Магнітне поле у вакуумі (стр. 2 )

. (3.4.8)

Врахувавши це, із (3.2.2’) отримуємо

, (СГС) (4.3.9)

. (СІ) (4.3.9’)

4.4. Теорема про циркуляцію В

Інтегральна форма теореми

Фундаментальною властивістю електростатичного поля є його потенціальність, яка математично описується рівністю . Потенціальний характер електростатичного поля означає незамкненість його силових ліній. Дійсно, якщо припустити існування хоча б однієї замкненої силової лінії, то, обчисливши циркуляцію Е вздовж неї, ми отримали б відмінний від нуля результат, тобто непотенціальне поле. В задачі на обчислення магнітного поля довгого провідника із струмом (п. 4.3) було з’ясовано, що лінії В замкнені, тобто інтеграл , взятий уздовж силової лінії, не дорівнює нулеві. Задача, таким чином, полягає в обчисленні значення цього інтеграла.

Рис. 4.4.1. До теореми про циркуляцію В: а) струм проходить крізь контур; б) контур не охоплює струму; с) узагальнення для декількох провідників із струмом.

Спочатку розглянемо простий випадок, коли контур для інтегрування збігається із силовою лінією. Поле прямого струму описується формулою (4.3.6), тому, інтегруючи вздовж силової лінії, якою в даному випадку є коло з центром на провіднику, отримуємо

. (СГС) (4.4.1)

Переконаємось тепер, що аналогічний результат отримується і для плаского математичного контуру довільної форми, який пронизується прямолінійним струмом, рис. 4.4.1.а. Елемент задає елементарний кут , а  – проекцію на напрямок, перпендикулярний до радіуса. Остання з точністю до величини другого порядку мализни дорівнює довжині відповідної дуги, тобто маємо . Підставивши значення В, та, інтегруючи в межах від 0 до , отримуємо результат, який збігається з (4.4.1).

Обчислимо тепер циркуляцію В для випадку, коли контур не охоплює струму, як це зображено на рис. 4.4.1.б. Якщо провести від провідника два промені з малим кутом розхилу , то отримаємо для відповідних елементів контуру та , тобто . Від’ємний результат для елементу спричинений тим, що кут тупий. Оскільки весь контур можна розділити на пари елементів, внески яких у магнітне поле взаємно компенсуються, то виходить, що циркуляція В по контуру, який не пронизується струмом, дорівнює нулеві.

Нарешті, розглянемо загальний випадок, коли контур пронизується декількома струмами, рис. 4.4.1.в. Оскільки і для довільного виконується умова , то

, (СГС) (4.4.2)

. (СІ) (4.4.2’)

Рівність (4.4.2), (4.4.2’) виражає в найбільш загальному вигляді сутність інтегральної теореми про циркуляцію В. Тут мається на увазі алгебраїчна сума струмів. Чисельне значення струму вважається додатним, якщо його напрямок узгоджується за правилом правого гвинта з напрямком обходу контуру і від’ємним у протилежному випадку. Так, наприклад, якщо , , , , то .

Необхідно мати на увазі, що в (4.4.2) визначається суперпозицією полів, утворених в довільній точці контуру r як внутрішніми, так і зовнішніми відносно контуру струмами, тоді як у праву частину (4.4.2) входять лише внутрішні струми. Також важливою властивістю формули є незалежність результату від розміщення струму – необхідно лише, аби струм де-небудь пронизував контур. Хоча теорему доведено для безмежного прямолінійного струму, вона справедлива і для струмів будь-якої конфігурації.

Диференціальна (локальна) форма теореми про циркуляцію В

Для об’ємних струмів теорему про циркуляцію В можна подати в диференціальній формі. Об’ємний струм виразимо як потік густини струму крізь поверхню S, обмежену замкненим математичним контуром , тобто . Циркуляцію В запишемо як потік ротора В крізь поверхню, використавши теорему Стокса. Маємо

.

Прирівнявши підінтегральні вирази, отримуємо

; (СГС) (4.4.3)

. (СІ) (4.4.3’)

Формула (4.4.3) описує теорему про циркуляцію магнітного поля в локальній формі, оскільки B та j визначені в одній і тій же макроскопічній точці.

4.5. Використання теореми про циркуляцію В для обчислення магнітного поля струму

Теорема про циркуляцію В у магнітостатиці виконує функцію, подібну до теореми Гауса в електростатиці, тобто використовується для розрахунку магнітних полів стаціонарних струмів та для аналізу задач магнітостатики. Для знаходження магнітного поля обчислюється інтеграл по контуру , який проходить через задану точку та задовольняє умови , причому значення вважається відомим. Найчастіше вибраний контур збігається із силовою лінією, тобто . В інших випадках окремі частини контуру вибирають так, що , тобто внесок у циркуляцію тут відсутній. Форму контуру для інтегрування вгадують, виходячи із симетрії розподілу провідників із струмом. Розглянемо декілька прикладів застосування цієї теореми.

Магнітне поле довгого циліндричного провідника із струмом

Радіус провідника R, струм однорідний густиною j, рис. 4.5.1.а. Поле шукаємо як функцію відстані r від осі провідника. Із симетрії задачі зрозуміло, що В залежить лише від r. Крім того, цей вектор перпендикулярний до r та до осі провідника. Отже, силова лінія має вигляд кола, яке проходить через задану точку, а центр її знаходиться на осі провідника. Інтегруючи вздовж силової лінії, отримуємо . Зовні провідника струм крізь контур – це повний струм у провіднику , тому

. (СГС) (4.5.1)

. (СІ). (4.5.1’)

Всередині провідника силові лінії поля теж мають вигляд концентричних кіл і циркуляція В дорівнює

,

що дає

, (СГС) (4.5.2)

. (СІ) (4.5.2’)

Всередині суцільного циліндричного провідника зі струмом магнітне поле зростає лінійно, а зовні спадає обернено пропорційно відстані від осі.

Розглянемо випадок, коли однорідний струм тече вздовж поверхні довгого порожнистого циліндричного провідника. Інтегруючи по колу всередині порожнини, отримуємо нульовий результат, оскільки контур не охоплює струму. Отже, всередині циліндричного порожнистого провідника з однорідним поверхневим струмом, який протікає вздовж осі, магнітне поле відсутнє. Зовні провідника поле збігається, як неважко переконатися, з полем, утвореним тим же струмом у суцільному циліндричному провіднику (4.5.1).

Поле тороїдальної котушки

На тор рівномірно намотано N витків проводу, по якому проходить струм І. Внутрішній та зовнішній радіуси тора складають та , відповідно, рис. 4.5.1.б. Необхідно знайти поле котушки. Магнітна силова лінія, яка проходять через точку, що близько примикає до провідника, замикається навкруг нього. Зате поле на відстані, яка значно перевищує діаметр провідника, є результатом внесків од усіх N витків і його силові лінії пронизують площини цих витків. Ми шукатимемо поле саме в таких, достатньо віддалених од провідників точках. Із симетрії задачі зрозуміло, що вказані силові лінії мають вигляд концентричних кіл. Кругову поверхню, обмежену силовою лінією, N разів перетинає провідник зі струмом. Інтегруючи вздовж силової лінії, отримуємо

,

тобто

. (СГС) (4.5.3)

. (СІ) (4.5.3’)

Рис. 4.5.1. Обчислення магнітного поля з використанням теореми про циркуляцію: а) циліндричний провідник із струмом; б) тороїдальна котушка.

Поле довгого соленоїда

Для знаходження поля ідеального, тобто безмежно довгого соленоїда використаємо розв’язок попередньої задачі, виконавши граничний перехід. Спершу з’ясуємо характер зміни магнітного поля зі збільшенням радіуса тора. Збільшуючи середній радіус тора , будемо залишати незмінними лінійну густину витків (домотуючи відповідну кількість їх) та їхній діаметр . Якщо , то тороїдальна котушка переходить у безмежно довгий прямий соленоїд діаметром d. Магнітне поле стає однорідним, оскільки різниця між його максимальним значенням та мінімальним прямує до нуля.

Для з’ясування характеру поля зовні тороїдальної котушки, обчислимо поле в її геометричному центрі. За умови можна вважати, що магнітне поле створюється коловим струмом I радіуса r. Тоді за формулою (4.3.1) поле в центрі дорівнює , тобто прямує до нуля зі збільшенням радіуса кривизни тора. Таким чином усередині безмежно довгого соленоїда існує однорідне магнітне поле

, (СГС) (4.5.4)

, (СІ) (4.5.4’)

де n – лінійна густина витків. Зовні соленоїда індукція поля дорівнює нулю.

4.6. Теорема Гауса для магнітного поля

Магнітний потік

Теорема Гауса для магнітного поля в інтегральній формі оперує поняттям потоку вектора індукції магнітного поля або просто магнітного потоку. З електростатики відомі поняття потоку вектора напруженості електричного поля та вектора зміщення. Вираз для магнітного потоку записується аналогічним способом

, (4.6.1)

де та мають такий самий смисл, що і при визначенні потоку електричного поля.

В СІ одиницею магнітного потоку є вебер (Вб). З (4.6.1) видно, що . В СГС одиницею магнітного потоку є максвелл (Мкс), тобто . Врахувавши зв’язок між одиницею індукції магнітного поля та одиницею площі в обох системах, отримаємо .

Магнітна теорема Гауса

Електрична теорема Гауса в інтегральній формі стверджує, що потік Е крізь замкнену поверхню пропорційний величині електричного заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні. В локальному варіанті теореми стверджується, що дивергенція Е пропорційна об’ємній густині заряду. Якщо загальний заряд усередині поверхні додатний, то число силових ліній, що виходять із поверхні, перевищує число ліній, що туди входять. У випадку загального від’ємного заряду, навпаки, більше ліній входить у поверхню ніж виходить. Нарешті, якщо сумарний заряд всередині поверхні дорівнює нулеві, то число силових ліній, які входять у поверхню, дорівнює числу ліній, які звідти виходять, чи взагалі дорівнює нулю в разі відсутності зарядів.

Якщо порівняти ці властивості електростатичного поля із властивостями магнітного поля, то внаслідок відсутності магнітних зарядів (докладніше про це трохи нижче) лінії магнітного поля виявляються замкненими. Тому лінія В, що входить у поверхню, обов’язково де-небудь вийде з неї. В результаті потік В крізь замкнену поверхню, а також дивергенція В дорівнюють нулеві. Це твердження складає сутність теореми Гауса для магнітного поля, тобто

, (4.6.2)

. (4.6.3)

Рис. 4.6.1. До теореми Гауса для В.

Ці інтуїтивні міркування можна підтвердити прямим обчисленням. В визначається формулою для об’ємного струму (4.2.5), тобто

Тут  – елемент об’єму, із якого витікає струм густиною j, рис. 4.6.1. Початок вектора r знаходиться в елементі об’єму і при інтегруванні оббігає весь об’єм, де існує струм. Кінець r зафіксовано у шуканій точці поля А. Вираз, отриманий після інтегрування, є функцією лише радіус-вектора R точки А. Дивергенція визначається в околі R, тому операції інтегрування по об’єму провідника та дивергенції незалежні і можна поміняти порядок виконання їх. Використавши формулу векторного аналізу

,

отримуємо

. (4.6.4)

Перший член у правій частині (4.6.4) дорівнює нулю, оскільки операція ротора береться в околі точки А, від координат якої j не залежить. Значення другого члена знаходимо безпосереднім обчисленням. Для х-компоненти маємо

.

Для наступних двох компонент ротора теж отримуємо нульовий результат, що підтверджує справедливість формул (4.6.2) та (4.6.3).

Про магнітний заряд

Суттєва відмінність властивостей магнітного та електричного полів спричинена тим, що для магнітного поля відсутні витоки, тобто , тоді як дивергенція Е не дорівнює нулю в точках розміщення електричного заряду, . Рівність нулеві дивергенції В, таким чином, означає відсутність магнітних зарядів. Треба визнати досить дивною ту обставину, що серед елементарних частинок існують заряджені електрично, проте відсутні магнітно заряджені. Звичайно, елементарні частинки є носіями також і магнітних властивостей, проте останні нагадують швидше електричний диполь – об'єкт із рознесеними електричними зарядами протилежних знаків. Постійний магніт, соленоїд чи магнітний спіновий момент елементарної частинки завжди мають два полюси – північний та південний, які ніяким способом не вдається розділити. Розламавши постійний магніт навпіл, ми отримаємо два теж двополюсних магніти лише меншого розміру. Магнітний момент елементарної частинки – магнітний спін теж еквівалентний магнітному диполю і взагалі є неподільним фундаментальним об’єктом. У природі досі не спостерігались ізольовані магнітні полюси, скажімо, лише північний чи лише південний. Тим часом досить легко виділити частинки, заряджені негативною (електрон) чи позитивною електрикою (протон, -частинка). Виникає природне питання – чим магнітний заряд "гірший" від електричного? Виявляється, нічим – ще в 1931 р. англійський фізик Поль Дірак теоретично довів, що ізольовані магнітні заряди – магнітні монополі або монополі Дірака, як їх ще називають – можуть існувати у природі. Мається на увазі, що існування магнітного монополя не суперечить жодному фізичному законові. На той час учені на багатьох прикладах переконалися, що явища чи об’єкти, існування яких не суперечить законам природи, як правило, існують. Раніше дотримувались більш жорсткої концепції, що існує лише те, що можна поміряти.

Існування магнітного монополя випливає як наслідок із теорії Великого об’єднання, яка намагається об’єднати сильну, слабку та електромагнітну взаємодії. Від магнітного монополя повинні виходити розімкнені магнітні силові лінії, подібно до електричних силових ліній у протона. Одночасно теорія передбачає суттєву відмінність властивостей магнітного монополя та електрона. Перш за все, це стосується його заряду та маси, які виявляються набагато більшими ніж в електрона. Відношення магнітного елементарного заряду m до електричного e оцінюється як

.

Оцінена теоретично маса монополя на багато порядків перевищує масу протона . Наявність такої значної маси є поки що непереборною перешкодою для отримання монополя та дослідження його властивостей на сучасних прискорювачах заряджених частинок . Теорія передбачає, що магнітний монополь здатний викликати розпад протона, кінцевим продуктом якого є позитрон та -кванти. Сам магнітний монополь при цьому не зазнає змін, будучи лише каталізатором цього процесу. Внаслідок значного дефекту мас, що виникає при розпаді протона, процес повинен супроводжуватися виділенням значної енергії. У зв’язку з цим виникли заманливі пропозиції щодо використання каталізу протонного розпаду за допомогою монополя для виробництва енергії. Оптимісти стверджують, що успішна реалізація цього проекту назавжди звільнила б людство від загрози енергетичного голоду.

Унікальні властивості магнітного монополя стимулюють його пошуки. Відкриття цієї елементарної частинки виявилося би вагомим аргументом на користь теорії Великого об’єднання, яка без експериментальних потверджень все ще залишається лише сміливою гіпотезою. Однак, попри всі старання, магнітний монополь досі не вдалося впевнено зареєструвати. Траплялися поодинокі випадки, які можна було трактувати як проходження магнітного монополя, але надалі не підтверджувались. Таким чином, якщо магнітні монополі існують, то їх надзвичайно мало і можна вважати, що рівняння (4.6.2) та (4.6.3) справедливі практично за будь-яких обставин.

4.7. Векторний потенціал

Означення

Поняття електричного (скалярного) потенціалу було введено завдяки потенціальності електростатичного поля , або еквівалентно . Ця властивість електростатичного поля дозволяє подати напруженість його у вигляді градієнта скалярної функції . Дійсно, як векторний добуток однакових векторів, тобто отримуємо потенціальне поле. Магнітне поле вихрове, тобто не існує скалярної функції, градієнт якої дорівнював би В. Зате індукцію В завжди можна подати у вигляді ротора іншого вектора А – векторного потенціалу

. (4.7.1)

Можливість подання магнітного поля таким способом випливає з того факту, що при цьому виконується умова . Дійсно, підставивши в останню формулу вираз для В з (4.7.1), отримаємо операцію дивергенції ротора, котра, як відомо, тотожно дорівнює нулю. Цей висновок також отримуємо, використавши формалізм оператора : . Вираз у квадратних дужках – це вектор, перпендикулярний до , на який він далі скалярно помножений, що дає в результаті нуль.

Калібрування векторного потенціалу

Незважаючи на математичні відмінності в означеннях, векторний потенціал має одну спільну властивість із скалярним потенціалом – він є неоднозначною величиною. Дійсно, якщо до А додати градієнт довільної скалярної функції координат

, (4.7.2)

то індукція магнітного поля, тобто величина, яку можна поміряти, не змінюється

,

оскільки як векторний добуток однакових векторів. Таким чином функції А та описують одне й те ж силове магнітне поле.

До скалярного потенціалу можна додавати довільну константу, оскільки при цьому величина напруженості поля не змінюється. Калібрувальна інваріантність подібного типу називається глобальною. Калібрувальна інваріантність векторного потенціалу полягає в тому, що до нього можна додавати градієнт довільної скалярної функції координат , тобто величину, що змінюється від точки до точки. Ця інваріантність з очевидної причини називається локальною.

Рівняння для векторного потенціалу

Це рівняння отримаємо, замінивши в (4.4.3) В на А згідно з (4.7.1)

(СГС) (4.7.3)

Подвійний векторний добуток розкладемо, використавши тотожність векторної алгебри , тобто отримуємо

. (СГС) (4.7.4)

Для подальшого спрощення будемо вважати, що

(4.7.5)

Остання формула визначає спосіб калібрування векторного потенціалу в магнітостатиці. В електродинаміці, де розглядаються змінні струми, змінні електричні та магнітні поля, використовується інший спосіб калібрування (п. 13.4). Запропонований спосіб калібрування (4.7.5) необхідно обґрунтувати. Для цього визначимо дивергенцію від обох частин (4.7.2), що дає . Якщо припустити, що y не довільна функція, як вважалось вище, а така, що виконується умова , то умова (4.7.5) задовольняється для функції , тому з (4.7.4) отримуємо

(СГС) (4.7.6)

. (СІ) (4.7.6’)

Штрих у (4.7.6) відкинуто як несуттєвий. Умова (4.7.5) просто означає, що між усіх векторних функцій , які задовольняють рівняння (4.7.1) вибирається та, що задовольняє додаткову умову (4.7.5). З урахуванням цієї умови перший член у лівій частині (4.7.4) дорівнює нулю. Другий член визначає скалярний оператор Лапласа, який діє на вектор А.

Записавши формулу (4.7.6) для компоненти векторного потенціалу, наприклад,

(СГС)

отримуємо рівняння, математично еквівалентне рівнянню Пуассона для скалярного потенціалу . Загальний розв’язок для електричного поля подається у вигляді суперпозиції кулонівських членів, тобто

. (СГС)

Виходячи з математичної еквівалентності рівнянь, розв’язок рівняння для повинен мати подібний вигляд, тобто

, (СГС)

де роль скалярного потенціалу виконує компонента векторного потенціалу (), а об’ємну густину заряду замінив вираз (СГС). У векторному зображенні векторний потенціал описується співвідношенням

. (СГС) (4.7.7)

. (СІ) (4.7.7’)

Для лінійного струму з використанням відповідності отримуємо

. (СГС) (4.7.8)

. (СІ) (4.7.8’)

Векторний потенціал точкового заряду

Знайдемо векторний потенціал точкового заряду q, який рухається із швидкістю v. Використавши відповідність , отримуємо з (4.7.8)

, (СГС) (4.7.9)

. (СІ) (4.7.9’)

Між векторним та скалярним потенціалом рухомого точкового заряду існує проста залежність

. (СГС) (4.7.10)

Характерно, що А завжди паралельний струмові, який породжує магнітне поле, тоді як В завжди перпендикулярний до нього. Відзначимо також, що отримані розв’язки для векторного потенціалу та формула (4.7.10) застосовні лише для стаціонарного магнітного поля. Зображення магнітного поля векторним потенціалом виправдовує себе у фундаментальних задачах електродинаміки. Використовувати його для знаходження магнітних полів у простих випадках, наприклад, задач в п. п. 4.3, 4.5 нераціонально з-за складних математичних перетворень.