Магнітне поле у вакуумі (стр. 3 )

4.8. Сили в магнітному полі

Формули для розрахунку магнітних сил

Підставивши вираз для індукції поля (4.2.2) у формулу для сили, що діє на елемент струму (4.1.5), отримуємо

, (СГС) (4.8.1)

. (СІ) (4.8.1’)

Для визначення сили, яка діє на довгий та довільної конфігурації провідник із струмом, необхідно обчислити лінійний інтеграл

, (СГС) (4.8.2)

, (СІ) (4.8.2’)

де l – довжина провідника.

У випадку об’ємного струму виділяємо елемент об’єму провідника і, врахувавши відповідність , отримаємо вираз

, (СГС) (4.8.3)

. (СІ) (4.8.3’)

Для точкового заряду q, який рухається зі швидкістю v у магнітному полі, використавши відповідність , отримуємо з (4.8.1) та (4.8.1’)

, (СГС) (4.8.4)

. (СІ) (4.8.4’)

Якщо, крім магнітного, існує також електричне поле, то

, (СГС) (4.8.5)

. (СІ) (4.8.5’)

Формула (4.8.5) називається силою Лоренца на честь голландського фізика Хедріка Лоренца, який отримав її, узагальнивши експериментальні факти. Інколи силою Лоренца називають лише магнітну її компоненту (4.8.4), а силу, зображену формулою (4.8.5), узагальненою силою Лоренца.

З (4.8.5) видно, що в СГС Е та В мають однакові розмірності, тоді як у СІ згідно з (4.8.5’) ці розмірності відрізняються . Збігання розмірності Е та В є цілком природним, оскільки електричне та магнітне поля – це компоненти електромагнітного поля, особливість якого полягає в тому, що воно описується двома векторами Е та В чи скалярним потенціалом та векторним потенціалом А.

Паралельні провідники із струмом. Одиниця сили струму в СІ – ампер

На рис. 4.8.1 зображено два паралельні провідники із струмом та . Відстань а між ними набагато перевищує діаметр провідників. Як випливає із закону Ампера (4.1.2), провідники притягуються для паралельних струмів і, навпаки, відштовхуються, якщо напрямки струмів протилежні. Сила, з якою провідник діє на інший, описується формулою (4.8.1), а поле формулою (4.3.7). Для паралельних провідників не змінюється вздовж іншого провідника, тобто сила, що діє на відрізок довільної довжини , дорівнює

. (СІ) (4.8.6)

Рис. 4.8.1. Магнітна взаємодія паралельних провідників із струмом.

Магнітна взаємодія провідників із струмом використовується для визначення одиниці сили струму в СІ – 1 ампер. З (4.8.6) видно, що для і сила взаємодії . Тобто, 1 ампер – це сила струму, який, протікаючи по паралельних безмежно довгих провідниках малого перерізу, та, розміщених на відстані , діє із силою на один метр довжини провідника. З означення випливає, що чисельне значення магнітної сталої не потребує незалежного експериментального визначення, оскільки згідно з (4.8.6), воно постулюється рівним .

Еталон фізичної величини – це технічний пристрій, який відтворює одиницю чи відому частину одиниці цієї величини з найвищою досяжною на даний час точністю. В реалізованому еталоні одиниці сили струму магнітна взаємодія довгих провідників із струмом не використовується, оскільки це технічно важко реалізувати. В основу його роботи покладена магнітна взаємодія двох котушок із струмом. Сила взаємодії вимірюється чутливими аналітичними терезами. Як буде з’ясовано в п. 4.10, котушку з вимірюваним струмом необхідно вмістити в неоднорідне поле, створене цим же струмом у іншій котушці.

Робота переміщення провідника зі струмом у магнітному полі

Сила, що діє на елемент струму в магнітному полі В, при переміщенні елементу на відстань виконує роботу

. (4.8.7)

Крім магнітної сили, на елемент струму можуть діяти інші сили, наприклад, доцентрова сила, якщо провідник є елементом обмотки ротора електродвигуна. Крім того, магнітне поле може бути неоднорідним. Тому в загальному випадку напрямок переміщення елементу струму може не збігатися з напрямком магнітної сили . На рис. 4.8.2. зображено саме цей загальний випадок.

Змішаний добуток дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на сторонах. Цей об'єм можна виразити в таких варіантах:

.

Вибираємо останній вираз, оскільки векторний добуток у ньому дорівнює площі паралелограма, яку описує елемент при переміщенні на відстань , тобто . Таким чином, робота переміщення елемента струму дорівнює добутку сили струму на приріст магнітного потоку, зумовлений рухом провідника,

. (4.8.8)

Рис. 4.8.2. До визначення роботи переміщення провідника із струмом у магнітному полі.

Для провідника довільної довжини з останнього виразу отримаємо

. (4.8.9)

Цей результат не залежить від довжини та форми провідника зі струмом, які можуть змінюватися. Також він не залежить від характеристик магнітного поля (стале чи змінне, однорідне чи неоднорідне).

4.9. Рамка зі струмом в однорідному магнітному полі

Прямокутна рамка зі струмом І знаходиться в однорідному магнітному полі, рис. 4.9.1.а. Довжина горизонтальної та вертикальної сторін а та b, відповідно. Рамку вважатимемо жорсткою, вона може лише обертатися як ціле навколо вертикальної осі ОО’, що проходить через середину горизонтальних сторін. У нижній частині рисунка зображено вигляд на рамку зверху. Сили, що діють на горизонтальні сторони рамки, спрямовані вздовж осі і не впливають на обертання рамки. Обертовий момент утворюють сили, прикладені до вертикальних сторін

.

Множник 2 враховує наявність пари сил; визначає відстань від осі обертання до точки прикладання сили (СГС). Тобто

, (СГС) (4.9.1)

де S – площа рамки. Оскільки  – магнітний момент рамки, то в (4.9.1) записано абсолютне значення векторного добутку та В. Отримуємо

. (СГС, СІ) (4.9.2)

Рис. 4.9.1. Контур із струмом в однорідному магнітному полі: а) прямокутна рамка із струмом; б) довільної форми контур із струмом.

Якщо , то і , тобто в однорідному магнітному полі магнітна сила створює обертовий механічний момент, який намагається повернути рамку так, аби магнітний момент її встановився паралельно магнітному полю.

Неважко переконатися, що формула (4.9.2) справедлива не лише для прямокутної рамки, але і для довільного плоского замкненого витка зі струмом. На рис. 4.9.1 б зображено плоский контур довільної форми, вміщений в однорідне магнітне поле. Подумки заповнимо площу, обмежену провідником, вузенькими контурами, по яких протікають струми однакової величини та напрямку. В суміжних відрізках сусідніх контурів струми мають протилежні напрямки, тому їхні внески в механічний та магнітний моменти взаємно компенсуються. Внаслідок цього сукупність контурів із струмами у магнітному відношенні еквівалентна обвідному контурові з цим же струмом. Механічний момент окремого елементарного контуру відносно осі обертання дорівнює

.

Оскільки , а для плоского контуру і , то, інтегруючи, отримуємо (4.9.2).

4.10. Магнітні сили в неоднорідному полі

Виток із струмом у неоднорідному магнітному полі

Згідно з висновком попередньої задачі в однорідному магнітному полі дія магнітних сил на жорстку рамку зі струмом змушує рамку повертатися в положення рівноваги, тобто до паралельної орієнтації векторів та В. Розглянемо тепер особливості дії магнітних сил у неоднорідному магнітному полі. Нехай поле має осьову симетрію, наприклад, – це поле на краю соленоїда, рис. 4.10.1. Круговий виток із струмом І розмістимо у площині, перпендикулярній до осьової лінії поля із центром на осі. Таке розміщення дозволяє позбутися поворотних явищ, які вже розглянуто в попередньому параграфі. На елемент діє сила , спрямована під кутом до горизонталі. Дія горизонтальної компоненти сили зводиться до рівномірного розтягування витка, що тут нас не цікавить. Вертикальна компонента сили і спрямована вниз. Загальна сила, яка втягує виток у соленоїд, дорівнює

, (4.10.3)

де  – горизонтальна компонента магнітного поля.

Рис. 4.10.1. Виток із струмом у неоднорідному магнітному полі.

Як відзначалось раніше (п. 4.3), магнітні властивості замкненого контуру зі струмом визначаються його магнітним моментом (4.3.2). Щоб виразити силу через магнітний момент, необхідно в (4.10.3) увести площу витка. З цією метою використаємо магнітну теорему Гауса, обчисливши потік В крізь замкнену поверхню, та, прирівнявши його до нуля. В якості поверхні візьмемо циліндричну призму малої висоти і побудовану на контурі. Маємо

,

що дає

Підставивши цей вираз у (4.10.3), та, врахувавши, що (СГС), отримуємо кінцеву формулу

(СГС, СІ) (4.10.4)

В неоднорідному магнітному полі на виток із струмом діє сила, прямо пропорційна градієнту індукції поля та величині магнітного моменту струму. Якщо магнітний момент паралельний до вектора індукції, або складає з ним гострий кут, то на провідник із струмом діє сила в напрямку збільшення поля, тобто провідник втягується в соленоїд. Якщо магнітний момент установити у протилежному до поля напрямку та зафіксувати цю орієнтацію, то виток буде виштовхуватися з поля.

Рис. 4.10.2. Еталон одиниці сили струму СІ: а) принципова схема еталона; б) магнітне поле силової котушки.

Реалізація еталона одиниці сили струму в СІ

Як уже зазначалося в п. 4.8, в еталоні одиниці сили струму використовується неоднорідне магнітне поле. Роботу цього приладу можна зрозуміти з рис. 4.10.2.а. Всередині нерухомої котушки з відводом від середнього витка знаходиться вимірювальна котушка меншого розміру, підвішена до коромисла чутливих терезів. Вимірюваний струм підводиться до середнього витка нерухомої котушки й розходиться порівну у верхню та нижню її половини. По внутрішній котушці теж проходить вимірюваний струм чи відома його частина (тут ). В половинках зовнішньої котушки виникають магнітні поля протилежних напрямків. У площині середнього витка на осі котушки поле відсутнє внаслідок повної компенсації полів від обох половинок котушки. Графічна залежність вертикальної компоненти магнітного поля від висоти схематично зображена на рис. 4.10.2.б. Поблизу середини, де якраз знаходиться вимірювальна котушка, градієнт поля не змінюється . Сила, яка діє на вимірювальну котушку, описується формулою (4.10.4) і визначається за допомогою терезів.

4.11. Рух електричних зарядів у магнітному полі

Траєкторія руху точкового заряду в однорідному магнітному полі

Розглянемо характер руху вільного точкового заряду q з масою носія заряду m в однорідному магнітному полі. Нехай швидкість руху заряду v перпендикулярна до В, рис. 4.11.1.а. Сила Лоренца перпендикулярна до швидкості, тому остання змінюється лише за напрямком, залишаючись сталою за модулем. Така ознака характеризує рівномірний рух по колу з доцентровим прискоренням

, (СГС) (4.11.1)

де враховано . Тут R – радіус колової орбіти, який згідно з (4.11.1) дорівнює

, (СГС), (4.11.2)

. (СІ), (4.11.2’)

З останніх формул видно, що швидкість обертання заряду в однорідному полі не змінюється за модулем. Кутова частота обертання частинки

, (СГС) (4.11.3)

(СІ) (4.11.3’)

називається циклотронною частотою.

Рис. 4.11.1. Траєкторія руху точкового заряду в однорідному магнітному полі: а) швидкість заряду перпендикулярна до поля; б) довільна орієнтація векторів v i В.

Зазначимо, що радіус орбіти залишається незмінним лише у випадку дорелятивістських швидкостей (). Якщо швидкість руху частинки близька до швидкості світла, то у формулу (4.11.2) замість маси спокою m необхідно включити

, (4.11.4)

тобто зі збільшенням швидкості руху циклотронна частота зменшується, а радіус орбіти зростає.

В загальному випадку швидкість частинки при входженні її в однорідне магнітне поле може мати довільний напрямок відносно В, однак її завжди можна розкласти так, щоб одна компонента була перпендикулярна до поля, а інша  – паралельна, рис. 4.11.1.б. В цьому випадку у виразах для радіуса (4.11.2) та циклотронної частоти (4.11.3) необхідно v замінити на . Вздовж вектора магнітного поля сила не діє, тому в цьому напрямку частинка рухається зі сталою швидкістю . Накладання двох рухів – рівномірного обертання по колу з частотою та рівномірного прямолінійного руху в напрямку, перпендикулярному до площини кола, описує траєкторію у вигляді гвинтової лінії, як це зображено на рис. 4.11.1.б.

Ефект Холла

Явище, відкрите американським фізиком Едвином Холлом у 1879 р, полягає у виникненні у провіднику із струмом електрорушійної сили, поперечної як до напрямку струму, так і до прикладеного магнітного поля – ЕРС Холла.

Рис. 4.11.2. Ілюстрація до явища Холла.

На рис. 4.11.2 зображено випадок, коли струм утворюється позитивними зарядами. Під дією магнітного поля траєкторія зарядів викривлюється і на верхній грані виникає надлишок заряду, знак якого однаковий зі знаком носіїв струму – тут позитивний. На нижній грані виникає заряд протилежного знаку. Внаслідок просторового розділення зарядів виникає поперечне макроскопічне електричне поле. Електрична сила, зумовлена цим полем, діє на заряд у напрямку, протилежному до напрямку дії магнітної сили. Накопичення зарядів триває доти, поки електрична сила не зрівняється з магнітною, тобто

. (СІ) (4.11.5)

Підставивши швидкість із (4.11.5) у вираз для густини струму , отримуємо . Для експериментальних досліджень зручно замінити густину струму на силу струму , де a – ширина, а h – висота зразка. Напруженість поля Холла виразимо через різницю потенціалів, тобто . В результаті отримаємо

. (4.11.6)

Величина, обернена об’ємній густині заряду , переміщення якого створює струм, тобто

, (СІ) (4.11.7)

називається сталою Холла. Квантово-механічний аналіз цього явища дає для сталої Холла аналогічний вираз.

Якщо струм утворюють негативні заряди, то для попереднього напрямку струму та магнітного поля, напрямок дії магнітної сили на заряди теж не змінюється, оскільки одночасно змінюються на протилежні напрямок швидкості та знак заряду. Однак, тепер верхня грань заряджається негативно, а нижня – позитивно, тобто знак ЕРС Холла змінюється на протилежний. Таким чином, досліджуючи явище Холла, можна визначати знак носіїв струму за знаком індукованої ЕРС. Ця обставина є важливою для напівпровідників, у яких в залежності від типу введеної домішки носії струму можуть мати як негативний заряд – електрони, так і позитивний – дірки. Крім того, із (4.11.7) видно, що при відомих значеннях та ширини зразка а можна визначити концентрацію носіїв струму. Явище Холла є основним методом у цих дослідженнях.

Явище Холла використовується також для вимірювання індукції магнітного поля (датчики Холла). Тут необхідно попередньо знати концентрацію носіїв струму, силу струму і ЕРС Холла. Магнітне поле визначається згідно з (4.11.7) як

.

Основною проблемою в дослідженні явища Холла є нееквіпотенціальність контактів, на яких вимірюється (контакти 1, 2 на рис. 4.11.2). Для правильного визначення ЕРС Холла контакти у відсутності магнітного поля повинні мати однаковий потенціал. В металах має порядок величини Для її вимірювання з точністю, наприклад, до третього знаку різниця потенціалів між контактами з виключеним магнітним полем не повинна перевищувати значення . Домогтися такої точності в розміщенні контактів, аби їхня нееквіпотенціальність була меншою ніж практично неможливо, тому для визначення ЕРС Холла використовується метод компенсації початкової напруги. Для цього в коло вмикається джерело високостабільної напруги полярністю, протилежною до ЕРС Холла. Близький до цього метод використовує результати двох вимірювань, виконаних для протилежних напрямків магнітного поля. Якщо напруга, виміряна для одного напрямку поля, дорівнює , то для протилежного й ЕРС Холла

. (4.11.8)

Циклічні прискорювачі заряджених частинок

"Закрученість" траєкторії рухомих зарядів у магнітному полі використовується в циклічних прискорювачах заряджених частинок. В найпростішому прискорювачі – циклотроні використана властивість незалежності частоти обертання зарядженої частинки в однорідному магнітному полі від її швидкості (див. (4.11.2)). Циклотрон складається із двох порожнистих напівциліндрів – дуантів, вміщених у камеру, де створено високе розрідження, рис. 4.11.3. Дуанти знаходяться в однорідному магнітному полі, величина якого сягає десятків тисяч ерстед. В потужних циклотронах радіус камери сягає декількох метрів. До дуантів прикладається періодична напруга амплітудою Заряджені частинки впускаються в камеру поблизу центра із спеціального пристрою. Всередині дуанта електричне поле відсутнє (металева порожнина), тому частинка, маючи порівняно невелику початкову швидкість, рухається у магнітному полі по колу малого радіуса (4.11.2). Фаза напруги між дуантами встановлюється з таким розрахунком, аби при наближенні зарядженої частинки (точніше згустку частинок) до проміжку напруга мала амплітудне значення та необхідний знак. Прискорившись в електричному полі, цей згусток влітає у другий дуант. Маючи тепер більшу швидкість, частинки рухаються по колу більшого радіуса, тобто траєкторія їх нагадує спіраль, що розгортається. На периферії камери прискорені частинки виводяться з неї за допомогою спеціального відхиляючого пристрою і направляються на мішень, де взаємодіють з атомними ядрами, чи використовуються для інших потреб.

За формулою (4.11.3) частота обертання частинки в однорідному магнітному полі стала, тому сталою та рівною їй повинна бути і частота прискорювального електричного поля. В циклотронах можна прискорити частинки до енергій Стосовно сучасних експериментальних вимог це надто мала енергія. Неможливість прискорення на циклотронах частинок до більшої енергії зумовлена тим, що з наближенням швидкості частинки до швидкості світла починають проявлятися релятивістські ефекти. Основним тут є залежність інерційності частинки від її швидкості (4.11.4), що призводить до зменшення частоти обертання частинки й відтак до порушення фази електричного поля. Тобто згусток обважнілих частинок наближатиметься до проміжку між дуантами, коли напруга, якщо й має необхідну полярність, проте вже не досягає амплітудного значення, або ж вона взагалі має протилежну полярність і тим гальмує частинки.

Рис. 4.11.3. Схема циклотрона.

Уникнути порушення синхронізму й тим самим збільшити енергію заряджених частинок можна, якщо змінювати частоту прискорювального електричного поля відповідно до зростання швидкості частинок і/або індукцію магнітного поля. Прилад, в якому частота прискорювального електричного поля зменшується відповідним чином із зростанням інерційності частинок, називається фазотроном або синхроциклотроном. Прискорювач, в якому частота зміни електричного поля залишається сталою внаслідок такого закономірного збільшення магнітного поля, аби, згідно з (4.11.3), відношення (m – релятивістська маса) залишалося незмінним, називається синхротроном. Цей тип прискорювачів застосовується для прискорення електронів.

Нарешті, в синхрофазотроні одночасно змінюється як частота електричного поля, так і величина індукції магнітного поля. Магнітне поле збільшується в такий спосіб, аби частинки рухалися не по спіралі, а по колу. Внаслідок цього камера синхрофазотрона має вигляд тора – труби, замкненої в кільце. Зовні уздовж кільця встановлено електромагніти, які створюють поле необхідної величини та конфігурації. З формули (4.11.2) видно, що зі збільшенням швидкості та маси частинок індукція поля повинна зростати за таким законом, аби забезпечити сталий радіус орбіти частинок. Період обертання змінюється внаслідок збільшення інерційності частинок та збільшення В. Щоби підтримувати частоту електричного поля рівною циклотронній частоті, електричну частоту змінюють за відповідною закономірністю. Найбільш потужний синхрофазотрон для прискорення протонів знаходиться у Батавії (США). На ньому можна прискорювати протони до енергії 500 ГеВ .

Відхиляюча здатність магнітного поля застосовується також для управління електронним пучком у кінескопах телевізорів, комп’ютерних дисплеях, в масспектрометрах – приладах для визначення маси іонів, в магнітних лінзах для фокусування електронних пучків тощо.

4.12. Перетворення магнітних та електричних полів

Магнітні сили зникають

Досі електричні та магнітні стаціонарні поля розглядались як незалежні об’єкти. Магнітні явища можна виключити, розглядаючи електричну взаємодію нерухомих електричних зарядів. З іншого боку, існування електричних зарядів протилежних знаків дає можливість вивчати лише магнітне поле, створене електричним струмом у незарядженому провіднику. Однак, змінні в часі електричні та магнітні поля виявляються взаємно пов’язаними й повинні розглядатися як єдиний об’єкт – електромагнітне поле (див. главу 13). Електромагнітне поле в класичному розумінні трактується як хвильовий процес, де в кожний момент часу і в кожній точці відбуваються перетворення електричного поля в магнітне і навпаки.