Магнітне поле у вакуумі (стр. 1 )

Глава 4

4.1. Закон магнітної взаємодії елементів струмів

Відкриття Ерстеда

Властивість деяких мінералів, зокрема, магнітного залізняка притягувати залізні предмети була відомою людині здавна. Виготовлений певним способом стержень із сталі, який вільно обертається навколо вертикальної осі, завжди орієнтується вздовж напрямку Північ-Південь. Ця властивість, яку назвали магнетизмом, здавна використовувалась мореплавцями для морської навігації – мається на увазі навігаційний прилад компас. Незважаючи на це, учення про магнетизм розвивалося досить повільно, оскільки для його розуміння, як тепер відомо, були необхідні глибші знання про будову матерії. На початок 19 ст. до магнетизму відносили лиш особливі властивості залізних руд. Фізика тоді ще не була цілісною наукою. Досить нагадати, що професор Копенгагенського університету Ганс Хрістіан Ерстед у 1820 р. читав три лекційних курси з незалежних, як тоді вважалося, дисциплін: електрика, гальваніка і магнетизм. Під електрикою тоді розуміли електростатику, магнетизм вивчав взаємодію постійних магнітів, а гальваніка вивчала теплові та хімічні явища, які супроводжували проходження електричного струму, який уже навчились отримувати за допомогою гальванічних елементів. Жодних зв’язків між цими дисциплінами ще не було зауважено.

Новий етап у розвитку вчення про магнетизм настав у зв’язку з відкриттям Ерстедом дії провідника зі струмом на магнітну стрілку. Розмістивши провідник над магнітною стрілкою паралельно до неї, Ерстед зауважив, що при вмиканні струму вона відхиляється, встановлюючись перпендикулярно до провідника. Якщо провідник розмістити під магнітною стрілкою, то для незмінного напрямку струму вона відхилялась у протилежну сторону. При зміні лише напрямку струму магнітна стрілка теж поверталась на .

Учений правильно оцінив наукову важливість цього явища як такого, що вказує на існування зв’язку гальваніки з магнетизмом. У цьому ж 1820 р. француз Андре Ампер, вже ознайомлений з дослідами Ерстеда, відкрив магнітну взаємодію двох провідників із струмом. Він же висловив гіпотезу, що магнітні властивості речовини спричинені існуванням замкнених молекулярних струмів. Постійні магніти вирізняються тим, що молекулярні струми в них орієнтуються взаємно паралельно без впливу зовнішнього магнітного поля. На той час це була смілива гіпотеза, оскільки про будову молекул було мало що відомо. Важливість магнітної гіпотези Ампера полягала в тому, що вона пояснювала взаємодію магнітів та макроскопічних струмів із єдиної точки зору – як магнітну взаємодію рухомих електричних зарядів.

Елемент струму

Відрізок прямолінійного провідника зі струмом, довжина якого значно менша ніж відстань, на якій досліджуються магнітні властивості струму, називається елементом струму. Кількісно елемент струму описується добутком , де І – сила струму, а  – елемент довжини провідника, спрямований вздовж струму. Елемент струму нагадує точковий електричний заряд, проте, на відміну від нього, характеризується спрямованістю у просторі.

Закон магнітної взаємодії елементів струмів (закон Ампера)

Розглянемо магнітну взаємодію двох довільно зорієнтованих елементів струму та , розміщених на відстані , рис. 4.1.1. Побудову виконано так, що елемент належить площині 1, елемент – площині 2, а вектор , що з'єднує їх, лежить у площині 3 рисунка. Експеримент засвідчує, що сила , із якою перший струм діє на другий, пропорційна величині обох струмів та довжині елементів провідників. Крім того, Ампер установив, що подібно до взаємодії точкових електричних зарядів, ця сила обернено пропорційна квадрату відстані між елементами струмів. Сила також залежить од взаємної орієнтації елементів струмів. З урахуванням цих залежностей шукана сила описується такою формулою:

. (4.1.1)

Рис. 4.1.1. Магнітна взаємодія елементів струмів.

З’ясувалося, що врахувати напрямок дії сили можна, виразивши попередню формулу у вигляді подвійного векторного добутку

. (4.1.2)

Кути і в (4.1.2) відраховуються по-різному; відкладається в напрямку від елемента до вектора , а  – від елемента до векторного добутку , рис. 4.1.1. Вираз для сили , з якою елемент діє на елемент , отримаємо з (4.1.2), переставивши індекси 1 та 2, а також, замінивши відповідні кути на та , тобто

. (4.1.2’)

Формула (4.1.2) отримана Ампером і називається законом Ампера. Це – основний експериментальний закон магнітостатики, який тут виконує функцію, подібну тій, що її виконує закон Кулона в електростатиці.

Електродинамічна та магнітна стала

Коефіцієнт пропорційності у формулах (4.1.2), (4.1.2’) залежить від вибору одиниць фізичних величин, що туди входять. Цей вибір не пов'язаний із законом магнітної взаємодії елементів струмів, тому слід очікувати, що як у СІ, так і в СГС не дорівнюватиме одиниці.

З (4.1.1) видно, що розмірність в СГС відповідає розмірності квадрата оберненої швидкості . У зв’язку з цим в СГС цей коефіцієнт прийнято записувати так:

, (СГС) (4.1.3)

де новий коефіцієнт с має розмірність швидкості й називається електродинамічною сталою. Величину с можна визначити експериментально. Виявилося, що вона дорівнює швидкості світла у вакуумі . Ця відповідність, як з’ясується в п. 4.12, має глибокий фізичний смисл.

Знаючи величину в СГС, можна обчислити відповідний коефіцієнт пропорційності в СІ. Для цього розрахуємо в обох системах силу взаємодії двох паралельних елементів струму та , розміщених на відстані 1 м,

СГС: ,

СІ:

Врахувавши, що , отримуємо Задля спрощення розмірність виражена не через основні одиниці, а через похідну одиницю – індуктивність (генрі, Гн) та одиницю довжини. Закон магнітної взаємодії у СІ, як і закон Кулона, прийнято записувати в раціоналізованій формі. Тобто вводиться новий коефіцієнт – магнітна стала така, що

. (4.1.4)

Закон магнітної взаємодії неправильний?

На рис. 4.1.2.а взаємодіють два паралельні елементи струму. Неважко переконатися, що елементи взаємно притягуються з однаковими силами . Якщо елементи струму мають протилежні напрями, то виникає сила взаємного відштовхування, рис. 4.1.2.б. На рис. 4.1.2.в елементи струмів взаємно перпендикулярні, тобто сила спрямована вниз. З іншого боку, бачимо, що , оскільки кут між та дорівнює . Для інших взаємних орієнтацій елементів струмів сили та виявляються неколінеарними й неоднаковими за модулем . Таким чином, для магнітної взаємодії елементів струмів постулат Ньютона щодо рівності сил дії та протидії загалом не виконується. Невиконання цього постулату зумовлено тією обставиною, що закон магнітної взаємодії у вигляді (4.1.2) є, по суті, гіпотезою, сформульованою на основі експериментів, які проводились із замкненими струмами, а не з відрізками малої довжини. Сталий струм можна створити лише в замкненому колі й експериментально магнітна взаємодія вивчалася саме за такої умови. Досліджувалась сила взаємодії в залежності від довжин прямолінійних ділянок провідників із струмом, а також відстані між ними. Найскладнішими виявилися дослідження залежності сили від взаємної орієнтації провідників, проте й ці труднощі було переборено. На основі отриманих даних Ампер синтезував формулу (4.1.2), яка стосується взаємодії окремо взятих елементів струмів. Формула зручна тим, що замкнені струми будь-якої форми можна розділити на нескінченно малі практично прямолінійні відрізки й застосувати цю формулу для кожної пари елементів струмів.

Рис. 4.1.2. Деякі варіанти взаємодій елементів струмів.

Сила, з якою замкнений струм діє на елемент струму , визначається лінійним інтегралом

. (4.1.5)

Формула (4.1.5) ґрунтується на експериментально встановленій адитивності магнітних сил. Просумувавши внески в силу від усіх елементів струмів контуру , отримуємо повну магнітну силу, із якою один замкнений провідник із струмом діє на інший

. (4.1.6)

Вираз для сили отримуємо, переставивши індекси в (4.1.6),

. (4.1.6’)

Для замкнених струмів сила магнітної взаємодії виявляється ньютоновою. Зауважимо, що внаслідок неможливості експериментальної перевірки закону магнітної взаємодії елементів струмів у праву частину (4.1.2) завжди можна дописати повний диференціал довільної функції, оскільки інтеграл по замкненому контуру від повного диференціала дорівнює нулеві. Тобто на величину сили (4.1.6), яку можна експериментально поміряти, такий доданок не впливає. Це нагадує властивість калібрувальної інваріантності для електричного потенціалу (п. 1.10).

4.2. Магнітне поле Індукція магнітного поля

Магнітне поле

З’ясовуючи механізм магнітної взаємодії струмів і постійних магнітів, ми зустрічаємося з такою ж проблемою, що і при поясненні механізму електричної взаємодії. Сучасне трактування магнітної взаємодії, як і електричної має польовий характер. Вважається, що простір навколо струму чи постійного магніту набуває певної властивості, яка існує незалежно від наявності інших струмів чи магнітів. Присутність інших струмів лише дозволяє виявити цю властивість простору, яка проявляється в існуванні магнітних сил. Іншими словами, причину виникнення цих сил убачають в існуванні магнітного поля біля провідників із струмом та постійних магнітів. Магнітне поле є носієм багатьох фізичних властивостей. Воно має енергію, імпульс та поширюється зі скінченною швидкістю, яка дорівнює швидкості світла. Частина вчення про магнетизм, де вивчаються магнітні властивості постійних струмів та магнітів, називається магнітостатикою. Статичне магнітне поле створюється постійними електричними струмами чи постійними магнітами. Однак, змінне в часі магнітне поле не потребує присутності цих джерел. Воно може існувати в нерозривному зв’язку зі змінним електричним полем у вигляді електромагнітної хвилі. Змінні електричні та магнітні поля взаємно перетворюються одне в одного і розглядаються як єдиний об’єкт – електромагнітне поле.

Індукція магнітного поля

У польовому трактуванні закон магнітної взаємодії елементів струмів пояснюється так: елемент струму створює магнітне поле, внаслідок чого на елемент діє сила, що описується формулою (4.1.2). Для запровадження кількісної характеристики магнітного поля виділимо у правій частині (4.1.1) члени, які відносяться лише до елемента струму . Отримаємо

. (4.2.1)

Величина, позначена як , не залежить од параметрів елемента струму , який тут відіграє роль приладу для вимірювання магнітного поля, створеного елементом . Тобто є силовою характеристикою магнітного поля, утвореного елементом струму у точці, де знаходиться елемент . З (4.2.1), урахувавши (4.1.2), отримуємо векторну величину

(СІ) (4.2.2)

індукцію магнітного поля, створеного елементом струму на відстані r від нього. Тут для загалу індекси відкинуті. Означення подано так, як це прийнято в СІ.

Виходячи з експериментально встановленої адитивності магнітних сил, можна стверджувати, що індукція магнітного поля, створеного замкненим провідним контуром L із струмом І (рис. 4.2.1), визначається інтегралом

. (СІ) (4.2.3)

Розміщення векторів r та можна бачити на рис. 4.2.1.

Рис. 4.2.1. До підрахунку індукції магнітного поля замкненого струму.

В СГС відповідну формулу для елемента струму прийнято записувати так:

(СГС) (4.2.2’)

i для замкненого контуру L

. (СГС) (4.2.3’)

Формула (4.2.3’) називається законом Біо-Савара. Індукцію магнітного поля часто коротко називають "вектор В" або просто магнітне поле, маючи при цьому на увазі фізичну величину, якою воно описується.

Коефіцієнт пропорційності в СІ включається у формулу (4.2.2), тоді як у відповідну формулу для СГС (4.2.2’) входить лише множник , а не . Записуючи формулу в СГС, необхідно дотримуватися такого правила: в СГС у формулах магнетизму сила струму та електричний заряд завжди поділені на електродинамічну сталу. Тобто існують лише такі комбінації: тощо.

Формула (4.2.2) застосовуються для обчислення магнітного поля лінійного струму, тобто такого, що тече у провіднику малого перерізу. Аби пристосувати її для об’ємного струму, скористаємося тим, що сила струму в елементі об’єму провідника виражається через густину струму j як

. (4.2.4)

Тут враховано паралельність j та . Тоді з (4.2.3’) отримуємо для випадку об’ємного струму вираз

, (CГС) (4.2.5)

і з (4.2.3)

. (СІ) (4.2.5’)

Для магнітного поля, як і для електричного виконується принцип суперпозиції, за яким магнітне поле, створене деяким струмом, не залежить від присутності магнітних полів, утворених іншими струмами. Принцип суперпозиції є наслідком експериментально встановленої адитивності магнітних сил. Цей принцип, власне, вже використовувався для визначення магнітного поля замкненого струму (4.2.3).

Лінії індукції магнітного поля

Лінія індукції, або силова лінія магнітного поля – це напрямлена лінія, дотична до якої у кожній точці лінії збігається з напрямком вектора індукції В. Особливістю магнітних силових ліній є їхня замкненість, тобто властивість, відмінна від властивості ліній електростатичного поля, які завжди розімкнені. Якщо незамкненість ліній Е є наслідком потенціальності електростатичного поля, то замкненість ліній В засвідчує вихровий характер магнітного поля. Ця властивість магнітного поля спричинена відсутністю магнітних зарядів, у разі існування яких ці лінії, подібно до ліній електростатичного поля, починались чи закінчувались би на цих зарядах.

Одиниці індукції

В СІ одиницею індукції є тесла (Тл). В СГС відповідною величиною є гаус (Гс). Зв’язок між ними знайдемо з (4.2.2) і (4.2.2’), обчисливши в обох системах одиниць значення В для елемента струму , на відстані по перпендикуляру до провідника. Маємо

СІ: ;

СГС: .

Отже, .

4.3. Розрахунки магнітних полів за формулою Біо-Савара

Розглянемо декілька типових прикладів застосування закону Біо-Савара для розрахунку магнітних полів.

Магнітне поле колового струму

Тонке кільце зі струмом І має радіус R, рис. 4.3.1. Необхідно обчислити магнітне поле вздовж осі кільця як функцію відстані х від його центра. Для елемента струму, зображеного на рисунку, маємо , причому вектор поля лежить у його площині. Загальне поле, як випливає із симетрії задачі, належить осі ОХ, тобто дають внесок лише горизонтальні компоненти поля елементів струмів. Отже, формула для розрахунку має вигляд

.

Величини І, R, r однакові для всіх елементів струму й, інтегруючи по кільцю, отримуємо

; (СГС) (4.3.1)

. (СІ) (4.3.1’)

На значних відстанях, тобто для , маємо .

Рис. 4.3.1. Розрахунок поля колового струму.

Магнітний момент струму

Магнітним моментом витка зі струмом називається добуток сили струму на площу, обмежену цим витком,

. CI)

В СГС, згідно з правилом, викладеним у попередньому параграфі, маємо

. (СГС)

Якщо замість одного провідника взяти котушку з N витками, то (СІ). Для введення інформації про напрямок струму магнітний момент прийнято вважати вектором, перпендикулярним до площини, в якій лежить провідник із струмом. У зв'язку з цим поняття магнітного моменту є коректним лише для пласких контурів. З двох можливих напрямків вибирається той, що узгоджується з напрямком струму за правилом правого свердлика, рис. 4.3.1. Отримуємо

, (СГС) (4.3.2)

. (СІ) (4.3.2’)

Подібно до електричного моменту диполя, магнітний момент є внутрішньою характеристикою контуру із струмом. Важливість цього параметра зумовлена тим, що для розв’язування багатьох задач магнетизму зовсім не обов’язково знати окремо силу струму, форму та площу контуру, обмежену струмом. Достатньо знати лише величину їхнього добутку та орієнтацію струму в просторі, тобто магнітний момент. Наприклад, відповідь на задачу (4.3.1), розв’язану вище, можна подати так:

. (СГС) (4.3.3)

Магнітне поле соленоїда

На рис. 4.3.2 зображено соленоїд довжиною , радіусом R та числом витків N із струмом I. Як і у попередній задачі, магнітне поле спрямоване вздовж осі котушки. Щоб використати розв’язок попередньої задачі, виділимо малий відрізок уздовж осі з кількістю витків , де n – лінійна густина витків. В наближенні магнітне поле виділеної ділянки описується формулою для колового струму (4.3.1). Необхідно лише замість струму І поставити струм на відрізку , тобто . Маємо

.

Рис. 4.3.2. Розрахунок магнітного поля соленоїда: а) для довільної точки на осі; б) у центрі соленоїда.

Тут зручно перейти до кутової змінної

Інтегрування в межах від до дає такий результат:

, (СГС) (4.3.4)

. (СІ) (4.3.4’)

В центрі соленоїда , рис. 4.3.2.б, поле дорівнює

, (СГС)

а на краю соленоїда воно удвічі менше

. (СГС)

Якщо соленоїд довгий, тобто , то поле в його центрі

, (СГС) (4.3.5)

. (СІ) (4.3.5’)

На краю соленоїда (, ) поле виявляється вдвічі меншим ніж у центрі.

Прямий безмежно довгий провідник із струмом

Необхідно знайти поле як функцію відстані а від довгого прямолінійного провідника із струмом І, рис. 4.3.3.а. Виділимо елементарний відрізок на відстані l від основи перпендикуляра. Вектор елемента струму перпендикулярний площині рисунка. Всі елементи провідника дають колінеарний внесок у сумарний магнітний вектор, тобто розв’язок можна подати як скаляр . Виразимо всі змінні величини через кут

.

Інтегруючи, отримуємо

, (СГС) (4.3.6)

. (СІ) (4.3.6’)

Результат можна подати у векторному вигляді

, (СГС) (4.3.7)

де n – орт, спрямований уздовж струму.

Оскільки , то силова лінія є колом із центром на провіднику, тобто – це замкнена крива.

Рис. 4.3.3. Обчислення індукції магнітного поля: а) магнітне поле лінійного струму; б) магнітне поле рухомого точкового заряду.

Магнітне поле точкового заряду

На рис. 4.3.3.б точковий заряд q рухається із швидкістю v відносно деякої системи відліку. Для визначення магнітного поля заряду використаємо закон Біо-Савара (4.2.2), попередньо знайшовши відповідність між елементом струму та параметрами точкового заряду q та v. Нехай величина рухомого заряду в елементі є , а – проміжок часу, за який цей заряд проходить крізь переріз провідника. Тоді і, замінивши на q, отримаємо таку відповідність: