейтрализовать этот риск покупкой валюты. Однако это не всегда возможно, так как опцион может выписан на товар не присутствующий непосредственно на бирже. В этом случае хеджирование может быть затруднено. В этой лекции мы рассмотрим несколько альтернативных способ страхования. Один из них носит название Греческие буква или просто

Греческие буквы

Пример. Финансовый институт продает за $ опцион call на поставку бездивидентных акций. Предположим что:

S = 49$ , X=50, r=0.05, s = 0.2 , m = 0.13 и T=0.3846 это 20 недель

Теоретическая цена такого опциона по формуле Блэка Шольца составляет $. Однако финансовый институ продал его набольше чем теоретическая цена. Это приводит его к необзодимости хеджирования.

Голая и покрытая позиция.

Это наиболее простые стратегии хеджирования.

Первая из них состоит в том, что делать ничего и не надо. Это действительно хорошо сработает, если цена акции через 20 недель окажется ниже 50$. Опцион не будет реализован и инсититут как получил свои так и с ними и останется. Однако, если цена акции в момент окончания опциона станет выше, например 60$, то голая стратегия приведет к потерям. Так как опцион станет стоить 1 = 60*– 50 * , что значительно привосходит полученный вначале

В качестве альтернативы рассмотрим стратегию покрытой позиции. Она состоит в покупке акций в при продажи опциона. Если опцион реализуют, то эта стратегия действительно хороша. Однако, если цена акции упадет скажем до 40, то финансовый институт теряет в конце = * 49 – * 40, что также больше, чем , полученные сначала.

Однако, все-таки голая и покрытая позиции обеспечивают удовлетворительное хеджирование. Если предположения сделанные при выводе формулы Блэка Шольца верны, то именно является средней ценой по которой надо было совершать сделку. Именно для этой цены стандартное отклонение стоимости опциона и хеджа равно нулю.

Stop&Loss стратегия.

Основная идея такой стратегии заключается в том, что финансовый институт выписывая опцион на акцию со страйком X покупает акций на размер опциона. Схема хеджа такова:

Покупка акций как только цена акций начнет превышать X и продажа, как только цены станут ниже Х. То есть последовательное чередование голой и покрытой стратегий. В начальный момент времени цена акции равна S(0) ит размер хеджа будет S(0), если S(0) > X и 0 иначе.

Таким образом общая стоимость выписки опциона и хеджирования будет составлять

Q = max[S(0) – X,0]

И если все корректно, то такая схема будет работать хорошо, вне зависимости то того как меняется цена акций. Более того стоимость хеджирования всегда меньше, чем цена Блэка-Шольца. (см. оценки для цен опционов). Однако, существуют два недостатка такого хеджирования. Во-первых выплаты осуществляются в разное время и должны дисконтироваться к началу. Во-вторых сделки по хеджированию не могут быть точно проходить по цене X.

Дельта хеджирование.

Последнее время многие трейдеры используют более продвинутые схемы страхования заключающиеся в вычислении мер D,Q и Vega

Определение.

D опциона определяется как скорость изменения цены опциона относительно изменения цены базового актива

Другими словами

D = dc/dS

Например если D=0.6 то это означает, что если цена актива изменяется на небольшое значение, то цена опциона изменится на 60% от этой величины.

Пусть цена акции 100$ и цена опциона 10$ Представим, что инвестор, который продал 20 опционов, т. е.опционов на покупку 2000 акций. Тогда позицию инвсетора следует застраховать покупкой 0.6 * 2000 = 1200 акций. Доходы(потери) по опциону будут стремиться к компенсации потерями (доходами) от акций.

График зависимости

Итак стратегия D хеджирования

-1 производная

D единиц акций.

Для европейского call option короткая позиция в call требует длинной позиции акциях и, наоборот, длинная позиция с call требует короткой позиции в акциях в размере N(d1)

Европейский пут.

D = dc/dS = N(d1) – 1 < 0;

Для европейского put option длинная позиция в put требует длинной позиции в акциях, и наоборот, короткая позиция в put требует короткой позиции в акциях.

График зависимости D call от S

График зависимости D put от S

График зависимости D put от Матерости

D Портфеля опционов на товар с ценой S равен сумме D каждого опциона умноженного на количество опционов каждого типа

dП/dS = Sw(i)D (i)

Тета опциона.

Тета опциона или портфеля называется скорость изменения величины портфеля относительно времени, при условии, что все остальное не измнияется.

Q = dП/dt

Для европейского call

Q =S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(d2)

Для европейского put

Q =-S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(-d2)

Тета обычно отрицательна. Это вследствии того, по мере уменьшения времени опцион становится все меньше

График зависимости тета от цены опциона имееет такой вид

График зависимости тета по мере уменьшения матерости

Гамма портфеля

Определение. Гамма портфеля называется вторая производная по цене

Г = d^2/dS^2

Если Гамма маленькая то дельта меняется медленно, что позволяет поддерживать дельта нейтральный портфель довольно спокойно.

Гамма портфеля довольно чувствительна к изменению цены базового актива.

Пусть DS – изменение цены акции за интервал времени Dt. И DП изменение портфеля, тогда

Для дельта нейтрального порфеля

DП = QDt + 0.5 Г DS^2

Гамма нейтральный портфель

Гамма нейтральный портфеля обеспечивает защиту от больших движений в цене базового актива.

Для европейского call и put

Г =N’(d1)/(Sssqrt(T))

График зависимости гамма от S

Графики зависимости гамма от матерости

Гамма тета и дельта портфеля связаны между собой

Подставляя вместо призводных значения букв получим

Q + rSD + 0.5s^2S^2Г = rП

для дельта нейтрального портфеля

Q + 0.5s^2S^2Г = rП

Отсюда видно, что при увеличении положительного тета Гамма уменьшается и отрицательно

Vega

Мы ранее предполагали, что волатильность постоянна, понятно, что это конечно не так

Определение. Вега портфеля это скорость изменения величины портфеля относительно изменения волатильности

Vega = dD/ds

Если вега большая по абсолютной величине, то портфель очень чуствителен к изменения волатильности

Позиция в опционе в размере –V/Vo, где Vo – Vega опциона делает портфель vega нейтральным

Для европейского call и put

V =S * sqrt(T) * N’(d1)

График зависимост vegi от цены опциона

Rho портфеля

Некоторые трейдеры вычисляют еще и Rho портфеля

Rho = dП/dr

Это показывает чуствительность портфеля по отнрошению к изменению r

Для европейского call

rho = X T exp(-rT) N(d2)

Для европейского put

rho = - X T exp(-rT) N(-d2)

Итоговая таблица значений греческих букв для Европеских call и put опционов

в модели Блэка-Шольца

Буква	Определение	Европейский call	Европейский put
D	D = dc/dS	N(d1)	N(d1) - 1
Q	dП/dt	S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(d2)	Q =-S(0)N’(d1)*s/ (2sqrt(T)) – r X exp(-rT) N(-d2)
Г	d^2/dS^2	Г =N’(d1)/(Sssqrt(T))	Г =N’(d1)/(Sssqrt(T))
Vega	DП/ds	S * sqrt(T) * N’(d1)	S * sqrt(T) * N’(d1)
Rho	Rho = dП/dr	X T exp(-rT) N(d2)	-X T exp(-rT) N(-d2)

Лекция 3. Interest Rate Futurities Фьючерсы на доходность