Творческая работа по математике на тему:

«Эти удивительные уравнения…

Многообразие методов решения алгебраических уравнений»

Авторы:

Бегутова Ирина

Кудинова Мария

учащиеся 10 класса

МОУ СОШ № 4 г. Ртищево

Саратовской области

Руководитель

учитель математики

План

1. Вступление

2. Из истории возникновения и развития алгебраических уравнений.

3. Методы решения алгебраических уравнений.

4. Способы реализации метода замены переменной:

· использование основного свойства дроби;

· выделение квадрата двучлена;

· переход к системе уравнений;

· раскрытие скобок парами;

· двойная замена;

· сведение к однородному уравнению.

5. Применение функциональных свойств решения уравнений.

6. Заключение.

I. Вступление.

Изучая математику, мы решили заняться изучением различных способов решения алгебраических уравнений.

Значение умения решать алгебраические уравнения велико. Очень многие задания из школьного курса математики решаются с помощью уравнений.

Алгебраические уравнения очень разнообразны. На первый взгляд, казалось бы, не составляет труда выполнить тождественные преобразования выражений, входящих в уравнение, и корень будет очевиден. Однако, можно выполнить сложнейшие преобразования, но так и не найти корня. Поскольку алгебраические уравнения разнообразны, то и способы их решения не должны быть однообразны.

Поэтому для успешного решения любых алгебраических уравнений мы решили изучить различные способы их решения.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2. Из истории возникновения уравнений.

Уравнение - одно из важнейших понятий математики. В большинстве задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, составлялось соотношение, которому удовлетворяла эта величина. Так возникли уравнение для определения неизвестной величины.

В древних математических трактатах Индии, Китая, Греции II-го тысячелетия до н. э. содержали задачи следующего содержания: «Ищется куча, которая с двумя третями её, половиной и одной седьмой составляет 37». Посвященные в тайные знания жрецы успешно справлялись с такими задачами.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а ¾ длины равны ширине». Правило для решения было приведено там же.

В истории развития уравнений великий прорыв связан с именем французского ученого XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (x,y,z,…), а известные (параметры) – первыми (a,b,c,...) идет от французского ученого Р. Декарта.

С помощью введенного буквенного исчисления Виет не только записал в общем виде формулы для корней квадратного уравнения

но и нашел выражение для коэффициентов уравнения через его корни, которое сейчас называют теоремой Виета:

Если и – корни квадратного уравнения , то +=-p, × =q.

Метод решения кубических уравнений вида был открыт в Италии в конце XV века. Известна формула Кардано для отыскания одного из корней кубического уравнения:

.

3. Методы решения алгебраических уравнений.

Существуют различные методы решения алгебраических уравнений:

· Метод разложения на множители;

· Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы;

· Метод замены переменной;

· Функционально-графический метод;

· Метод использования монотонности функций;

· Метод неопределенных коэффициентов;

И другие.

Самый распространенный из них – метод замены переменной.

4. Способы реализации метода замены переменной.

Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональной. Суть заключается в том, что путем замены некоторого выражения, входящего в уравнение и содержащего переменную, в исходном уравнении понижается степень, т. е. уравнение сводится к простейшему. Однако, во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому требуется выполнение некоторых преобразований.

Классифицируем наши уравнения по способам реализации методы замены переменной:

· Использования основного свойства дроби;

· Выделение квадратного двучлена;

· Переход к системе уравнений;

· Раскрытие скобок парами;

· Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнений;

· Двойная замена.

а) Использования основного свойства дроби применяется в уравнениях вида:

;

=E,

где a,b,c,A,B,E - постоянные, a0.

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли x=0 корнем уравнения, затем делят числитель и знаменатель каждой дроби на x≠0 и производят замену =t

Пример. Решить уравнение:

Решение. Очевидно, что x=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на x≠0, получим

и, сделав замену , получим

Выполним обратную замену:

б) Выделение квадрата двучлена эффективнее применять к уравнениям, которые можно привести к виду, чтобы одна часть уравнения была представлена суммой квадратов.

Пример.

Решение. Выделим полный квадрат суммы:

Сгруппируем 1,2 и 4 члены:.

Сделав замену , получим .

Выполним обратную замену:

Ответ: 2 и -1

в) Переход к системе уравнений целесообразен при решении уравнений вида

=m, где коэффициенты a и c равны, противоположны по знаку.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Пусть u= , v= (1), тогда u-v=2. Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные u и v.

Для этого возведем оба равенства (1) в куб и заметим, что . Итак, надо решить систему:

г) Раскрытие скобок парами даёт хороший эффект в уравнениях вида (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m, где a+b=c+d, или a+c=b+d, или a+d=b+c.

Пример. Решить уравнение (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40.

Решение. Затем, что сумма чисел, стоящих во 2 и 4, 1и 3 скобках, равны, т. е. -7+2=-1-4.

Перемножим эти пары скобок, получим:

(-5x-14)(-5x+4)=40.

Введём замену:


д) Раскрытие скобок парами деление обеих частей уравнения целесообразно применять в случае, когда перед нами уравнение вида (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m, где ab=cd, или ac=bd, или ad=bc.

Пример. Решить уравнение (x-1)(x-2)(x-8)(x-4)=4.

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в 1 и 3, 2 и 4 скобках, равно, т. е. (-8)×(-1)=(-2)×(-4).

Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение:

Поскольку x=0- не корень, разделим обе части уравнения

на Получаем:

.

Введя замену: запишем исходное уравнение в виде: t×(t+3)=4, т. е. .

Вернемся к исходной переменной:

Ответ:

е) Двойная замена.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение и упростим левую часть исходного уравнения:

Введём замену , тогда уравнение примет вид:

или , т. е.

Применим основное свойства дроби и левой части уравнения, разделив на x≠0:

Введем вторую замену ,

Возвращаемся к исходной замене, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, а первое имеет два корня.

5. Применение функциональных свойств при решении уравнений.

Иногда удается решить уравнение, анализируя функциональные свойства левой и правой части. Данный метод называется «использование монотонности функций». Суть метода: исследовать монотонности функций, участвующих в уравнении. Справедлива теорема: пусть задано уравнение f(x)=0, где f(x)-произвольная рациональная функция, определенная на X. Тогда, если на множестве X функция строго монотонна, то на множестве X уравнение имеет не более одного корня.

Следует отметить некоторые свойства монотонности, применяемые при решении уравнений данным методом:

1. Сумма монотонно возрастающих(убывающих) на X функций есть монотонно возрастающая(убывающая) на X функция.

2. Если функция f(x) возрастает (убывает) на X, то функция –f(x) убывает(возрастает) на X.

3. Если функция f(x) возрастает(убывает) на X и сохраняет там свой знак, то функция, обратная данной, убывает(возрастает) на X.

4. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие на X, то f(g(x)) возрастающая на X.

5. Если f(x) убывающая на X, а g(x) возрастающая на X, то f(g(x)) – убывающая на X.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения функции в левой части уравнения (0;+∞). На данном промежутке каждая из функций монотонно возрастает; следовательно, функция f(x), стоящая в левой части уравнения, также возрастает на (0;+∞), как сумма монотонно возрастающих функций. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня на (0;+∞), который легко подобрать.

x=4. Других корней нет.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение -54=0.

Решение. Функция f(x)= -54 – чётная. Поэтому решение уравнения достаточно рассмотреть на множестве [0;+∞), где эта функция возрастает, а поэтому не может имеет более одного корня на [0;+∞). Этим корнем является положительный корень уравнения .

Поэтому на множестве всех действительных чисел исходное уравнение имеет два корня ±.

Ответ: ±.

Полученные знания о разнообразных способах решения алгебраических уравнений очень полезны для нас и представляют интерес для тех, кто занимается математикой и серьезно готовится к предстоящему экзамену в режиме ЕГЭ.

Мы в своей работе осветили только определенную часть способов решения алгебраических уравнений. Фактически их очень много. Многие из способов классифицируются в соответствии с общим видом алгебраических уравнений.

Литература:

1. Энциклопедия для школьников. Математика том 11.

2. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.

3. Математика. Пособие для абитуриентов.

4. , Факультативный курс по математике.