Введение в анализ производных финансовых инструментов (стр. 5 )

a^2 4 a

Модель Кокса, Ингерсолла и Росса

Одним из недостатков модели Васичека являтся тот факт, что r может стать отрицательным. Этот момент был устранен в модели Кокса, Ингерсолла и Росса. В ней процесс для r выглядит следующим образом

dr = а(b-r)dt + sSqrt(r)dz

Как видно из этого выражения стандартное отклонение пропорционально sqrt(r)

Вид выражения для цены бонда такой же как и в модели Васичека

P(t, T) = A(t, T)exp(-B(t, T)r

)

Однако, выражения для B(t, T) и А(t, T) имеют несколько более сложный тип чем в модели Васичека.

Эти же авторы нашли выражения и для цен Европейских опционов в этой модели.

Без-арбитражные модели

Важным недостатком моделей представленных ранее является тот факт, что в них автоматически не происходит подгонка сегодняшней временной структуры. И они не достаточно точно описывают ее. Причем ошибка может быть достаточно большой. Многие трейдеры поэтому считают эти модели неудовлетворительными. Поэтому были разработаны специальные модели, которые достаточно точно аппроксимируют текущую временную структуру. Эти модели носят название безарбитражных.

Основные обозначения.

P(t, T) – Цена дисконтного бонда в момент времени t, обещающего в момент времени Т вернуть 1$.

V(t, T) – волатильность P(t, T)

F(t, T1,T2) – форвардный рейт в момент времени t, при инвестиции между T1 и Т2

F(t, T) – непрерывный форвардный рейт в момент времени t;

R(t) – мгновенная безрисковая доходность,

dz(t) – Винеровский процесс.

По определению

F(t, T) = lim F(t, T1,T1+d) при d -> 0

В качестве риск-нейтрального процесса для P(t, T) рассмотрим процесс

dP(t, T) = r(t) P(t, T)dt + v(t, T) P(t, T)dz(t) (1)

Форвардный рейт относительно дискаунт цены бонда равен

f(t, T1,T2) = [ln(P(t, T1))-ln(P(t, T2)] / (T2-T1) (2)

Из (1) следует, что

ln(P(t, T1) = [r(t) – v(t, T1)^2/2] dt + v(t, T1) dz(t)

и

ln(P(t, T2) = [r(t) – v(t, T2)^2/2] dt + v(t, T2) dz(t)

поэтому

v(t, T2)^2 – v(t, T1)^2 v(t, T2) – v(t, T1)

df(t, T1,T2) = dt + --- dz(t) (3)

2(T2-T1) T2 – T1

Из последнего выражения (3) следует, что риск нейтральный процесс для f зависит только от волатильности v(t, T)

Положим T1 = T и T2 = T1+DT и, переходя в (3) к пределу при D->0, получим,

что f(t, T1,T2) перейдет в F(t, T), коэффициент при dz(t) перейдет к пределу, который обозначим за vT(t, T)

и коэффициент при dt станет

0.5 d[v(t, T)^2] / dT = v(t, T)vT(t, T)

где vT обозначает частную производную по T.

Таким образом

DF(t, T) = v(t, T)vT(t, T) dt + vT(t, T)dz(t) (4)

Так как v(t, T) заданная функция то из последнего выражения и определяется F(t, T).

Также последнее выражение показывает, что существует тесная связь между сносом и стандартным отклонением для непрервных форвардных рейтов. Heat, Jarrow and Morton были первыми, кто это заметил. Интегрируя vT(t, T) от t до T они получили

И так как v(t, t) = 0, то

Если m(t, T) и s(t, T) непрервный снос и стандартное отклонение для F(t, T), то из (4) следует, что

Последнее выражение и показывает связь между сносом и стандартным отклонением.

Модель Хо и Ли (Ho &Lee Model)

Хо и Ли первыми предложили безарбтражную модель временных структур в 1986 году. Модель выглядит следующим образом

Где q(t) – некоторая функция от времени выбранная так, что она хорошо описывает начальную временную структуру.

Уравнение для q(t) выглядит так

В модели Хо и Ли выражение для цены дискаунт бонда будет

Где

Также ими были получены и величины Европейских опционов на дискаунт бонд.

Модель Hull-White

Была предложена в 1990 году как расширение модели Васичека с учетом того, для определения q(t) подгоняется начальная временная структура.

Модель Hull-White и ее модификации в настоящее время является наиболее популярной одномерной моделью временных структур.

Лекция 9. VAR (Value at Risk)

Перед этим мы ввели различные меры: гамма, тета, вега, дельта для описания различных аспектов рисков портфеля из опционов. Финансовые институты вычисляют каждую из этих мер каждый день для всех рыночных переменных. Зачастую их сотни и тысячи, что затрудняет понимание картины возникающих рисков в целом. Var – это попытка обеспечить одним числом меру риска суммирующего в себе риск портфеля в целом.

Дневная волатильность.

При оценке Var обычно имеют дело с дневной волатильностью. Соотношение между дневной и годовой волатильностью следует из свойств нормального распределения вероятностей и предположения независимости изменений цен активов. А именно:

Пусть s(d) – дневная волатильность и s(y) – годовая. Если предположить, что год состоит из 252 рабочих дня то соотношение между ними будет

s(y) = sqrt(252) * s(d).

Оценка Var простейшем случае.

Рассмотрим портфель состоящий из акций IBM на 10 миллионов. Предположим, что дневная волатильность составляет 2%. Или 32 в год. Пусть N = 10 дней и мы интересуемся 99% доверительным интервалом изменения нашего портфеля.

Тогда дневное стандартное отклонение портфеля составит* 0.02 = долларов.

Предполагая независимость изменений цен акций получим, что стандартное отклонеине за 10 дней составит * sqrt(10) = долларов. Предположим, что дневной рейт доходности акций пренебрежительно мал относительно дисперсии приращений. И приращения имеют нормальной распределение. Тогда квантиль стандартного нормально распределения уровня 0.01 = 1 – 0.99 составляет –2.33. Тогда Var 10 дневного портфеля составит

2.33 * = 1

Оценка Var для портфеля из двух активов

Предположим, что наш портфель состоит еще и из акций AT&T на 5 И предположим, что изменения акций имеют двумерное нормальное распределение с коефф. Коррелции = 0.7. Дневная волатильность акций AT&T составляет 1 процент в день тогда стандартное отклонение портфеля составит

s(y+x) = sqrt(s(x)^2 + s(y)^2 + 2 rho * s(y) * s(x))

Подставляя сюда s(x) = и s(y) = получим что это равно

И тогда Var = * 2.33 = 1

Линейная модель

Предположения.

1 Портфель активов цена которого линейно зависит от входящих в него активов

2 Изменения величин активов имеют нормальное распределение.

Портфель состоит из P активов в количестве a(i) и D(i) изменение величины единица i актива за день, тогда для всего портфеля

DP = S a(i)* D(i)

Так как D(i) имеют многомерное нормальное распределение, то DP имеет нормальное распределение. Для вычисления Var нам необходимо вычислить станодартное отклонение портфеля

s(P)^2 = SSrho(i, j) a(i) a(j) s(i) s(j).

Это соотношение может быть переписано как

s(P)^2 = S a(i)^2 + 2SSrho(i, j) a(i) a(j) s(i) s(j)

где двойная сумма берется по i = 1...P, j < i

Var для активов зависящих от доходности

В прошлой лекции было введено понятие дюрации и было показано, что

DP = - DP Dy,

где P цена портфеля

D – дюрация портфеля

Dy – размер парраллельного сдвига временной структуры.

Тогда если дневная волатильность параллельных сдвигов составляет s, и стандартное отклонение для портфеля составит

s(P) = DPs

Область применимости линейных моделей.

Линейные модели применяют для портфелей из финансовых инструментов, у которых изменение величины линейно зависит от изменения величины базовых активов (акции, обменные курсы, бонды)

Для опционов линейная модель является только приближением. В частности если в портфель cсостоит из опционов на на одну и ту же акцию, то дельта для него

d= DP/DS

Напомним, что d показывает скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базовых активов

Определим

Dx = DS / S

Тогда

DP= S * d* Dx

Если портфель состоит из опционов на несколько различных акциий

DP = SS(i) d(i) Dx(i)

что можно переписать в такой же линейной форме как и раньше

DP = S a(i)* D(i)

где a(i) = S(i) d(i).

И следовательно это позоволяет вычислить стандартное отклонение портфеля в целом по уже приведенной выше формулам для линейной модели.

Квадратичная модель

Итак линейная модель является только приближением, в случае если в портфель входят опционы. Однако мы вычисляли и вторую производную по цене, которую называли гамма.

Поэтому можно построить и квадратичную модель изменения цены портфеля

DP= DS * d + 0.5g(DS)^2

Опять, полагая

Dx = DS / S,

получим

DP= S * d*Dx + 0.5S^2g(Dx)^2

Однако в этом случае величина DP уже не будет иметь нормальное распределение.

Пусть Dx имеет нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением s

Тогда первые три момента для DP будут

E(DP) = 0.5S^2gs^2

E(DP)^2 = S^2 d^2s^2 + 3/4S^4g^2s^4

E(DP)^3 =9/2 S^4 d^2s^4 +15/18 S^6g^3s^6

Первые два момента могут быть взяты для нормального распределения и получим одну аппроксимацию. А если использовать и третий момент, то это распределение Корниш-Фишера которое затабулировано и это будет другое приближение.

Монте-карло моделирование

Альтернативным способом оценки Var является моделирование по методу Монте-Карло, которое состоит в том, что моделируется достаточно большое количество приращений изменения стоимости портфеля DP (например N =10000 раз) по какой-то выбранной заранее модели.

Например нормальной для изменения стоимости базовых активов. При этом цены входящих в портфель инструментов вычисляются по полученным для них в этой модели точной формуле. Тогда Var уровня 0.99 будет равен значению смоделированных значений изменений портфеля с порядковым номером N * (1-0.99) в упорядоченном ряде.

Историческое моделирование.

Предположим, что у нас имеются временные ряды изменений цен базовых активов и финансовых производных на них выраженные в единицах на один актив тогда, пересчитав их возможные изменения к количеству активов, которые имеются в наличие в данный момент, упорядочим их по возрастанию. Тогда, зная общую длину ряда = N, мы можем получить исторический Var нашего сегодняшнего портфеля.

Использование метода главных компонент.

Все рассмотренные выше методы оценки Var имели один важный недостаток – существенную многомерность модели. В последнее время все чаще для моделирования состояний портфеля используется факторный анализ наиболее популярным метолом которого является метод главных компонент.

Идея метода такова. Пусть у нас имеется P базовых активов и мы наблюдаем за ними в течении N дней. Таким образом у нас имеется матрица наблюдений X размера N*P.

Факторный анализ этот методы которые существенно могут пронизить размерность этого пространства. Канонической моделью факторного анализа является представление матрицы наблюдений X в виде

X = F * L + U (1)

Где матрица F имеет размер Т*p, p << P (факторы)

L - матрица размер p* p (нагрузки)

U – матрица размера (N*P) матрица ошибок

В методе главных компонент в качестве матрицы L берут первые p собственных векторов, отвечающие наибольшим собственным значением ковариационной матрицы S = E(XX’)

Можно показать, что такой выбор матрицы L минимизирует ошибку U в представлении (1)

среди всех возможных линейных ортогональных преобразований исходной матрицы X

Таким образом

X ~ F * L. (2)

При этом

F = XL’

Последнее следует из того, что LL’ = I

Таким образом необходимость моделирования изменений большого количества активов можно заменить моделированием небольшого количества факторов. Получая затем приближения изменения самих активов с помощью выражения (2).

Наличие сильных корреляционных связей между активами позволяет зачастую довольно сильно уменьшить размерность моделируемого пространства. В частности при моделировании изменений zero-coupon временной структуры в которой P составляет иногда до 20 при этом p=3

И ошибка составляет не более 2%.

Литература.

Jhon C. Hull Option, Futures, and other derivatives. Prentice Hall, 1997.