Введение в анализ производных финансовых инструментов (стр. 4 )

Фьючерсный контракт на актив, цена которых зависит от уровня доходности называется interest rate фьючерсы.

Спот и форвардный рейт.

n-годовой спот рейт это доходность инвестиций сделанной сегодня и заканчивающаяся через n лет. n-годовой спот рейт без промежуточных выплат называют n-year zero-coupon yield.

Форвардным рейтом называют рейт доходности полученный от инвестиции сделанной через некоторое время в будущем на некоторый период времени.

Пример.

Лет	Спот рейт в процентах годовых	Форвардный рейт в процентах годовых
1	10.0
2	10.5	11.0
3	10.8	11.4
4	11.8	11.6
5	11.1	11.5

Правило для вычисления форфардного рейта можно понять из следующей таблицы.

Второй столбец таблицы это n-годовой спот рейт в процентах годовых с непрерывным начислением. В результате инвестиция в 100$ сделанной на год мы в итоге получим 100*exp(0.1) долларов, а инвестиция на 2 года принесет 100 * exp(2*0.105).

С другой стороны это должно быть равно (в силу отсутствия арбитража) сначала инвестиции на один год, а затем последующей инвестиции полученных средств еще на один год с форвардным рейтом x. Таким образом получим соотношение

100*exp(0.1)*exp(x*1) = 100 * exp(2*0.105)

откуда

0.1 + x = 0.21 или

x = 0.11

Общая формула для вычисления форвардных рейтов имеет следующий вид.

Пусть r(T) и r(T*) спот рейты при инвестиции на срок T и T* лет соответственно, причем T* >T, тогда форвардный рейт r(T, T*-T) при инвестиции в момент времени T на срок T* - T будет равен

r (T, T*-T) = ( r(T*)T* - r(T)T) / (T* - T). (1)

Zero-coupon временная структура.

Под Zero-coupon временной структурой понимается функция, показываюшая зависимость спот рейта от времени до окончания (матерость). Пример временной структуры – первый и второй столбец таблицы. Аналогично можно ввести понятие форвардной временной структуры. Переписав (1) как

r (T, T*-T) = r(T*) + ( r(T*) - r(T))T / (T* - T)

и перейдя к пределу при стремлении T* к T последнее можно переписать как

r + T dr/dT

Что можно интерпретировать как инвестицию сделанную в момент T на бесконечно малый промежуток времени. Это называют мгновенным форвардным рейтом (instantaneous forward rate) для матерости T.

На практике спот рейты (или zero coupon yelds) не наблюдаются непосредственно. То, что можно найти на рынке это так называемые coupon-bearing bonds. Из них обычно и получают zero coupon yelds. Метод получения называется бутстреп.(bootstrap) Для иллюстрации рассмотрим следующую таблицу

Номинал бонда в $	Maturity	Coupon за год	Bond Price	Zero-Coupon Yield
100	0.25	0	97.5	0.1012
100	0.5	0	94.9	0.1047
100	1	0	90	0.1054
100	1.5	8	96.0	0.1068
100	2.0	12	101.6	101.6

Так как первые три бонда не выплачивают купонов то непрерывно начисляемый рейт можно вычислить по уже хорошо нам знакомой формуле. Следующий бонд уже имеет выплаты по купонам

Через 6 месяцев 4$

1 год 4$

$

Но дискаунт рейты с матеростью 0.5 года и 1 год нам известны поэтому

4exp(-0.1047*0.5) + 4exp(-0.1054*1) + 104exp(-1.5 * R) = 96

Отсюда R = 0.1068

Аналогично для следующего бонда

6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6

Отсюда R = 0.1081

Наконец последний

6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6

Дюрация. Важным понятием при работе с фьючерсами при их хеджировании является понятие дюрации. Под дюрацией понимают меру того как долго в среднем держатель актива должен ожидать получениния выплат. Например, если инвестор имеет безкупонный бонд с матеростью n лет, то дюрация естественно составляет n. Однако, для купонного бонда это уже не так. Для него дюрация будет меньше, чем n. Действительно, в момент времени 0 ,бонд гарантирует выплаты c(i) в моменты времени t(i). Цена бонда при доходности y (непрерывно начисляемой) будет

B = Sc(i)exp(-y*t(i

Дюрация такого бонда определяется как

D = [St(i)c(i)exp(-y*t(i))]/B, (2)

что может быть переписано, как

D = St(i)[c(i)exp(-y*t(i))/B]

Член в квадратных скобках это отношение текущей величины выплат в момент t(i) к цене бонда B. Цена бонда это текущая стоимость всех выплат. Итак дюрация есть взвешенная сумма времен, когда делаются выплаты с весами соответствующими выплатам в момент t(i) поделенным на цену бонда. Сумма весов естественно равняется 1. Теперь мы покажем, почему дюрация очень важна при хеджировании.

Из соотношения (1) имеем:

d B/dy = -Sc(i)t(i)exp(-y*t(i)), что

в силу (2)

d B/dy = - BD (3)

Если сделать небольшой параллельный сдвиг во временной структуре на Dy, то из соотношения (3) получим, что цена бонда изменится на DB, где

D B/ Dy = - BD (4)

или

D B/ B =-DDy (5)

что означает, что процент изменения цены бонда равен его дюрации умноженной на размер параллельного сдвига.

Пример.

Рассмотрим пример 3 летнего бонда с номиналом 100$. Пусть его доходность составляет 12% в год с непрерывным начислением (y=0.12). Пусть каждые 6 месяцев выплачивается купон равный 5$, тогда необходимые для вычисления его дюрации члены поместим в таблице

Time	Payment	Present Value	Weight	Time*Weight
0.5	5	4.709	0.05	0.025
1	5	4.435	0.047	0.047
1.5	5	4.176	0.044	0.066
2.0	5	3.933	0.042	0.084
2.5	5	3.704	0.039	0.098
3.0	1.05	73.256	0.77	2.334
Итого		94.213	1.00	2.654

Итак дюрация составляет 2.654

Из соотношения (4) получим

D B = - 94.213 * 2.654 *Dy

D B = - 250.04 *Dy

Если Dy=0.001 и y станет равным 0.121 и следовательно D B = -0.25. Другими словами мы ожидаем, что цена бонда уменьшится и станет равным 94.213 – 0.25 = 93.963

Пересчитав цену бонда с доходностью 0.121, можно проверить, что именно столько и получится.

Дюрация портфеля представляет как взвешенную дюрацию бондов, входящих в портфель.

В случае, когда процент начисляется один раз в год, а не непрерывно можно показать, что

D B =-BDDy/(1+y) (5)

Стратегия хеджирования, основанная на дюрации

Расммотрим ситуацию, когда позиция в зависящем от доходности активе (например бонде) хеджируется с использованием фьючерса на доходность.

Пусть

F – цена фьючерса на доходность

D(F) – дюрация актива на который выписан фьючерс.

S - величина актива, который хеджируется

D(S) – дюрация актива на который выписан фьючерс.

Предположим что изменение доходности составило Dy и оно является одинаковым для всех матеростей, т. е. произошел параллелный сдвиг временной структуры. Из соотношения (4) имеем

DS = - SD(S) Dy

для фьючерса оно выглядит также

DF = - FD(F) Dy

тогда количество контрактов, необходимых для хеджирования против такого увеличения составит

N = SD(S)/ FD(F)

Это соотношение называют duration-based hedge ratio или price sensitivity hedge ratio.

Пример.

20 мая инвестор знает, что получит 3.3 миллиона долларов 5 августа. И эти средства он собирается инвестировать в следующем феврале. Поэтому как только он в августе их получит, то сразу из инвестиреут в 6 месячный Treasury Bills. Текущая доходность по 6 месячным Treasury Bills составляет 11.2% в год. Инвестор считает, что за срок с 20 мая по 5 августа эта доходность может изменится. Цена фьючерса на сентябрьский T-Bill сейчас есть 89.44. В случае если доходности упадут, то компания потеряет деньги. Страховка от этого должна принести положительный доход, чтобы компенсировать потери при уменьшении доходности. Это означает что требуется длинная позиция для страховки.

Так как за 3 месяца выплат не будет, то дюрация купленного сейчас T-Bill составляет также 3 месяца или 0.25 года. Дюрация 6 месячного T-Bill, также составляет 6 месяцев или 0.5 года.

Один фьючерсный контракт составляет 1 миллион долларов. При этом цена контракта составит

10000[100-0.25(100-89.44)] = 973600

тогда количество контрактов, которые стоит заключить для целей страховки составит

3300000/973600 * 0.5/0.25 = 6.78

т. е. 7 контрактов следует сейчас заключить, чтобы избежать потерь из-за возможного падения

доходности Treasury Bills.

Лекция 8 Intersest Rate Derivative Securities

Это инструменты, выплаты по котором зависят от уровня доходности. В последнее время рынок таких финансовых производных развивается наиболее быстро.

Наиболее популярными являются опционы на Treasure Bond, Treasure Note фьючерсы и фьючерсы на Евродоллар. Очень популярными являются Swaptions ( опцион на своп)

Своп это соглашение между двумя компаниями по обмену выплатами в будущем согласно определенным правилам. Наиболее общим типом свопа является “play vanilla” своп на доходность.

В нем одна B сторона соглашается выплачивать другой стороне A выплаты в размере предопределенного фикированного рейта от номинала за несколько лет. В это же время другая сторона соглашается платить первой стороне плавающий рейт на тот же самый номинал и тот же период времени..

Свопцион дает держателю право вступления в определенный своп в некоторое определенное время в будущем.

Другим типом финансовых производных являются Кап (Caps) на рейт. Капы придуманы для того, чтобы застраховаться от того, что рейт превысит или упадет за определеннную границу (cap rate).

Механизм действия капа понятен из графика.

Предположим, что выплаты производятся в моменты времени t,2t, ...... Nt

Тогда продавцу каждом k интервале времени предстоят выплаты в размере

t * L max(R(k) – R,0)

где R(k) величина доходности базового актива

R – cape rate

L – principal

.

Традиционно оценка стоимости таких финансовых инструментов начинается с построения временных структур, которые в свою очередь опираются на модели стохастического процесса для r - мгновенного рейта. Важно подчеркнуть, что это не процесс для r в реальном мире. Как мы раньше уже отмечали цены бондов, опционы зависят только от r из риск нейтрального мира.

Несколько популярных моделей для временных структур развиты из предположения, что риск-нейтральный процесс для r имеет форму

dr = m(r)dt + s(r)dz (*)

Где снос m(r) и диффизия s(r) являются функциями от r.

У нас был ранее пример, где мы получили, что величина финансовой производной будет

E[exp(-r(T-t))f(T)], (1)

Где r – средняя величина r на интервале времени от t до T,

E – символ матемтического ожидания относительно риск-нейтрального мира.

Обозначим через P(t, T) цену в момент времени t дисконтного бонда, который в момент времени T выплатит 1$. Тогда из формулы (1)

P(t, T) = E[exp(-r(T-t))], (2)

Если R(t, T) непрерывно начислямая доходность в момент времени t по бонду с матеростью T-t, то

P(t, T) = exp(-R(t, T)(T-t))], (3)

И следовательно

R(t, T) = -1/(T-t) ln(P(t, T) (4)

Подставляя сюда формулу (2) получим

R(t, T) = -1/(T-t) ln(E[exp(-r(T-t))] ) (5)

Последняя формула и позволит получать временную структуру для доходностей из риск-нейтрального процесса для r (формула (*))

Рассмотрим несколько конкретных моделей.

Модель Рендлемана-Барттера

Рендлеман и Барттер предложили наиболее простую модель изменения m(r) и s(r) в (*)/

Пусть

m(r) = M*r;

s(r) = S*r

Это означает, что r cледует процессу геометрического Броуновского движения с постоянным уровнем роста M , и постоянной волатильностью S.

Модель Васичека.

В ней

m(r) = а(b-r);

s(r) = s;

Риск нейтральный процесс для r в этой модели выглядит таким образом

dr = а(b-r)dt + sdz (6)/

Васичек решил уравнение (2) и получил аналитическое выражение для P(t, T)

P(t, T) = A(t, T)exp(-B(t, T)r)

Где

B(t, T) =[ 1-exp(-a(T-t))]/a

(B(t, T) – T +t )(a^2b - s^2/2) s^2 B(t, T)^2

A(t, T) = exp[----