Программа дисциплины (syllabus) дисциплины «Математический анализ» (стр. 2 )

6 Содержание лекционных занятий

Тема 1. Введение. Предмет математического анализа

Исторический обзор развития математического анализа. Современное состояние математического анализа, современные проблемы этой науки. Предмет математического анализа. Символика математической логики.

Тема 2. Вещественные числа. Множества

Множество рациональных чисел, действительных чисел. Аксиоматика множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел. Полнота и непрерывность действительных чисел. Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) числового множества. Неограниченность множества натуральных чисел. Принцип Архимеда. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел (вложенные отрезки, конечная покрытие, предельная точка). Отображе­ния, функция, обратная функция. Счетные множества и их свойства. Несчет­ность множества действительных чисел.

Тема 3. Числовые последовательности

Предел последовательности и критерий Коши, его существования. Критерий существования предела монотонной последовательности. Число "е". Подпоследовательность. Частичный, верхний и нижний пределы последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерии сходи­мости последовательности. Структура последовательности.

Тема 4. Предел функции

Предел функции. Различные определения и их эквивалентность. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение асимптотического (финального) поведения функции и их свойства. Взаимосвязь предельного перехода с алгебраическими операциями и отношением порядка в R. Замечательные пределы. Предел композиции функций и предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции.

Тема 5. Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке Локальные свойства непрерывных функций (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, непрерывность композиции). Непрерывность многочлена, показательной, тригонометрических функций. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонной функции. Глобальные свойства непрерывных функций (промежуточные значения, максимум, равномерная непрерывность). Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.

Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Средняя и мгновенная скорости движения материальной точки. Понятие производной. Дифференцируемость функции. Дифференцируемость и непрерывность. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический и механический смыслы производной. Дифференцирование сложной и обратной функции. Правила и формулы для вычисления дифференциалов и производных. Таблица производных простейших элементарных функции. Касательная и нормаль к кривой на плоскости. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Локальный экстремум функции. Необходимое условие внутреннего экстремума (лемма Ферма). Теорема Ролля. Теоремы Коши и Лагранжа о конечном приращении (о среднем). Геометрические интерпретации этих теорем и приложение к исследованию поведения функций. Правило Лопиталя.

Тема 8. Полное исследование поведения функции

Достаточные условия наличия и отсутствия локального экстремума в терминах первой, второй и высших производных. Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Расположение графика выпуклой функции по отношению к касательной. Точки перегиба графика функции. Асимптоты функции. Общая схема построения графика функции.

Тема 9. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица формул интегрирования. Замена переменной. Интегрирование по частям. Основные классы интегри­руемых функций: интегрирование рациональных функций, дробно-линейной иррациональности, квадратичной иррациональности (подстановки Эйлера), ин­тегрирование дифференциального бинома и некоторых тригонометрических функций. Интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Тема 10. Определенный интеграл

Суммы Дарбу и их свойства. Интегралы Дарбу. Интеграл Римана на отрезке. Основные классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теоремы о среднем. Интеграл как функция предела интегрирования. Существование первообразной у любой непрерывной функции. Обобщенная первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора с интегральным видом остаточного члена. Некоторые механические и физические приложения определенного интеграла. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеции, формулы Симпсона).

Тема 11. Несобственные интегралы

Понятия несобственного интеграла первого рода и его сходимости. Критерий сходимости Коши несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Несобственные интегралы второго рода. Признак сходимости Дирихле. Сведение несобственного интеграла второго рода к несобственному интегралу первого рода.

Интегралы, зависящие от параметра. Свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости интеграла, зависящего от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость, признаки равномерной сходимости.

Тема 12 Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Основные понятия. Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Локальный максимум и минимум функции нескольких переменных. Глобальный максимум и минимум функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных

Тема 13 Теория рядов. Числовые ряды

Необходимый признак сходимости Коши. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Теоремы сравнения. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Лейбница.

Тема 14 Функциональные ряды

Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость рядов. Свойства функциональных рядов. Степенной ряд и область его сходимости. Разложение функций в степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена. Интегрирование функции с помощью степенных рядов.

Тема 15 Кратные интегралы

Двойной интеграл Римана на прямоугольнике и для произвольной области. Сведения двойного интеграла к повторному однократному. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисления -кратного интеграла. Несобственные кратные интегралы. признак (сравнения) сходимости несобственных кратных интегралов от знакопостоянных функций. Абсолютная сходимость.

Тема 16 Криволинейные интегралы

Определения и физический смысл криволинейных интегралов первого и второго порядка. Вычисление криволинейных интегралов. Поверхность в . Нормаль и касательная плоскость к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

7 Содержание практических (семинарских, лабораторных, студийных, индивидуальных) занятий, их объем в часах

Тема 2. Вещественные числа. Множества

Множество рациональных чисел, действительных чисел. Аксиоматика множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел. Полнота и непрерывность действительных чисел. Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) числового множества. Неограниченность множества натуральных чисел. Принцип Архимеда.

Тема 3. Числовые последовательности

Предел последовательности и критерий Коши, его существования. Критерий существования предела монотонной последовательности. Число "е". Подпоследовательность. Частичный, верхний и нижний пределы последовательности.

Тема 4. Предел функции

Предел функции. Различные определения и их эквивалентность. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение асимптотического (финального) поведения функции и их свойства. Замечательные пределы. Предел композиции функций и предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции.

Тема 5. Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке Локальные свойства непрерывных функций (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, непрерывность композиции). Непрерывность многочлена, показательной, тригонометрических функций. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонной функции.

Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Средняя и мгновенная скорости движения материальной точки. Понятие производной. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование сложной и обратной функции. Правила и формулы для вычисления дифференциалов и производных. Таблица производных простейших элементарных функции. Касательная и нормаль к кривой на плоскости. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Локальный экстремум функции. Необходимое условие внутреннего экстремума (лемма Ферма). Теорема Ролля. Правило Лопиталя.

Тема 8. Полное исследование поведения функции

Достаточные условия наличия и отсутствия локального экстремума в терминах первой, второй и высших производных. Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Расположение графика выпуклой функции по отношению к касательной. Точки перегиба графика функции. Асимптоты функции. Общая схема построения графика функции.

Тема 9. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица формул интегрирования. Замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Тема 10. Определенный интеграл

Суммы Дарбу и их свойства. Интегралы Дарбу. Интеграл Римана на отрезке. Основные классы интегрируемых функций. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Примеры приложений интеграла для вычисления длины пути, площадь фигуры, объема тел. Некоторые механические и физические приложения определенного интеграла.

Тема 11. Несобственные интегралы

Понятия несобственного интеграла первого рода и его сходимости. Критерий сходимости Коши несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Несобственные интегралы второго рода. Признак сходимости Дирихле. Сведение несобственного интеграла второго рода к несобственному интегралу первого рода.

Тема 12 Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Основные понятия. Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.

Тема 13 Теория рядов. Числовые ряды

Необходимый признак сходимости Коши. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Теоремы сравнения. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Лейбница.

Тема 14 Функциональные ряды

Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость рядов. Свойства функциональных рядов. Степенной ряд и область его сходимости. Разложение функций в степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена. Интегрирование функции с помощью степенных рядов.

Тема 15 Кратные интегралы

Двойной интеграл Римана на прямоугольнике и для произвольной области. Сведения двойного интеграла к повторному однократному. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисления п-кратного интеграла. Несобственные кратные интегралы. признак (сравнения) сходимости несобственных кратных интегралов от знакопостоянных функций. Абсолютная сходимость.

Тема 16 Криволинейные интегралы

Определения и физический смысл криволинейных интегралов первого и второго порядка. Вычисление криволинейных интегралов. Поверхность в . Нормаль и касательная плоскость к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

8 Задания самостоятельной работы

7.1 Перечень видов СРС

№	Вид СРC	Форма отчётности	Вид контроля	Объем в часах
1	2	3	4	5
1	Подготовка к лекционным занятиям	Наличие конспекта	Участие на занятии	15
2	Подготовка к практическим занятиям, выполнение домашних заданий	Рабочая тетрадь	Самостоятельная работа. Выдача СРС	30
5	Изучение материала, не вошедшего в содержание аудиторных занятий	Конспект	Коллоквиум	20
6	Проработка и изучение теоретических материалов.	Наличие тетради с решениями ДЗ	Контрольная работа	10
7	Подготовка к контрольным мероприятиям		РК 1, РК 2, (тестирование и экзамен)	15
	Всего:	90

7.2 Перечень тем, вынесенных на самостоятельное изучение студентами

Тема 2. Вещественные числа. Множества

Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел (вложенные отрезки, конечная покрытие, предельная точка). Счетные множества и их свойства.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 5-8].

Тема 3. Числовые последовательности

Критерий существования предела монотонной последовательности. Подпоследовательность. Частичный, верхний и нижний пределы последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 8-23].

Тема 4. Предел функции

Сравнение асимптотического (финального) поведения функции и их свойства. Взаимосвязь предельного перехода с алгебраическими операциями и отношением порядка в R. Предел композиции функций и предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 32-51].

Тема 5. Непрерывность функции

Непрерывность многочлена, показательной, тригонометрических функций. Точки разрыва монотонной функции. Глобальные свойства непрерывных функций (промежуточные значения, максимум, равномерная непрерывность). Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 54-60].

Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический и механический смыслы производной. Дифференцирование сложной и обратной функции. Касательная и нормаль к кривой на плоскости. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 64-94].

Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля. Теоремы Коши и Лагранжа о конечном приращении (о среднем). Геометрические интерпретации этих теорем и приложение к исследованию поведения функций. Правило Лопиталя.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 96-108].

Тема 8. Полное исследование поведения функции

Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Расположение графика выпуклой функции по отношению к касательной. Точки перегиба графика функции. Асимптоты функции. Общая схема построения графика функции.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [4, стр. 120-135].

Тема 9. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Первообразная функции. Таблица формул интегрирования. Замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [5, стр. 5-44].

Тема 10. Определенный интеграл

Существование первообразной у любой непрерывной функции. Обобщенная первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Формула Тейлора с интегральным видом остаточного члена. Примеры приложений интеграла для вычисления длины пути, площадь фигуры, объема тел. Некоторые механические и физические приложения определенного интеграла. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеции, формулы Симпсона).

Рекомендуемая литература: [1], [2], [5, стр. 46-94, 104-110].

Тема 11. Несобственные интегралы

Интегралы, зависящие от параметра. Приближенное вычисление определенного интеграла. Свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости интеграла, зависящего от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость, признаки равномерной сходимости.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [5, стр. 95-103].

Тема 12 Функции нескольких переменных

Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.

Рекомендуемая литература: [1], [3], [4], стр. 135-166, [10].

Тема 13 Теория рядов. Числовые ряды

Необходимый признак сходимости Коши. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Лейбница.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [3], [10] ч.2.

Тема 14 Функциональные ряды

Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость рядов. Степенной ряд и область его сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [3], [10] ч.2.

Тема 15 Кратные интегралы

Двойной интеграл Римана на прямоугольнике и для произвольной области. Сведения двойного интеграла к повторному однократному. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисления -кратного интеграла. Несобственные кратные интегралы. признак (сравнения) сходимости несобственных кратных интегралов от знакопостоянных функций.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [3], [10] ч.2.

Тема 16 Криволинейные интегралы

Определения и физический смысл криволинейных интегралов первого и второго порядка. Вычисление криволинейных интегралов. Поверхность в . Нормаль и касательная плоскость к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [3], [10] ч.2.

9. Рекомендуемая тематика курсовых проектов (работ) и др.

1) ______________________.

1) ______________________.

10. График консультации СРОП (СРОП составляет 25% из СРО)

№	Виды занятия	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота
1.	Консультирование по вопросам лекций					12.35 13.25
2.	Консультирование по вопросам семинаров			12.35 13.25
3.	Консультирование по вопросам СРО						12.35 13.25
4.	Консультирование по темам курсовых работ						12.35 13.25
5.	Консультации по вопросам тестовых заданий	12.35 13.25

12. Критерии оценки знаний обучающихся